1、一、复合函数微分法一、复合函数微分法二、一阶全微分形式不变性二、一阶全微分形式不变性三、隐函数的微分法三、隐函数的微分法第五节第五节 多元函数微分法多元函数微分法第五节第五节 多元函数微分法多元函数微分法 导言：复合运算是函数的一种最基本运算，同一元复合函数类似,多元函数也可以进行复合运算.多元函数复合时，由于中间变量的增多，使得多元复合函数的形式要比一元复合函数的形式复杂的多.同一元复合函数求导法则相同，多元复合函数求导法在多元函数微分学中起着重要作用，它是多元函数微分学的核心.但是由于多元复合函数形式的复杂性，也使得多元复合函数求导法则形式具有多变性，学习中要注意把握函数的结构特征与法则之
2、间的联系.一、复合函数求导法则 设函数 z=f(u,v),而 ,则有复合函数 （中间变量为一元函数）)(),(xvxu)(),(xxfz 定理 设函数 u=(x)与v=(x)在x 处均可导,二元函数 z=f(x,y)在 x 对应点(u,v)处有一阶连续偏导数则复合函数 对 x 的导数存在,且.xvvzxuuzxzdddddd)(),(xxfzzuvx求导公式函数结构),(xu)(xfy),(ufy xuuyxydddddd一元复合函数求导法则yux),()(xxxu);()(xxxv证，则有增量设自变量xxxoxvvzxuuzxz)(,dxduxu,dxdvxv由于函数 z=f(u,v)在点(
3、u,v)有连续偏导数,所以,)(ovvzuuzz,)()(22vu ,0 x0)()(xoxo.ddddlimdd0 xvvzxuuzxzxzx当所以 设函数 z=f(u,v),而 ,则有复合函数 (中间变量为二元函数),(),(yxvyxu),(),(yxyxfz 类似的可以得到多元复合函数的中间变量为二元函数的求导法则.定理 设 在点(x,y)处有偏导数,而 z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数 在点(x,y)处偏导数存在,且),(),(yxvyxu),(),(yxyxfzyvvzyuuzyz xvvzxuuzxz求导公式函数结构zuvxy项数等于路径条数因子数等于连
4、线数复合函数求导法则特征说明zuvxy 公式与结构图两者之间的联系:公式中偏导数由两项组成,对应结构图中有两条 x 到达 z 的路径.公式中每项为两个偏导数的乘积,这两个偏导数形式与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应.基本规律:分路向加,连线相乘,分清变量,逐层求导.xuuz xvvzxz 复合函数求导法则虽然是多种多样,但是把握了其规律就 可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.(2)设z=f(u,v,w),其复合函数为),(),(),(yxwwyxvvyxuu),(),(),(yxwyxvyxufz .xwwzxvvzxuuzxz .ywwzyvvzyuuzyzzuvwxyxyzuv
5、w (1)设z=f(u,v,w),其复合函数为)(),(),(xwwxvvxuu)(),(),(xwxvxufz xwwzxvvzxuuzxzdddddddduvwxz (3)设w=f(u,v),其复合函数为),(zyxu),(zyxv),(),(zyxzyxfwxvvwxuuwxwyvvwyuuwywzvvwzuuwzwuvzxyz (4)设z=f(x,v),复合函数为 ),(yxv),(,yxxfz .yvvfyzzxvxyxvvfxzxf 注意:这里的 与 是代表不同的意义.xfxz 解 由复合函数求导法则，得tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossin ttetettc
6、ossincos.cos)sin(costttet例 设 求全导数,sintuvz,teu tvcosdtdzzuvtt例 设 求全导数dxdz,2vuz,cosxu xvsin解 由复合函数求导法则，得xxxxuxuvcossin2coscos)sin(2232dxdvvzdxduuzdxdzzuvx.,yzxz例 设 求,sineyxvxyuvzu解法1 由复合函数求导法则，得xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 1cosesinevyvuu，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy1cosesine vxvuu)cos(e)sin(e yxyxyx
7、zxyxy)cos()sin(eyxyxyxy解法2 由复合函数)sin(eyxzxy直接求偏导数 例 设 求偏导数.,e2sin),(222yxvxvxvxfzv解 由复合函数求导法则，得xvvfxfxz xvxxvv2)ecos()4(sin.2e)cos(4)sin(222222xyxxxyxyxzxvxyxvxyvvfyzv2)ecos(例 设 ,其中f(u,v)可微,求偏导数.),(22xyyxfz解 令 ，可得xyvyxu,22xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中 不能再具体计算了,这是因为函数 f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.vzuz,，vzyuzx
