1、 专题专题 1818 创新型与新定义综合问题创新型与新定义综合问题 【考点【考点 1】几何综合探究类阅读理解问题几何综合探究类阅读理解问题 【例【例 1 1】（2019甘肃天水）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明 理由； （2）性质探究性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD 试证明：AB2+CD2=AD2+BC2； （3） 解决问题解决问题： 如图 3， 分别以 Rt ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作
2、正方形 ACFG 和正方形 ABDE， 连结 CE、BG、GE已知 AC=4，AB=5，求 GE 的长 【答案】（1）四边形 ABCD 是垂美四边形理由见解析.（2）见解析.（3）GE= 73 【解析】（1）四边形 ABCD 是垂美四边形理由如下： AB=AD，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， CB=CD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形； （2）如图 1， ACBD，AOD=AOB=BOC=COD=90 ， 由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2， AD2+
3、BC2=AB2+CD2； （3）连接 CG、BE， CAG=BAE=90 ， CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE， 在 GAB 和 CAE 中， AGAC GABCAE ABAE ， GABCAE（SAS）， ABG=AEC，又AEC+AME=90 ， ABG+AME=90 ，即 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， AC=4，AB=5，BC=3，CG=4 2，BE=52， GE2=CG2+BE2-CB2=73，GE= 73 【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根
4、据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算本题考查的是正方形的性质、全等三角 形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题 的关键 【变式【变式 1 1- -1 1】（2019甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图，在等边ABC 中，M 是 BC 边上一点（不含端点 B，C），N 是ABC 的外角ACH 的平分 线上一点，且 AM=MN求证：AMN=60 点拨：如图，作CBE=60 ，BE 与 NC 的延长线相交于点 E，得等边BEC，连接 EM易证：ABM EBM （SAS） ， 可得 AM=EM， 1=2； 又 AM
5、=MN， 则 EM=MN， 可得3=4； 由3+1=4+5=60， 进一步可得1=2=5，又因为2+6=120，所以5+6=120，即：AMN=60 问题：如图，在正方形 A1B1C1D1中，M1是 B1C1边上一点（不含端点 B1，C1），N1是正方形 A1B1C1D1 的外角D1C1H1的平分线上一点，且 A1M1=M1N1求证：A1M1N1=90 【答案】见解析. 【解析】延长 A1B1至 E，使 EB1=A1B1，连接 EM1、EC1， 如图所示： 则 EB1=B1C1，EB1M1=90=A1B1M1， EB1C1是等腰直角三角形， B1EC1=B1C1E=45， N1是正方形 A1B
6、1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点， M1C1N1=90+45=135， B1C1E+M1C1N1=180， E、C1、N1三点共线， 在A1B1M1和EB1M1中， 111 11111 1111 ABEB ABMEB M M BMB ， A1B1M1EB1M1（SAS）， A1M1=EM1，1=2， A1M1=M1N1，EM1=M1N1，3=4， 2+3=45，4+5=45，1=2=5， 1+6=90，5+6=90， A1M1N1=18090=90 【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形 的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角
7、形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的 性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019湖北咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解：理解： （1）如图 1，点 A，B，C 在O 上，ABC 的平分线交O 于点 D，连接 AD，CD 求证：四边形 ABCD 是等补四边形； 探究：探究： （2）如图 2，在等补四边形 ABCD 中，AB=AD，连接 AC，AC 是否平分BCD？请说明理由 运用：运用： （3）如图 3，在等补四边形 ABCD 中，AB=AD，其外角EAD 的平分线交 CD 的延长线于点 F，CD=10
