1、?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?1 昌平区 20222023 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2023.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）B（6）D （7）A （8）C （9）B （10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）2nna （12）5 82yx （13）3 3 （14）5 （15）（第（第 12 题、第题、第 13 题第一空分，第二空分；第题第一空分，第二空分；第 15 题答对一个给题答对一个给 2 分，答对两个给分，答对两个给 3分，答对三个
2、给分，答对三个给 5 分，错答得零分。）分，错答得零分。）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（I）()3sin2cos2 2sin(2)6f xxxx 2 分 选条件：函数()f x的图象经过点(,2)3.3 分 则2()2sin()2336f 即2 2()362kkZ 5 分 所以31k 6 分 因为02，所以1.所以()2sin(2)6f xx.7 分 条件：函数()f x的图象可由函数()2sin2g xx的图象平移得到.3 分 因为函数()f x的图象可由函数()2sin2g xx的图象平移得到，所以函数()f x的周期与函数()g x的周期相同.因为
3、函数()g x的周期2=2T，所以函数()f x的周期T.5 分 则22，即1 6 分 2 所以()2sin(2)6f xx.7 分 选条件：函数()f x的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2.3 分 因为函数()f x的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2，所以函数()f x的周期T.5 分 则22，即1 6 分 所以()2sin(2)6f xx.7 分（II）因为关于x的不等式()f xm恒成立，所以()f x在02x，的最大值不大于m即可 因为20 x，所以65626x.所以1)62sin(21x.10 分 所以2)62sin(21x，即2)(1xf.当且仅当262x，即3x 时，()
4、f x取得最大值2.12 分 所以2m.13分 所以实数m的取值范围为2,）.(17)（共 13 分）解：（I）设事件 A 为“这两个品牌的不粘性性能都是级”.所以252125()33CP AC.4 分（II）由表可知，前六个品牌的样本数据中，性能都是级的品牌有 3 个，不都是级的品牌有 3 个.随机变量X的所有可能取值为 0，1，2.5 分 2326C1(0)C5P X；113326CC3(1)C5P X；3 2326C1(2)C5P X.8 分 所以随机变量X的分布列为：9 分 所以131()0121555E X .11 分（因为(6,2,3)XH，所以2()3 16E X .）（III）
5、()()E XE Y.13 分 (18)（共 14 分）解：（I）法一：因为侧面11ABB A为矩形，所以1AAAB.1分 因为CA平面11ABB A，CA平面ABC，所以平面ABC 平面11ABB A.2 分 因为平面ABC平面11ABB AAB,1AA平面11ABB A,所以1AA 平面ABC.3 分 因为1CC 平面ABC，所以11/CCAA.4分 因为1CC 平面11ABB A，1AA 平面11ABB A，所以1/CC平面11ABB A.5 分 法二：因为CA平面11ABB A，所以1AAAC.1 分 因为侧面11ABB A为矩形，X 0 1 2 P 15 35 15 4 所以1AAA
6、B.2分 因为ACABA,所以1AA 平面ABC.3 分 因为1CC 平面ABC，所以11/CCAA.4分 因为1CC 平面11ABB A，1AA 平面11ABB A，所以1/CC平面11ABB A.5 分（II）因为1AAAB，1AAAC,ABAC，所以以A为原点建立空间直角坐标系Axyz如图所示.6分 则111(0,0,0)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,4)(3,0,4)(0,4,2)ABCABC，.所以1(3,0,0)(0,4,2)ABAC，.7 分 设平面1ABC的法向量为(,)x y zn，则 10,0,ABACnn即0,420.xyz 令1,y 则2.z 所以(0,1,2)
7、n.8 分 设直线11AC与平面1ABC所成角为.因为11(0,4,2)AC，所以111111|4sin|cos,|5|ACACAC nnn.10分 所以直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值为45.（III）因为侧面11ABB A为矩形，所以11/ABAB.因为11AB 平面1ABC，AB平面1ABC,5 所以11/AB平面1ABC.11 分 所以点1A到平面1ABC的距离就是直线11AB到平面1ABC的距离.12 分 因为1(0,0,4)AA，13 分 所以点1A到平面1ABC的距离1|8 5|5AA nn.即直线11AB到平面1ABC的距离为8 5.5 14分 （19）（共 15 分）
