1、一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质二、二重积分在直角坐标系中计算二、二重积分在直角坐标系中计算三、二重积分在极坐标系中的计算三、二重积分在极坐标系中的计算四、二重积分的几何应用四、二重积分的几何应用第八节第八节 二重积分二重积分 导言：本节我们将一元函数定积分的概念和思想扩展到二元函数的二重积分上，由于二重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一步推广.因此，二重积分概念、性质与定积分类似，二重积分的计算方法也是将其转化为定积分.学习中要注意与定积分的对比，把握两者之间的共性与区别.第八节第八节 二重积分二重积分 求由直线 x=a,x=b,y=0 与曲线 y=f(x)0 所围成的曲
2、边梯形的面积.方法：整体分割局部近似求和积累无限逼近回顾：曲边梯形面积的求解过程及思想方法xyo(1)分割 化整为零niiSS1(2)近似 以常代变iiixfS)(3)求和 积零为整(4)极限 无限累加.)(11niiiniixfSSbainiixxfxfSd)()(lim 10一、二重积分的概念与性质1.求曲顶柱体的体积 曲顶柱体:以xOy平面上的有界闭区域D为底,其侧面为以D的边界线为准线,而母线平行 z轴的柱面，其顶是连续曲面所围成的几何体.xzyD),(yxfz Dyxyxfz),(,0),(下面讨论如何计算曲顶柱体的体积V.(1)分割 对区域 D用两组曲线网任意分割成 n 个小区域
3、其中 既表示第i个小区域也表示其对应的面积.,21ni (2)近似 在 中任取一点 ,以 为高而底为 的平顶柱体体积为 以此作为小曲顶柱体体积 的近似值.i),(ii),(iifi.),(iiifiVxzyi),(ii),(yxfz 方法：整体分割局部近似求和积累无限逼近.),(iiiifV即有 (4)取极限 记 为 的直径 的最大值 (表示 中任意两点间距离的最大值），则曲顶柱体的体积为 (3)求和 将小曲顶柱体积求和，可得曲顶柱体的近似值为.),(11niiiiniifVV)max(id id iiniiiifV10),(limid xzyi),(ii),(yxfz 2.二重积分的概念 定
4、义 设函数 f(x,y)在闭区域 D上有定义且有界.用任意两组曲线分割D成 n 个小块 既表示第i小块,也表示第i 小块的面积.在 上任取一点 ,作和式ii，n,21iii),(.),(1niiiifniiiif10),(lim记 ,若极限)max(id.),(limd),(10niiiDfyxf存在称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为i),(iixyD称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x,y为积分变量,为面积微元.dD),(yxf0limniiiif1),(d积分和积分区域面积微元被积函数积分号 二重积分作几点说明：（1）二重积分的积分值与区域的分割方式与取点无关，即分割与取点
5、具有任意性；（2）二重积分的积分值是一数值，该值与区域及被积函数相关，与积分变量无关；（3）若被积函数在有界闭区域上连续则一定可积.3.二重积分的几何意义(1)若在D上f(x,y)0,则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.Dyxfd),(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些 子区域上为负的，则 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和.Dyxfd),(2)若在D上f(x,y)0,则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体体积的相反数.Dyxfd),(当 时,且区域D的面积为，则 1),(yxfDd 二重积分有与定积分类似的性质.假设函数 f(x
6、,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.则有下述性质：.d),(d),(d),(),(DDDyxgyxfyxgyxf).(d),(d),(为常数kyxfkyxkfDD(1)(2).d),(d),(d),(2121DDDDyxfyxfyxf(3)(4)若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有.d),(d),(DDyxgyxf4.二重积分的性质.d),(MyxfmD 定理(中值定理)设f(x,y)在有界闭区域 D上连续，则在D上存在一点 ，使),(.),(d),(fyxfD 积分中值定理说明：对有界闭区域 D 上连续函数 f(x,y),必在D上存在一个点 使 为f(x,y)在D上的平均值.
7、),(f),(定理(估值定理)若在D上处处有mf(x,y)M，且 为区域D的面积，则二、二重积分在直角坐标系下的计算 在直角坐标系中,如果用平行于两个坐标轴的两组直线段,将区域D分割成n个小块,21n.dd),(d),(DDyxyxfyxf从而有直角坐标系下面积微元yxddd则面积微元可表示为小区域面积iiiyx xoyDyxdddxy 二重积分计算公式 (1)设有界闭区域D的边界曲线与平行于y 轴的直线至多有两个交点.区域 D可以用不等式表示为.,)()(:21bxaxyyxyD区域D称习惯上称为X-型区域.若 在区域D上有定义,由二重积分的几何意义知，的值为),(yxfz)0),(yxf.