8、， AF=5，求 DF 的长 【解析】（1）如图 1，四边形 ABCD 为圆内接四边形， A+C=180，ABC+ADC=180， BD 平分ABC，ABD=CBD，AD CD ，AD=CD， 四边形 ABCD 是等补四边形； （2）AD 平分BCD，理由如下： 如图 2，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AF 垂直 CD 的延长线于点 F， 则AEB=AFD=90， 四边形 ABCD 是等补四边形，B+ADC=180， 又ADC+ADF=180，B=ADF， AB=AD，ABEADF（AAS），AE=AF， AC 是BCF 的平分线，即 AC 平分BCD； （3）如图 3，连接 AC，
9、四边形 ABCD 是等补四边形，BAD+BCD=180， 又BAD+EAD=180，EAD=BCD， AF 平分EAD，FAD= 1 2 EAD， 由（2）知，AC 平分BCD， FCA= 1 2 BCD，FCA=FAD， 又AFC=DFA，ACFDAF， AFCF DFAF ，即 510 5 DF DF ，DF=5 25 【名师点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等 【考点【考点 2】代数类新定义及阅读理解型问题代数类新定义及阅读理解型问题 【例【例 2 2】（2019
10、自贡）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S=1+2+22+22017+22018， 则 2S=2+22+22018+22019， 得 2SS=S=220191， S=1+2+22+22017+22018=220191. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+29=_； （2）3+32+310=_； （3）求 1+a+a2+an的和（a0，n 是正整数），请写出计算过程 【答案】（1）2101；（2） 11 31 2 ；（3）a=1 时，S=n+1；a1 时，S= 1 1 1 n a a 【解析】（1）设 S=1+2+22+2
11、9， 则 2S=2+22+210， 得 2SS=S=2101， S=1+2+22+29=2101； 故答案为：2101； （2）设 S=3+3+32+33+34+310， 则 3S=32+33+34+35+311， 得 2S=3111， 所以 S= 11 31 2 ， 即 3+32+33+34+310= 11 31 2 ； 故答案为： 11 31 2 ； （3）设 S=1+a+a2+a3+a4+an， 则 aS=a+a2+a3+a4+an+an+1， 得：（a1）S=an+11， a=1 时，不能直接除以 a1，此时原式等于 n+1； a1 时，a1 才能做分母，所以 S= 1 1 1 n a
12、 a ， 即 1+a+a2+a3+a4+an= 1 1 1 n a a . 【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是 解决这类问题的方法 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m，n，我们可将这个两位数记为mn， 易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c 【基础训练基础训练】 （1）解方程填空： 若2x+ 3x =45，则 x=_； 若7y8y=26，则 y=_； 若93 t +5 8 t =131 t，则 t=_； 【能力提升能力提升】 （
13、2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被 _整除，mnnm一定能被_整除，mnnmmn 一定能被_整除；（请从 大于 5 的整数中选择合适的数填空） 【探索发现探索发现】 （3）北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连 光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不 相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数 减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为 325，则用 532235=297）
14、，再将这个新数按上述方式重新 排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” 该“卡普雷卡尔黑洞数”为_； 设任选的三位数为abc（不妨设 abc），试说明其均可产生该黑洞数 【答案】（1）247（2）11；9；10 【解析】（1）mn=10m+n， 若2x+ 3x =45，则 102+x+10x+3=45， x=2， 故答案为：2 若7y8y=26，则 107+y（10y+8）=26， 解得 y=4， 故答案为：4 由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得 若93 t +5 8 t =131 t，则 100t+109+3+1005+1
15、0t+8=10001+1003+10t+1， 100t=700， t=7， 故答案为：7 （2）mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n）， 则mn+nm一定能被 11 整除， mnnm=10m+n（10n+m）=9m9n=9（mn）， mnnm一定能被 9 整除 mnnmmn=（10m+n）（10n+m）mn=100mn+10m2+10n2+mnmn=10（10mn+m2+n2） mnnmmn 一定能被 10 整除 故答案为：11；9；10 （3）若选的数为 325，则用 532235=297，以下按照上述规则继续计算， 972279=693， 963369=594，
