1、1第一章第一章 函函 数数第一节 函数的概念 第二节 反函数与复合函数 第三节 初等函数 第四节 函数模型一、函数的概念一、函数的概念二、具有特性的几类函数二、具有特性的几类函数第一节第一节 函数的概念函数的概念 变量：如果一个量在某个过程中是变化的,即可以取不同的数值,则称这种量为变量.变量通常用x,y,t,表示 常量：如果一个量在某过程中保持不变,总取同一值,则称这种量为常量.常量通常用a,b,c，表示.例 变速运动物体的速度、某地区的温度、某产品的产量和成本等均为变量一、函数的概念第一节 函数的概念变量与变量之间的依赖关系是微积分研究的主要问题先看下面的例子.例 自由落体运动.设物体下落
2、的时间为 t,下落的距离为s，假定开始下落的时刻为 t=0，那么 s 与 t 之间的依赖关系式为:其中 g 是重力加速度，假定物体着地时刻为t=T，那么当时间 t 在闭区间0,T上任取一值时，由上式就可以确定相应的 s 值.221gts 0tTt 221gts 1.1.函数的概念函数的概念例 设有半径为 的圆,考虑内接与圆的正 边形的周长 .可得内接正 边形的周长 与边数 之间的依赖关系式为:nnrSnsin2nnSrnnnS当边数 在3,4,5,等自然数中取任意一个确定值时,由上式都有周长 的已相应值对应.nSn 上述例子都表达了两个之间的依赖关系,这种依赖关系确定了一种对应法则,这种这种对
3、应法则所反映的关系称为函数关系.定义1 设D是实数集上的一个非空子集，如果有D到R上的一个映射（对应规则）f，使得对于每个 ，通过映射 f 都有惟一确定的数 与之对应，则称 f 为定义在D上的函数，x 称为 f 的自变量，y 称为因变量，函数记作DxRyDxyxRDf,:其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个根据映射 f 对应于一个y，记作y=f(x)，称为函数 f 在x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域),()(DxxfyyDf设函数y=f(x)的定义域为D.在平面直角坐标系Oxy中,对于任意的 ,通过函数 y=f(x)都可确定一个点 M(x,y),当x取遍定义域 D中的所
4、有值时，点M(x,y)描出的图形称为函数y=f(x)的图形.Dx 一个函数的图形通常是一条曲线.因此,又称函数 y=f(x)的图形为曲线 y=f(x).xxyyy=f(x)2.2.函数的两个要素函数的两个要素 (1)(1)函数的定义域函数的定义域 函数定义域的确定就是确定使得函数有意义的自函数定义域的确定就是确定使得函数有意义的自变量的取值范围对于实际问题的定义域，通常由实变量的取值范围对于实际问题的定义域，通常由实际问题的性质而定际问题的性质而定.例例求函数求函数 的定义域的定义域.)lg(2162xxy244xx,即即所以函数的定义域为所以函数的定义域为 .,(42解解要使函数要使函数 y
5、 有定义，应满足有定义，应满足 ,020162xx 例例 已知存款的月利率为已知存款的月利率为k%，现存入银行，现存入银行 a 元本元本金，按复利计算，记第金，按复利计算，记第n个月后的存款余额为个月后的存款余额为C（n）则则它给出了存款余额与存款时间的函数关系它给出了存款余额与存款时间的函数关系.其定义域为其定义域为nkanC%)1()()(NnnCD (2)(2)函数的对应关系函数的对应关系.)(各点的函数值各点的函数值，在在求函数求函数hxxxxxxxxf0021353 例例,)(5533332f解解513110200)()()(xxxf,3020 xx530200)()()(hxhxh
6、xf533202020hxhhxx).()(53322020hhxhx 两个函数相等的充分必要条件是其定义域、对应两个函数相等的充分必要条件是其定义域、对应规则分别相同规则分别相同.若函数若函数 和和 则则)(1Dxxfy )(2Dxxgy )(),()()()(fDxxgxfgDfDgf 且且 例 说明函数 与 是否相同?2ln xy xyln2 解 函数 的定义域为2ln xy 函数 的定义域为xyln2),0()0,(),0(所以，函数 与 不相同.2ln xy xyln2 3.3.函数的表示法函数的表示法函数的表示法通常有表格法,图象法,公式法三种.(1)表格法 自变量x与因变量y的一