8、解：（）由题意，2a.1 分 因为22cea，所以2c.2分 所以2222bac.3 分 所以椭圆C的方程为22142xy，短轴长为22.5 分（）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为0 x，显然符合题意.6 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3 kxy.7 分 由223,142ykxxy得 22(12)12140kxkx.8 分 由222(12)4(12)143256kkk 0，得274k.9 分 设11(,)A x y，22(,)B xy，则.1214,1212221221kxxkkxx 10 分 设AB中点00(,)G xy，则12026221xxkxk，0023321ykxk
9、.故2263(,)21 21kGkk.11 分 假设存在k，使得PAB是以P为顶点的等腰三角形，则PGAB，故1PGABkk，12 分 6 所以2232116121kkkk.化简22310kk，解得1k 或12k .13 分 因为274k，所以不存在k，使得PAB是以P为顶点的等腰三角形.14 分 综上可知，存在直线:0l x，使得PAB是以P为顶点的等腰三角形.15 分 (20)（共 15 分）解：（I）因为当0m时，xxfxe)(，1 分 所以1e)(xxf.2 分 所以 1)0(0)0(ff，.4 分 所以曲线)(xfy 在点)0(0(f，处的切线方程为1y.5 分 （II）因为()ee
10、(1),xxf xmmx 所以xxxxxxxxmmmmmxfe)1)(e(eee)1(e1ee)(2，6 分（1）当0m 时，1e)(xxf.令0)(xf，则0 x.当0)(xf时，0 x；当0)(xf时，0 x.所以函数)(xf在),0(上单调递增，在)0 (，上单调递减.7 分（2）当0m时，令0)(xf，则)ln(021mxx，.当0)ln(m，即01m时，当0)(xf时，0)ln(xmx或；当0)(xf时，0)ln(xm.7 所以函数)(xf在),0()ln(,(，m上单调递增，在)0 )(ln(，m上单调递减.8 分 当0)ln(m，即1m时，当0)(xf时，)(，x.所以函数)(x
11、f在)(，上单调递增.9 分 当0)ln(m，即1m时，当0)(xf时，)ln(0mxx 或；当0)(xf时，)ln(0mx.所以函数)(xf在)(ln()0,(，m上单调递增，在)ln(0(m，上单调递减.10 分 综上可知：当0m 时，函数)(xf在),0(上单调递增，在)0 (，上单调递减；当01m时，函数)(xf在),0()ln(,(，m上单调递增，在)0 )(ln(，m 上单调递减；当1m时，函数)(xf在)(，上单调递增；当1m时，函数)(xf在)(ln()0,(，m上单调递增，在)ln(0(m，上单调递减.（III）由（II）可知，当1em时，对任意的),0(x，)(xf在)ln
12、(0(m，上单调递减，在)(ln(，m上单调递增.所以)(xf在),0(上的极小值为1)ln()1()ln(mmmmf.11 分 设1)ln()1()(mmmmg.12 分 当1em时，因为01)ln()(mmmg，13 分 所以)(mg在），1 e上单调递增.所以2)e()(gmg.8 所以对任意的),0(x，2)(xf恒成立.15 分 (21)（共 15 分）解：（）2，4，8，16.4 分（）因为集合M存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设ka是 3 的倍数.由12,12,224,12nnnnnaaaaa易证明对任意nk，na是 3 的倍数.如果1k，则M的所有元素都是 3 的倍数.6
13、分 如果1k，因为12kkaa或1224kkaa，所以12ka是 3 的倍数，于是1ka是 3 的倍数.8 分 类似可得21,.,kaa都是 3 的倍数，从而对任意1n，na是 3 的倍数.因此M的所有元素都是 3 的倍数.综上，若集合M存在一个元素是 3 的倍数，则M的所有元素都是 3 的倍数.10 分（）由124a，11112,12,224,12nnnnnaaaaa易证明24(2,3,.)nan.因为1a是正整数，112112,12,224,12,aaaaa 所以2a是 2 的倍数.从而当3n 时，na是 4 的倍数.12 分（1）如果1a是 3 的倍数，由（）知对所有正整数n，na是 3 的倍数.因此当3n 时，12,24na，这时M的元素个数不超过 4.13 分（2）如果1a不是 3 的倍数，由（）知对所有正整数n，na不是 3 的倍数.因此当3n 时，4,8,16,20na，易知在数列 na中不能同时出现 4,20，所以M的元素个数不超过 5.14 分 当11a 时，1,2,4,8,16M 有 5 个元素.9 综上可知，集合M的元素个数的最大值为 5.15 分