16、 954459=495， 954459=495， 故答案为：495 当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c（100c+10b+a）=99（ac）， 结果为 99 的倍数，由于 abc，故 ab+1c+2， ac2，又 9ac0， ac9， ac=2，3，4，5，6，7，8，9， 第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： 981189=792，972279=693，963369=594，954459495，954459=495， 故都可以得到该黑洞数 495 【名师点睛】本题是较为复杂的新
17、定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度 略大 【变式【变式 2 2- -2 2】（2019济宁）阅读下面的材料： 如果函数 y=f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2， （1）若 x1DF， 由此得出一个关于 1 1n ， 1 1n ， 2 n ，之间数量关系的命题： 若 n1，则_ （2）证明命题证明命题 小东认为：可以通过“若 ab0，则 ab”的思路证明上述命题 小晴认为：可以通过“若 a0，b0，且 ab1，则 ab”的思路证明上述命题 请你选择一种方法证明（1）中的命题 【解析】（1）AE+BG=2CF，CFDF，AE= 1 1n ，BG
18、= 1 1n ，DF= 1 n ， 1 1n + 1 1n 2 n 故答案为： 1 1n + 1 1n 2 n （2）方法一： 1 1n + 1 1n 2 n = 222 22 (1)(1) nnnnn n nn = 2 (1)(1)n nn ， n1，n（n1）（n+1）0， 1 1n + 1 1n 2 n 0， 1 1n + 1 1n 2 n 方法二： 11 11 2 nn n = 2 2 1 n n 1， 1 1n + 1 1n 2 n 【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解 题意，灵活运用所学知识解决问题 【变式【变式 3 3- -
19、2 2】定义：如图，若双曲线 k yk0 x 与它的其中一条对称轴yx相交于两点 A，B，则线段 AB 的长称为双曲线 k yk0 x 的对径 （1）求双曲线 1 y x 的对径; （2）若某双曲线 k yk0 x 对径是10 2.求 k 的值; （3）仿照上述定义,请你定义双曲线 k yk0 x 0，MP= 1 4 m2+1，MP=PQ， 又MNPQ，四边形 PMNQ 是广义菱形正确 故答案为： 【名师点睛】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次 函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键 9. （2019浙江湖州） 七巧板是我国祖
20、先的一项卓越创造， 被誉为 “东方魔板” 由边长为 4的正方形 ABCD 可以制作一副如图 1 所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形 EFGH 内拼成如图 2 所示的“拼搏兔”造型 （其中点 Q、R 分别与图 2 中的点 E、G 重合，点 P 在边 EH 上），则“拼搏兔”所在正方形 EFGH 的边长 是_ 【答案】4 5 【解析】如图 2 中，连接 EG，作 GMEN 交 EN 的延长线于 M 在 RtEMG 中，GM=4，EM=2+2+4+4=12， EG= 22 EMGM = 22 124 =4 10， EH= 2 EG =4 5，故答案为：45 【名师点睛】本题考查正方形的性质，七巧板
21、，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构 造直角三角形解决问题 10 （2019广西贵港） 我们定义一种新函数： 形如 y=|ax2+bx+c| （a0， 且 b24a0） 的函数叫做鹊桥函数 小 丽同学画出了鹊桥函数 y=|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点 为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线 x=1；当1x1 或 x3 时，函 数值 y 随 x 值的增大而增大； 当 x=1 或 x=3 时， 函数的最小值是 0； 当 x=1 时， 函数的最大值是 4 其 中正确结论的个数是_ 【答案】4 【解析】（1，0），（
22、3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y=|x22x3|，是正确的； 从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x=1，因此也是正确的； 根据函数的图象和性质，发现当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此也是正确的； 函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 y=0，求出相应的 x 的值为 x=1 或 x=3，因此也是正 确的； 从图象上看，当 x3，函数值要大于当 x=1 时的 y=|x22x3|=4，因此时不正确的； 故答案是：4 【名师点睛】 理解 “鹊桥” 函数 y=|ax2+bx+c|的意义， 掌握 “鹊桥” 函数与 y=|ax2+bx+c