8、dd),(Dyxyxf以区域D为底,以 为顶的曲顶柱体的体积.),(yxfz yxab)(2xyy)(1xyy xyzD),(yxfz 在此用定积分的“切片法”来求曲顶柱体的体积.xyzabx 在区间a,b上任取一点x,过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截,截面面积为S(x),则所给立体体积.d)(baxxSV 所截截面为曲边梯形.将这曲边梯形投影到 oyz 坐标面,它是区间 y1(x),y2(x)上,以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形,其截面面积为yy1y2),(yxfz z.d),()()()(21xyxyyyxfxS.dd),(d)(dd),()()(21 baxyxybaDxyyxf
9、xxSyxyxf故曲顶柱体的体积,也就是二重积分为 上式将二重积分化成先对y 积分,后对x 积分的 二次积分或称为累次积分.二重积分的计算公式也可记为.d),(ddd),(dd),()()()()(2121 xyxybabaxyxyDyyxfxxyyxfyxyxf 需要指出,计算 时,应将 x 视为常量,按定积分的计算方法解之.)()(21d),(xyxyyyxf.,)()(:21dycyxxyxD (2)设区域D的边界曲线与平行于x 轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为.d),(dd),(dd),()()()()(2121 yxyxdcdcyxyxDxyxfydyxyxfyxyx
10、f则二重积分可化为 上式将二重积分化成视y为常量先对x积分后对y 积分的二次积分.xy )(2yx)(1yxdc区域D称习惯上称为Y-型区域.说明：(1)若积分区域 D 的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点多于两个,则需要对区域进行适当分割.再用公式及重积分的可加性求二重积分.xy(2)累次积分的下限必须小于上限.计算二重积分的步骤：(1)画出积分区域图形,求出区域边界曲线的交点坐标(2)根据被积函数和积分区域的特征选择积分次序；(3)确定积分限上下限将二重积分转化为累次积分；(4)利用积分法计算累次积分.累次积分中积分限的确定方法yxab)(2xyy)(1xyy yx )(2yxx )(1y
11、xx dc区域D为X-型区域区域D为Y-型区域第一次积分:从穿入的边界方程 作为下限，穿出的边界方程 作为上限.第二次积分:从左端点a值到右端点b值.)(1xy)(2xy第一次积分:从穿入的边界方程 作为下限，穿出的边界方程 作为上限.第二次积分:从左端点c值到右端点d值.)(1yx)(2yx 例 计算 ,其中 Dyxyxd)d(221,1),(yxyxD解 积分区域为矩形区域，选择先对y再对x积分111122)d(dyyxxDyxyxd)d(22111132d3xyyx-111132d3xyyx-38d31112xxxy1111badcdcbadycbxadxyxfdydyyxfdxdyxf
12、),(),(),(,一般地，对于矩形区域有 例 计算积分 其中D是由 y=x，y=0 和 所围成的三角形区域.DyxyxIddcossin2x解 先对y 积分再对x积分xyyxxI020dcossind.4dsindsinsin202200 xxyyxx先对x 积分再对y积分22dcossind0yxyxyI.4dcos202yy202dcoscosyxyyxyy=x22 例 计算 ,其中 0,0,1:22yxyxD解 选择先对y再对x积分注：选择先对x再对y积分类似.Dyxxyddxy1121xy1010:2xxyD10012d|)21(2xyxxDyxxydd10102ddxyxyx814
13、221d)1(210142102xxxxx 例 计算积分 ，其中D是由不等式：所确定的长方形区域.Dyxxyxydd)cos(220,20yx202202d)cos(ddd)cos(yxyxyxyxxyxyD20202d)sin(21xxy.0d4sin2120 xx注：此例说明选择积分次序时要考虑积分易求.解 由被积函数可知,如先对x 积分,需用分部积分法.如先对y 积分则不必，计算会简单些.因此,选择先对y 积分，即 例 计算 其中积分区域D由抛物线 及直线 所围成.解 选择先对x再对y积分Dyxxydd22xy 22 xy212:2yyxyDDyxxydd2221222d2dyyxxyy
14、yyyyyyxyyyd)44(d|)(216234221222356157345127345yyyyyOx122 xyxy 2解 选择先对x再对y积分但是，这时就必须用直线x=1将D分成 和 两块,其中1D2D10:1xxyxDyOx2 xyxy 21D2D412:2xxyxDDyxxydd2221dd2dd222DDyxxyyxxyyxyxyxyxxxxxd2dd2d1041222 计算起来要比先对后对积分麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为累次积分的关键.解 由不定积分可知 不能用初等函数表示出来.因此,所给积分须更改积分次序.即选择先对y 积分后对x 积分.由所给积分知 例 计算二次积分xxxdsinxyxxxI010dsind100dsinxyxxx.1cos1dsin10 xx.dsind110yxxxyI.1 xy10 yD:也即.0 xy 10 xD:xyy=x例 交换二次积分次序 yyxyxfyxyxfyI2021010d),(dd),(d 解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.21,20:,10,0:21yyxDyyxDxyx210 x也即 D:.d),(d210 xxyyxfxIxyxy 2xy 1交换积分次序的步骤：依据二次积分定出积分区域的范围,作出区域图形,再化为新积分次序的二次积分.