7、些对应值用表格列出，这样函数关系就用表格法来表示出来.如对数表和三角函数表等都是用表格法来表示函数的.例 某地区8天的最高气温可以由下面表格表示.日期12345678温度28 28 27 25 24 26 27 25此表格反映温度与日期之间的对应关系.(2)图象法 用函数 y=f(x)的图形直观地表达自变量x与因变量y之间的关系的方法为图象法.例 某河道的断面图形如图所示.此图形反映了河道深度y与岸边到测量点的距离x之间的函数关系.这里河道深度 y 与岸边到测量点的距离 x之间的函数关系是用图形表示的.其定义域为区间 0,b.xyy=f(x)(3)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应
8、关系，是函数的公式表示法.例 设半径为x的圆的面积为 S,则面积 S与半径x之间的函数关系可由公式 表示.函数的定义域为 x S2),(0.,)(10012xxxxxfy 设设例 f(x)的定义域是-1,1.其对应关系为xxfx)(,时，时，当当01 ;)(,(210 xxfx时，时，当当 用两个或两个以上的公式来表示一个函数,这类函数称为分段函数.分段函数是公式法表达函数的一种方式.在理论分析和实际应用方面都是很有用的.需要注意的是,分段函数是用几个公式合起来表示一个函数,而不是表示几个函数.用公式法来表示一个函数,通常表达为y=f(x)的形式称为显函数;有时可以用方程F(x,y)=0来表达
9、称为隐函数;有时也可用参数方程来表达.例 半径为 r 的上半圆其方程分别可以由下述形式表达.显函数形式隐函数形式参数方程形式22x-ry)(0222yryx )(,sincosttrytrx0 1.函数的有界性三、函数的特性定义设函数y=f(x)的定义域为D,数集 ，如果存在正数M,使得对于任意的 ,都有不等式 成立,则称 f(x)在X上有界,如果这样的M不存在,就称函数 f(x)在X上无界.DX XxMxf|)(|注:如果M为 f(x)的一个界,易知比 M大的任何一个正数都是 f(x)的界.如果f(x)在X上无界,那么对于任意给定的正数M,X中总有相应的点 ,使 xMxf|)(|有界函数图象
10、特征:当函数y=f(x)在区间a,b上有界时,函数 y=f(x)的图形恰好位于直线 y=M 和 y=之间.例 函数 f(x)=sinx在 内有界.这是因为对于任意的都有 (=1)成立.),(),(x1|sin|x函数 y=sinx 的图形位于直线 y=1与y=1之间.注:函数的有界性与自变量的变化范围相关.2.2.函数的单调性函数的单调性 定义 设函数 y=f(x)在区间 I上有定义.如果对于任意的 ,当 时,均有 成立,则称函数y=f(x)在区间上单调增加(或单调减少).Ixx21,21xx)()(21xfxf或)()(21xfxf 如果对于区间I上任意两点 ，当 均有 则称函数y=f(x)
11、在区间上严格单调增加(或严格单调减少).21xx ,),()()()(2121xfxfxfxf或或 21xx 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；单调函数图形特征:xxyy例 函数 内严格单调增加.),()(3在xxf 例 函数 内是严格单调减少的，在区间 上是严格单调增加的,而在区间 内则不是单调函数.0,()(2在xxf),(),0 xyxy 定义 设函数 y=f(x)在关于原点对称的区间 I 上有定义.如果对于任意的 ,均有 成立.则称f(x)为偶函数.偶函数的图形关于y轴对称.3.函数的奇偶性Dx)()(xfxf 如果对任意的 ,
12、均有 成立,则称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.Dx)()(xfxf例 讨论下列函数的奇偶性:;2)()1(24xxxf.2)(),(2)(2)()()1(242424是偶函数xxxfxfxxxxxf解.)()2(32xxxf,)(,)(,)()2(323232xxxfxxxfxxxf而),()(),()(,0 xfxfxfxfx且时当.)(32函数既不是偶函数也不是奇所以xxxf 若T是周期函数 f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3 ),通常周期函数的周期是指其最小周期.4.函数的周期性 定义 设函数y=f(x),如果存在正常数 T,使得对于定义域内的任何 x 均有 f(x+T)=f(x)成立，则称函数y=f(x)为周期函数，T为f(x)的周期.例 函数y=sin x及y=cos x都是以 为周期的周期函数；函数y=tan x及y=cot x都是以 为周期的周期函数.2例 函数 的周期为2T)sin(ty