23、|与二次函数 y=ax2+bx+c 之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点、对 称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握 11.（2019贵州安顺）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNplcr，15501617 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之 前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，17071783 年）才发现指数与对数之间的联系 对数的定义：一般地，若 ax=N（a0 且 a1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=logaN，比如指数 式 24=16 可以转化为对数式 4
24、=log216，对数式 2=log525，可以转化为指数式 52=25 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（MN）=logaM+logaN（a0，a1，M0，N0），理由如下： 设 logaM=m，logaN=n，则 M=am，N=an， MN=aman=am+n，由对数的定义得 m+n=loga（MN） 又m+n=logaM+logaN loga（MN）=logaM+logaN 根据阅读材料，解决以下问题： （1）将指数式 34=81 转化为对数式； （2）求证：loga M N =logaMlogaN（a0，a1，M0，N0） （3）拓展运用：计算 log69+log68l
25、og62= 【解析】（1）4=log381（或 log381=4），故答案为：4=log381； （2）证明：设 logaM=m，logaN=n，则 M=am，N=an， M N = m n a a =amn，由对数的定义得 mn=loga M N ， 又mn=logaMlogaN，loga M N =logaMlogaN； （3）log69+log68log62=log6（982）=log636=2 故答案为：2 12定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.已知四边形 ABCD 是圆美四边形 1求美角C的度数； 2如图 1，若O的半径为2 3，求 BD
26、的长； 3如图 2，若 CA 平分BCD，求证：BC CDAC 【答案】(1)120 ;(2)6;(3)见解析. 【解析】 【分析】 1先判断出2CA，再判断出180AC，即可得出结论； 2先求出60E，再求出 DE，最后用锐角三角函数即可得出结论； 3作出辅助线，判断出BCF是等边三角形，得出AFBBCD，进而判断出ABFDBC，得 出CAFD，即可得出结论 【详解】 解： 1四边形 ABCD 是圆美四边形， C2A， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， AC180， A2A180， A60， C120； 2由 1知，A60， 如图 1，连接 DO 并延长交O于 E，连接 BE， EA60，
27、 O的半径为2 3， DE2 2 34 3 ， 在Rt DBE中， 3 BDDE sinE4 36 2 ； 3如图 2，在 CA 上截取CFCB， 由 1知，BCD120， CA平分BCD， 1 BCAACDBCD60 2 ， BCF是等边三角形， BCBF，BFC60， AFB120，AFBBCD， 在ABF和BCD中， BAFBDC AFBBCD BFBC ， ABFDBC AAS， AFDC， ACCF AFBC CD 【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判 定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键 13.（2019枣庄）对于
28、实数 a、b，定义关于“”的一种运算：ab=2a+b，例如 34=23+4=10 （1）求 4（3）的值； （2）若 x（y）=2，（2y）x=1，求 x+y 的值 【答案】（1）5；（2） 1 3 . 【解析】（1）根据题中的新定义得：原式=83=5； （2）根据题中的新定义化简得： 22 41 xy xy ， +得：3x+3y=1，则 x+y= 1 3 【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14在课外活动中，我们要研究一种凹四边形燕尾四边形的性质. 定义 1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹
29、四边 形（如图 1）. （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； 定义 2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图 2）. 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形. 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整： （2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以 证明； （3）如图 2，在燕尾四边形 ABCD 中，AB=AD=6，BC=DC=4，BCD=120 ，求燕尾四边形 ABCD 的面积 （直接写出结果）. 【答案】 （1）； （2）
