1、一、函数的最值一、函数的最值二、实际问题的最值二、实际问题的最值三、经济学中的优化问题三、经济学中的优化问题第七节第七节 优化问题优化问题第七节 优化问题 在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的“产值最高”、“成本最低”、“效益最大”、“耗时最小”等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为优化问题.在本节主要讨论函数的最值问题求解，实际问题最值的求解，以及经济学中典型的优化问题。一、函数的最值 由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知，如果f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上必定能取得最大值与最小值.由图形可以看出 由此可以看到：闭区间上
2、连续函数最值只能在极值点和端点处取得.)()(min),()(max23xfxfxfxf在区间a,b上)()(min),()(max2xfxfcfxf在区间a,c上)(xfy xoyacb2x1x3x(2)求出f(x)在(a,b)内导数不存在的点及其函数值.(1)求出f(x)在(a,b)内的驻点及其对应的函数值.(4)比较驻点值、导数不存在点值及端点值大小.求a,b上连续函数最值的步骤：(3)求出f(x)在区间端点处函数值 f(a)和 f(b).其中最大的值即为最大值，最小的值即为最小值，相应的点为最大值点和最小值点.).2(363)(2xxxxxf2,0,0)(21xxxf得驻点令.17)4
3、()(max fxf17)4(,8/1)2/1(ff上的最值.在求4,2/113)(23xxxf例由于所给函数为1/2,4上的连续函数.解.7)1()(min fxf，3)2(1)0(ff比较各值可得函数的最值为yOx2（4，17）（2，-3）1323xxy二、实际问题的最值 在求解实际问题最值时常遇到下述两种情况：（1）对于可导函数在定义区间内部(不是端点处)如果可以根据实际问题的性质断定存在最大值（最小值），且区间的内部有惟一驻点，则可断定在该驻点取得相应的最大值（最小值）（2）若连续函数在定义区间内只有一个可能极大值(极小值)点，则可断定在该点取得相应的最大值（最小值）bxOy=f(x)
4、ya0 x（3）最值的判别：如果目标函数可导,其驻点唯一,且实际意义表明函数的最大(小)值存在,那么所求驻点就是函数的最大(小)值点.求实际问题最值的步骤（2）求出目标函数在定义区间内的驻点.如果函数在区间内有唯一的极大（小）值点，则此极值点即为其最大（小）值点.（1）由实际意义建立目标函数；例 欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽为多少米时,才能使所用材料费最少？设矩形场地长为x m，宽为y m，围墙的高为h解所使用材料的费用为 f(x)因矩形场地面积为x y=150则xy150.08.1)10(,800 1)(3
5、hfxhxf).(10100)(21舍掉，可得驻点令xxxf由于驻点唯一,由实际意义可知,问题的最小值存在,因此当正面长为10米,侧面长为15米时,所用材料费最少.),100(93)2(36)(xxhxhyhxhxf).1001(9)(2xhxf所用材料费为 例 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解).(分间处发起追击至射击的时为我军从设Bt22)24()5.0()(ttts敌我相距函数)(ts.)24()5.0(5.75)(22tttts,0)(ts令得唯一驻点5.1
6、t.5.1分钟射击最好处发起追击后故得我军从B公里公里5.0公里公里4BA)(ts 例(拐角问题)拐角问题是日常生活中经常遇到的现象.如楼道与河道的拐角.设有一“T”形楼道（如图）,现欲将L米长的钢管由A楼道水平扛至B楼道,若楼道宽分别为a米与b米,问要想让管子从A楼道通过拐角至B楼道,对管子的最大长度为何？并说明当楼道宽度分为2米和3米时,8米长的管能否水平通过拐角？MNP 分析 欲使钢管水平地从A楼道经过拐角到达B楼道，必须使管子能通过拐角的最窄处，只有当管子的长度不超过 的最小值时管子才能水平通过拐角。MNL 解 假设管子直径很小，将管子近似看成线段.sinaMP cosbPN 20 c
7、ossinbaMNLMNP22cossinsincosbaddL2233cossin)/(tancosbab由0ddL令31/arctanba解得唯一驻点由实际意义知最值存在，所以当 时,L达到最小值31/arctanba323232)(minbaL故钢管的长度不超过 时可通过拐角.323232)(ba 验证当 米，米时，2 a3 b25483/231arctg8cos3sin2111L这说明钢管的长度大于L的最小值，所以8米长的钢管不能水平扛过拐角。思考：如考虑楼道的高度，则管子可以有一倾角，这对能通过拐角的最大管长有何影响？例（血管分支问题）在生物学中,对于血管分支问题,要研究血管分支处分
8、支血管的半径及血管间夹角对血液流动阻力的影响.现假设主动脉A从心脏引出,现在P和Q之间的某个地方设置一辅助动脉,以便心脏把营养送给在R处的一个器官,问接头点S应在何方,方能使得血液沿着通路流动时,阻力R最小（如图）？QPSRab根据粘性流体在管道中流动时所受的阻力定律知,血液流动时所受阻力 ，这里L为血管长度，r为血管半径，R为阻力，k为比例常数。解 设主动脉与辅助动脉夹角为，bQRaPQ,2rLkR 当血液沿着PSR通路流动时所受阻力为 sin)tan()(4241rbkrbcakR),20(21rr QPSRab下面求 最小值)(Rcsctan)(424141rkbcrkbrkaR因为co
9、tcsccsc)(42241rkbrkbR所以cot1csc1csc4241rrkb0)(R令0cot1csc14241rr得4142cosrr即所以当 时,通路上血液流动阻力最小,此时S点距P点相距 .41420arccosrrcotba 三、经济学中优化问题 经济学中许多问题与优化问题相关，如销售产品的最大利润，产品的收益最大，生产投入的平均成本最低，商品的库存费用最小等等.例 设生产某产品 q 单位的总成本（单位:元）为500142661)(23qqqqC若每单位产品的价格为120元，求使利润最大的产量.解 生产q个单位产品时，总收益为 则总利润函数为qqR120)()500142661(120)()()(23qqqqqCqRqL50022661)(23qqqqL即),0 q)22)(2(21221221)(2qqqqqL所以2220)(qqqL或，得令12)(qqL又010)2(L010)22(L.3436)22(,)2(是极大值是极小值故LL500)0(L又所以，当q=22时，利润最大，最大利润为436/3元.例 已知产品的需求函数 ，求总收益最大时的需求量和产品的价格.275PQ解 总收益函数为375)(PPQPPR)0(P0375)(2PPR由)(5,5舍去或得PPPPR6)(又030)5(R故总收益最大时的价格为 ，这时的需求量为5P50)75(52PPQ
