1、第 1 页 共 9 页 四川省宜宾市叙州区2020届高二下学期第二月考 数学（理） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1复数23i的虚部为 A2B3iC3iD3 2以下不等式在0x 时不成立 的是 Aln xxB exx Cln 1 x
2、xe D 1 x ex 3已知 2 f xx，则 0 lim x f xxf x x A 2 x B2xC 2 xDx 4双曲线 22 1 94 xy 的渐近线方程是 A 3 2 yx B 9 4 yx C 2 3 yx D 4 9 yx 5“1c ”是“直线 0xyc 与圆 22 212xy”相切的 A必要不充分条件B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 6若在 22 1xy所围区域内随机取一点，则该点落在1xy所围区域内的概率是 A 1 B 2 C 1 2 D 1 1 7从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个 数为 第 2
3、页 共 9 页 A300B216C180D162 8甲.乙两人约定在上午9:00到10:40之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过时即可离去若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能 会面的概率为 A 1 25 B 16 25 C 9 25 D 1 5 9已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点为 12 ,F F,离心率为 3 3 ,过 2 F的直线l 交C于,A B两点，若 1 AFB的周长为4 3,则b的值为 A4B2C 2 D2 2 10已知函数 ?退诠 ? ?，若过点 ?退cro诠可作曲线 ? ?退诠的三条切线，则实数的取值
4、 范围是 A退 ? ?r ?c诠B退 ? ?r ?c诠 C退 ? ?rc诠D退rc诠 11 已知圆 1 C： 22 111xy， 圆 2 C： 22 214xy，A，B分别是圆 1 C， 2 C上的动员.若动点M在直线 1 l：10xy 上，动点N在直线 2 l：10xy 上，记 线段MN的中点为P，则PAPB的最小值为 A3B 5 2 2 C 143 D133 12已知函数 fx的导函数为 fx，且满足 32 1 2 3 f xxaxbx， 2 4fxfx，若 6 ln2f xx x恒成立，则实数b的取值范围为 A4ln2,B5ln5,C64ln3,D66ln6, 第 II 卷 非选择题（9
5、0 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13定积分 3 1 1 2dxx x _ 第 3 页 共 9 页 14在正方体 1111 ABCDABC D中，点,E F分别是 1 BB，CD的中点，则异面直线 1 D F与 DE所成角的大小为_. 15函数 ?退诠 ? sinr（-? 緘 緘 ?诠，若 ?退c诠 ? ?退 ?诠 ，则实数 的取值范围是 _ 16已知点 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，P为双曲线C左 支上的任意一点，若 2 2 1 |PF PF 的最小值为8a，则双曲线C的离心率的取值范围是（_
6、） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分）2.5PM是衡量空气污染程度的一个指标， 为了了解A市空气质量情况， 从2018 年每天的2.5PM值的数据中随机抽取40天的数据， 其频率分布直方图如图所示.将2.5PM 值划分成区间0,100、100,150、150,200、200,250，分别称
7、为一级、二级、三 级和四级，统计时用频率估计概率 . （I）根据2018年的数据估计该市在2019年中空气质量为一级的天数； （II）如果A市对环境进行治理，经治理后，每天2.5PM值X近似满足正态分布 115,752XN，求经过治理后的2.5PM值的均值下降率. 18 （12 分）已知函数 32 11 11 32 fxxaxax，a 为实数. （I）当2a 时，讨论 fx的单调性； 第 4 页 共 9 页 （II）若 fx在区间1,4上是减函数，求 a 的取值范围. 19（12 分） 三棱柱 111 ABCABC中， 侧棱与底面垂直， 90ABC ， 1 2ABBCBB， ,M N分别是 1
8、 ,AB AC的中点 （I）求证：MN 平面 11 A BC； （II）求二面角 11 MBCA的余弦值 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 e ，椭圆C上一点P到左右 两个焦点 12 ,F F的距离之和是 4. （I）求椭圆的方程； （II）已知过 2 F的直线与椭圆C交于,A B两点，且两点与左右顶点不重合，若 111 FMF AFB ，求四边形 1 AMBF面积的最大值 21 （12 分）已知函数 2 lnf xa xx，其中aR. （I）讨论 fx的单调性； （II）当1a 时，证明: 2 1f xxx； 第 5 页 共 9 页 （
9、III） 试比较 2222 2222 ln2ln3ln4ln 234 n n 与 121 21 nn n * 2nNn且的大小， 并证明你的结论。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 12cos 32sin x y (为参数),以坐标原点O 为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 cos4sin (I)写出曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； (II)若射线 0 :0OM平分曲