30、答案见解析； （3）12 24 3 【解析】 试题分析： （1）根据凹四边形的定义即可得出结论； （2）由燕尾四边形的定义可以得出燕尾四边形的性质； （3）连接 BD，根据 SABD-SBCD即可求出燕尾四边形 ABCD 的面积. 试题解析： （1）. （2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对 角线等等. 已知：如图，在凹四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC. 求证：B=D. 证明：连接 AC. AB=AD,CB=CD,AC=AC， ABCADC. B=D. （3）燕尾四边形 ABCD 的面积为12 24 3. 15定义：对角线互相
31、垂直的圆内接四边形叫做圆的奇妙四边形. （1）如图，已知四边形ABCD是O的奇妙四边形，若6AC ，8BD则 ABCD S= 四边形 _； （2）如图，已知四边形ABCD内接于O，对角线交于点E，若 m ADBC180， 求证：四边形ABCD是O的奇妙四边形； 作OMBC于M，请猜想AD与OM之间的数量关系，并推理说明. 【答案】 （1）24； （2）见解析，2ADOM或1 2OMAD，见解析. 【解析】 【分析】 (1)由 ABCD S四边形 =SADC+SABC= 1 2 AC BD 即可得到答案. （2）证：四边形ABCD是O的奇妙四边形，证ACBD即可. 过点O作OMBC，垂足为点M,
32、20MAD 分不同情况证明或1/2OMAD. 【详解】 解： （1）24S ABCD S四边形 =SADC+SABC= 1 2 AC BD= 1 2 6 8=24 （2）如图，由题得， 1 2 m ABDAD ， 1 2 m BAEBC 180 m AD BC 90ABDBAE 90AEB ACBD 四边形是ABCD的O奇妙四边形. 如图， 过点O作OMBC， 垂足为点M，AD与OM之间的数量关系：20MAD或1/2OMAD 图 推理说明如下： 解法一： 如图，连结并延长BO交O于点N，连结CN 图 OMBC为BC的中点 又O为BN的中点 OM是BCN的中位线 1/2OMCN BN为直径 90
33、BCN即90NBCBNC BACBNC ABDNBC（等角的余角相等） ADCN 1/2OMAD 解法二： 如图，连结OA、OB、OC、OD，过点O作ONAD于点N， OMBC，ONAD 90OMCOND，1/2NODAOD，1/2COMCOB 1/2COMCOB m ADBC180 180AODCOB 90NODCOM OCMNOD OCODCOMODN OMDN 又2ONADADDN 20MAD 【点睛】 本题考查的知识点是新情境下圆的应用，解题的关键是熟练的掌握新情境下圆的应用. 16定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解： 1如图 1， 点A B C， ，在O上，A
34、BC的平分线交O于点D， 连接ADCD，求证： 四边形ABCD 是等补四边形； 探究： 2如图 2，在等补四边形ABCD中AB AD，连接ACAC，是否平分?BCD请说明理由 运用： 3如图 3，在等补四边形ABCD中，ABAD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点 105FCDAF， ，求DF的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）AD平分BCD，理由见解析； （3） 5 2 5DF . 【解析】 【分析】 1由圆内接四边形互补可知180180ACABCADC ，再证AD CD，即可根据等补 四边形的定义得出结论； 2过点A分别作AEBC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证ABEADF
35、，得到 AEAF，根据角平分线的判定可得出结论； 3连接AC， 先证EADBCD，推出FCAFAD，再证ACFDAF，利用相似三角形对应边的 比相等可求出DF的长 【详解】 1证明：四边形ABCD为圆内接四边形， 180180ACABCADC ， BDABC平分， ABDCBD， ADCD AD CD， 四边形ABCD是等补四边形； 2AD平分BCD，理由如下： 如图 2，过点A分别作AEBC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，则90AEBAFD， 四边形ABCD是等补四边形， 180BADC ， 又180ADCADF， BADF， AB AD， ABEADF AAS（）， AEAF， AC是
36、BCF的平分线，即AC平分BCD； 3如图 3，连接AC， 四边形ABCD是等补四边形， 180BADBCD， 又180BADEAD， EADBCD， AF平分EAD， 1 2 FADEAD， 由 2知，AC平分BCD， 1 2 FCABCD FCAFAD， 又AFCDFA， ACFDAF， AFCF DFAF 即 510 5 DF DF 5 2 5DF 【点睛】 本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形 的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等 17定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做准菱形，利用该定义完成以下各题： （