8、2，vzxuzy 2.,)(,)(22yzxzufyxxfz与求可微且练习：设 例 设 ,其中f(u,v,t)可微,求偏导数.),(2xyzxyxfw 解 令 可得.,2xyztxyvxuxttwxvvwxuuwxwdd.twxzvwx.twxyzttwzw,2twyzvwyuwxyttwyvvwyw wuvtxyz例设),(yxyxfxyz.,yzxz求 解 在这个函数的表达式中,乘法中有复合函数所以先用乘法求导公式.xz),(yxyxfy1121ffxy),(yxyxfy,21ffxyyz.),(21ffxyyxyxfx),(yxyxfx)1(121ffxy这里 分别表示对第一、二个变量求
9、导.21,ff例设解 令xyxyfz,其中f 具有二阶连续偏导数 yxzxz222,求),(,vufzxyvxyu由复合函数求导法则，得zuvxyxvvzxuuzxzvufxyyf2vuff,uvxyvvvuvuvuufxyyfxyfxyfxyyfyxz2232222因为f 具有二阶连续偏导数，所以 ，故vuuvffvvuvuuvfxyfxyfyfxyxz4222232222类似地，vvvuvuvuuufxxfxyfxfxxfyfyxz111222vvuuvufxyxyffxf321二、一阶全微分形式不变性 .dddvvzuuzz 设 z=f(u,v)有连续偏导数,当u,v是自变量时,有 如果
10、u,v是中间变量,即 ,且具有连续偏导数,则复合函数),(),(yxvyxu),(),(yxyxfz的全微分为,dddyyzxxzz其中.,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyyvvzyuuzxxvvzxuuzzd ddyyvxxvvzyyuxxuuzdddd.ddvvzuuz 由此可见,不论 u,v是自变量还是中间变量,函数 z=f(u,v)的全微分的形式具有同一形式.所以这个性质称为全微分的形式不变性.dddvvzuuzz例 求函数 的偏导数和全微分.xyeyxz)(解 由二元函数一阶微分形式不变性，得)()()(yxdedeyxeyxddzxyxyxy)()()(dydxexyde
11、yxxyxy)()()(dydxexdyydxeyxxyxydyxyxedxyxyexyxy)1()1(22)1(),1(22xyxeyzyxyexzxyxy所以 例 设 ,其中f(u,v)有连续偏导数,求)sin,(22xxyxfz dz解 设xvxyxu22sin,vvfuufzddd)dcossin2(d)d2(xxxvfyxxyxufyufxxvfxufyxdd2sin)2(由二元函数一阶微分形式不变性，得三、隐函数的微分法 设方程 在区域D内确定隐函数 且偏导数 连续，0),(yxF)(xfy，),(yxFx),(yxFy0),(yxFy0)(,(xfxF将函数 代入方程 得0),(
12、yxF)(xfy 此式两端对x求导，由复合函数求导法则，得.0ddxyFFyx因为 ，所以0),(yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 定理 设函数 在包含点 的某区域D 内具有连续的偏导数 和 且 则),(00yx),(yxF0),(00yxF0),(00yxFy),(yxFx),(yxFy (1)方程 在内 能惟一确定隐函数 使得0),(yxF)(0 xU)(xfy)(),(,0)(,(000 xfyxUxxfxF且 (2)函数 在 内有连续的导数，且)(xfy)(0 xU),(),(ddyxFyxFxyyx（隐函数的求导公式）（定理证明从略）类似地，设方程 确定具有连续偏导数的二
13、元函数 ，且 0),(zyxF),(yxzz 0),(zyxFz将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式.0),(,yxzyxF将上式两端对x和y求导，得,010 ,001yzFFFxzFFFzyxzyx所以，得 ,zyzxFFyzFFxz（隐函数求导公式）Fxyzxy例 设.dd0esinxyyyxx，求解1 令 ，则有xyyxyxFesin),(,esinxxyyF由求导公式,得.ecosesinddxxyxyxyyFFxy.ecos xyyxF解2 方程 两边对x 求导，得0esinxyyx0eecossinxxyyyyxy所以,得.ecosesinddxxyxyyxy例
14、 设由方程 确定 求偏导数解1（公式法）令 ，则有由求导公式得解2（求导法）方程 两边对x 求偏导得所以0 xyzez),(yxzz xyzezyxFz),(yzFxxzFyxyeFzz xyexzFFyzxyeyzFFxzzzyzzx0 xyzez0 xzxyyzxzez xyeyzxzz类似可得 xyexzyzz解3（全微分法）方程 两边求全微分，得0 xyzez0)(xydzxzdyyzdxdzezdyxyexzdxxyeyzdzzz即所以 xyeyzxzz xyexzyzz 例 设G(xaz,ybz)=0(a,b为常数),G(u,v)可微,证明由方程所确定的z(x,y)满足方程.1yzbxza证 令u=xaz，v=ybz，F(x,y)=G(xaz,ybz)uvuvuxFFFxvFxuFF01vvuvuyFFFyvFyuFF10vuvuzbFaFzvFzuFF所以,vuuvuuzxbFaFFbFaFFFFxz从而有.1vuvvuubFaFFbbFaFFayzbxza,vuvvuvzybFaFFbFaFFFFyz练习：分别用求导法与全微分法求解该题.