10、线 1 C，且与曲线 2 C交于点A，曲线 2 C上的点B满 足 2 AOB ，求AB. 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数( ) |21|f xx （I）解不等式( ) | 3f xx； （II）若对于x，yR，有 1 |31| 3 xy， 1 |21| 6 y ，求证：( 6 7 )f x 第 6 页 共 9 页 参考答案 1-5:DCBCB6-10:BCCCC11-12:DD 138ln3149015 ? ?r161,3 17 （1）由样本空气质量2.5PM的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表： 2.5PM值0,5050,100100,150150,200200,2
11、50 频率0.1250.1250.3750.250.125 由上表可知，如果A市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为 0.25，因此在365天中空气质量为一级的天数约有365 0.2591（天）. （2）如果A市维持不变，那么该市的2.5PM值的均值约为 25 0.12575 0.125+125 0.375E Y +175 0.25225 0.125131.25 由于该市的环境进行治理， 治理后每天2.5PM值X近似满足115,752XN， 所以治理 后的2.5PM值X的均值为115E X，因此A市治理后的2.5PM值的均值下降率为 131.25 115 12.38% 1
12、31.25 18 （1） 2 111fxxaxaxxa ， 当1 1a 即2a 时， 2 10fxx， fx在 R 上单调递增； 当1 1a 即2a 时，由 0fx 得1x 或1xa，由 0fx 得11xa. f x分别在,1与1,a单调递增，在1,1a单调递减. 综上所述，当2a 时， fx在 R 上单调递增； 当2a 时， fx分别在,1与1,a单调递增，在1,1a单调递减. （2）由已知得 2 10fxxaxa 在区间1,4上恒成立. 2 11a xx在区间1,4上恒成立. 当1x 时，aR. 当14x时，1ax. 第 7 页 共 9 页 而 1yx在 1,4x上单调递增，4x 时， m
13、ax 5y，则5a . 综上5a . 19 （1）如图，以 B1为原点建立空间直角坐标系 1 Bxyz 则 11 0,0,0 ,0,2,2, ,2,0,0 ,1,0,2 ,1,1,1 ,BCAMN 111 0,2,2 ,2,0,0 ,0, 1,1BCABNM . 设平面 A1B1C1的法向量为, ,nx y z 1 11 00 0 xn BC yzn AB .令1z ，则0,1,0, 1,1xyn . nNM ，MN平面 A1B1C （2）平面 MB1C 的法向量为 000 ,mxyz 00 1 00 1 20 0 xzm BC yzm B M . 令 0 1,z 则 00 2,1,2, 1,
14、1xym ， 23 cos, 326 nm m n n m ，所求二面角 MB1CA1的余弦值为 3 3 20 （1）依题意，24,2aa， 因为 1 2 e ，所以 222 1,3cbac，所以椭圆C方程为 22 1 43 xy ； （2）设 1122 ,:1A x yB xyAB xmy，则由 22 1 1 43 xmy xy ，可得 2 2 31412myy， 即， 22 34690mymy， 222 3636 3414410mmm ， 又因为 111 FMF AFB ，所以四边形 1 AMBF是平行四边形， 设平面四边形 1 AMBF的面积为S，则 1 2 1212 22 11 222
15、24 23434 ABF m SSFFyy mm 设 2 1tm ，则 第 8 页 共 9 页 22 11mtt，所以 2 1 2424 1 31 3 t S t t t ，因为1t ，所以 1 34t t ， 所以0,6S ，所以四边形 1 AMBF面积的最大值为6. 21 （1）函数 fx的定义域为：0,， fx 2 2 2 aax x xx 当0a 时， 0fx ，所以 fx在0,上单调递增 当0a 时，令 0fx ，解得x 2 a 当 22 2 时， 2 20ax ，所以 0fx ， 所以 fx在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时， 2 20ax ，所以 0fx ，所以 f
16、x在, 2 a 上单调递增 综上，当0a 时，函数 fx在0,上单调递增； 当0a 时，函数 fx在0, 2 a 上单调递减，在, 2 a 上单调递增. （2）当a1时， 2 lnf xxx，要证明 2 1f xxx ， 即证ln1xx，即证：ln10xx . 设 gln1xxx，则 g x 1x x ，令 0gx 得，1x . 当0,1x时， 0gx ，当1,x时， 0gx . 所以1x 为极大值点，且 g x在1x 处取得最大值。 所以 10g xg，即ln10xx 。故 2 1f xxx . （3）证明：ln1xx（当且仅当1x 时等号成立） ，即 1 1 lnx xx , 则有 2 2
17、 2 2 ln + 22 22222222 3111111 111n1 32323 lnlnn nnn 111 n1 233 41n n 第 9 页 共 9 页 12111111111 n1n1 233412121 nn nnnn , 故： 2 2 2 2 ln + 22 22 1213 321 nnlnlnn nn 22 解：（1） 曲线 1 C的直角坐标方程是 2 2 134xy， 即 22 22 30xxyy 化成极坐标方程为：2cos2 3sin 曲线 2 C的直角坐标方程是 2 4xy； （2）曲线 1 C是圆，射线OM过圆心 1, 3，所以方程是0 3 代入 2 cos4sin，得
18、8 3 A 又 2 AOB ，将 5 6 ，代入 2 cos4sin，得 8 3 B 因此 22 16 7 3 AB AB 23 （1）由( ) | 3f xx得|21| | 3xx， 则 1 2 213 x xx ， 或 1 0 2 123 x xx ， 或 0 1 23. x xx ， 解得 1 4 2 x，或 1 0 2 x，或20x ，即24x ， 所以不等式( ) | 1f xx的解集为 | 24xx . （2）证明：由 1 |31| 3 xy， 1 |21| 6 y ， 所以 217 ( ) |21| |2(31)3(21)| 2|31| 3|21| 326 f xxxyyxyy.