37、1）理解：如图 1，在四边形 ABCD 中，若_（填一种情况） ，则四边形 ABCD 是准菱形； （2）应用：证明：对角线相等且互相平分的准菱形是正方形； （请画出图形，写出已知，求证并证明） （3）拓展：如图 2，在 RtABC 中，ABC=90 ，AB=2，BC=1，将 RtABC 沿ABC 的平分线 BP 方向 平移得到DEF，连接 AD，BF，若平移后的四边形 ABFD 是准菱形，求线段 BE 的长 【答案】(1)答案不唯一，如 ABBC.（2）见解析;(3) BE=2 或 5或2或 142 2 . 【解析】 整体分析： (1)根据准菱形的定义解答，答案不唯一；(2)对角线相等且互相平
38、分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时 即是正方形；(3)根据平移的性质和准菱形的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解. 解：(1)答案不唯一，如 ABBC. (2)已知：四边形 ABCD 是准菱形，AB=BC，对角线 AC，BO 交于点 O，且 AC=BD，OA=OC，OB=OD. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：OA=OC，OB=OD， 四边形 ABCD 是平行四边形. AC=BD， 平行四边形 ABCD 是矩形. 四边形 ABCD 是准菱形，AB=BC， 四边形 ABCD 是正方形. (3)由平移得 BE=AD，DE=AB2，EF=BC1，DF=AC5. 由准菱形的定义有四种
39、情况： 如图 1，当 ADAB 时，BEADAB2. 如图 2，当 ADDF 时，BEADDF5. 如图 3，当 BFDF5时，延长 FE 交 AB 于点 H，则 FHAB. BE 平分ABC，ABE 1 2 ABC45 . BEHABE45 .BE 2BH. 设 EHBHx，则 FHx1，BE 2x. 在 RtBFH 中，BH2FH2BF2， x2(x1)2( 5) 2， 解得 x11，x22(不合题意，舍去)， BE 2x2. 如图 4，当 BFAB2 时，与)同理得：BH2FH2BF2. 设 EHBHx，则 x2(x1)222， 解得 x1 17 2 ，x2 17 2 (不合题意，舍去)
40、， BE 2x 142 2 . 综上所述，BE=2 或5或 2或 142 2 . 18定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做准平行四边形.例如:凸四边形ABCD中，若 ,ACBD ，则称四边形ABCD为准平行四边形. （1）如图，, , ,A P B C是O上的四个点，60APCCPB，延长BP到Q，使AQAP.求证: 四边形AQBC是准平行四边形； （2） 如图， 准平行四边形ABCD内接于O，,ABAD BCDC， 若O的半径为5,6AB ， 求AC 的长； （3）如图，在Rt ABC中，90 ,30 ,2CABC ，若四边形ABCD是准平行四边形，且 BCDBAD，请直接写出BD长的最
41、大值. 【答案】 （1）见解析； （2）7 2； （3）2 32 【解析】 【分析】 （1）先根据同弧所对的圆周角相等证明三角形 ABC 为等边三角形，得到ACB=60 ，再求出APB=60 ， 根据 AQ=AP 判定APQ 为等边三角形，AQP=QAP=60 ，故ACB=AQP，可判断QAC120 ， QBC120 ，故QACQBC，可证四边形AQBC是准平行四边形； （2）根据已知条件可判断ABCADC，则可得BAD=BCD=90 ，连接 BD，则 BD 为直径为 10，根 据 BC=CD 得BCD 为等腰直角三角形，则BAC=BDC=45 ，在直角三角形 BCD 中利用勾股定理或三 角函
42、数求出 BC 的长，过 B 点作 BEAC，分别在直角三角形 ABE 和BEC 中，利用三角函数和勾股定理 求出 AE、CE 的长，即可求出 AC 的长. （3）根据已知条件可得：ADC=ABC=60 ，延长 BC 到 E 点，使 BE=BA，可得三角形 ABE 为等边三 角形，E=60 ，过 A、E、C 三点作圆 o，则 AE 为直径，点 D 在点 C 另一侧的弧 AE 上（点 A、点 E 除 外） ，连接 BO 交弧 AE 于 D 点，则此时 BD 的长度最大，根据已知条件求出 BO、OD 的长度，即可求解. 【详解】 （1）60APCCPB ABC=BAC=60 ABC 为等边三角形，A
43、CB=60 APQ=180 -APC-CPB=60 又 AP=AQ APQ 为等边三角形 AQP=QAP=60 ACB=AQP QAC=QAP+PAB+BAC=120 +PAB120 故QBC=360 -AQP-ACB-QAC120 QACQBC 四边形AQBC是准平行四边形 （2）连接 BD，过 B 点作 BEAC 于 E 点 准平行四边形ABCD内接于O，,ABAD BCDC ABCADC，BAD=BCD BAD+BCD=180 BAD=BCD=90 BD 为O的直径 O的半径为 5 BD=10 BC=CD,BCD=90 CBD=BDC=45 BC=BD sinBDC=10 2 =5 2
44、2 ，BAC=BDC=45 BEAC BEA=BEC=90 AE=ABsinBAC=6 2 =3 2 2 ABE=BAE=45 BE=AE=3 2 在直角三角形 BEC 中，EC= 22 4 2BCBE AC=AE+EC=7 2 （3）在Rt ABC中，90 ,30 CA ABC=60 四边形ABCD是准平行四边形，且BCDBAD ADC=ABC=60 延长 BC 到 E 点，使 BE=BA，可得三角形 ABE 为等边三角形，E=60 ，过 A、E、C 三点作圆 o，因为 ACE=90 ， 则 AE 为直径， 点 D 在点 C 另一侧的弧 AE 上 （点 A、 点 E 除外） ， 此时， ADC=AEC=60 ， 连接 BO 交弧 AE 于 D 点，则此时 BD 的长度最大. 在等边三角形 ABE 中，ACB=90 ，BC=2 AE=BE=2BC=4 OE=OA=O
