1、习题课习题课抛物线的综合问题抛物线的综合问题1.利用抛物线的定义解题若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,那么点P到点F的距离等于点P到l的距离.2.抛物线的焦半径与焦点弦(1)抛物线的焦半径(2)抛物线的焦点弦【做一做2】过抛物线y2=2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于()A.4p B.5pC.6p D.8p解析:由题意线段PQ即为焦点弦,|PQ|=x1+x2+p.x1+x2=3p,|PQ|=x1+x2+p=4p.答案:A【做一做4】抛物线y2=3x上一点P到x轴的距离为3,则点P到抛物线焦点F的距离为.【做
2、一做5】已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.探究一探究二探究三规范解答利用抛物线的定义解决计算问题利用抛物线的定义解决计算问题【例1】已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.思路点拨:一种思路是由条件结合两点间距离公式,建立方程组求解;另一种思路是借助抛物线的定义进行转化求解.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答反思感悟法一的思路易得出,但需要解二元二次方程组,稍有疏忽,则会解出错误的结果.而法二则是利用了抛物线的定义,得出简单的一
3、元一次方程,解法简单,不易出错.利用抛物线的定义解题,实质是进行了两种距离之间的转化:即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化可以简化解题过程.探究一探究二探究三规范解答变式训练变式训练1设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析:由抛物线的方程得 ,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.答案:B探究一探究二探究三规范解答利用抛物线的定义解决最值问题利用抛物线的定义解决最值问题【例2】已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规
4、范解答反思感悟这类与抛物线有关的最值问题,一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离),将两个距离进行适当的转化,造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”的情形,使问题获解.探究一探究二探究三规范解答变式训练变式训练2已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.答案:A 探究一探究二探究三规范解答抛物线的焦点弦问题抛物线的焦点弦问题【例3】已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线
5、相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.思路点拨:(1)只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,然后根据焦点弦长度公式求解;(2)利用焦点弦长度公式得到AB的中点坐标后计算即可.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答反思感悟求解抛物线的焦点弦长度问题一般有两种方法:一是运用一般的弦长公式求解;二是直接利用焦点弦长度公式求解,即如果AB是抛物线y2=2px(p0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长:|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,
6、把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义的重要应用.探究一探究二探究三规范解答变式训练变式训练3已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36,求弦所在的直线方程.解:过焦点的弦长为36,弦所在的直线的斜率存在且不为零.故可设弦所在直线的斜率为k,且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),直线的方程为y=k(x-1).探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答抛物线中的定值、定点问题【典例】如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.审题
7、策略:欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,然后说明其斜率为定值,或直接用 写出斜率,然后说明k0的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,AB与AC两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答答题模板第1步:由已知条件寻求直线AB,AC斜率之间的关系.第2步:写出AB的方程并与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得点B的横坐标.第3步:根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标.第4步:利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理得到结果.第5步:得出结论.探究一探究二
8、探究三规范解答失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:(1)不能根据AB与AC两直线倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程;(2)直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数的关系正确地求得点B的坐标;(3)考虑不到利用AB与AC的斜率互为相反数来写出点C坐标;(4)化简整理出现错误.探究一探究二探究三规范解答跟踪训练跟踪训练已知A,B为抛物线y2=2px(p0)上两点,O为原点,若OAOB,求证:直线AB过定点.1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程为()A.y2=16xB.x2=16yC.x2=8y D.x2=-8y解析:由题意知抛物线开口向上,且 ,得p=8,所以抛物线的标准方程为x2=16y.答案:B2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为答案:C5.已知抛物线y2=-8x的顶点为O,点A,B在抛物线上,且OAOB,求证:直线AB经过一个定点.当堂检测
