1、一、原函数存在定理一、原函数存在定理二、微积分基本公式二、微积分基本公式第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式xaxxfd)(考察定积分.d)(xattf,d)()(xattfx称为变上限的积分.则对于每一上任意变动在区间如果上限,bax,)(上连续在区间设函数baxf,bax,bax所以它在定积分有一个对应值值个取定的记为上定义了一个函数.一、原函数存在定理oxyaxby=f(x)第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式上具有导数，且在上连续，则变上限函数在区间若函数,)(d)()(,)(babxattfxbaxfxa定理（微积分基本定理）).()(d)(dd)(bxaxfttfxxx
2、axaxxattfttfd)(d)(=xxxxaxxxxattfttfttfttfd)(d)(d)(d)()()(xxx证明 考虑函数改变量.,)()(上的一个原函数在是即上限函数baxfx间）介于（xxxxfttfxxx,)(d)(由积分中值定理有数的连续性，有根据导数的定义及函 )()(lim)(limlim)(00 xffxxfxxxxx，从而时，有当xxxxx0 结论：变上限函数 对积分上限x的导数等于被积函数 f(t)在积分上限 x 处的值 f(x).xattfd)().(d)(dd)(xfttfxxxa即对应变上限积分函数还有变下限积分函数bxttfxd)()(对于变上（下）限积分
3、函数也可以进行函数的复合，由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：若函数 可微，函数 连续，则)(),(xx)(xf)()()()1(xfdttfdxddttfdxdxaax)()()()2()(xxfdttfdxdxa)()()()()()3()()(xxfxxfdttfdxdxx例 求下列函数的导数)0(dt ln)()2(attxxeaxtx 0 2dt sin)()1(解 由变上限积分知2 0 2sindt sin)()1(xtdxdxxxeeettdxdxxxxeax)(lndt ln)()2(例 求下列极限xxdttxxsincoslim)1(2 0 20解 由洛必达法则，得
4、1coslim2cos2limcoslimsincoslim4040202002022xxxxxdttxxdttxxxxxx.darctanlim)2(200 xttxxxxx2arctan lim0.211112120limxx.darctanlim200 xxxtt二、微积分基本公式变速直线运动的路程问题 设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t),速度函数为v=v(t).则在时间间隔 内有,21TT21)(TTdttv)()(12TsTs)()(tvts上述等式对一般函数是否成立？即推测下述结论.则且上连续在若函数结论：,)()(,)(xfxFbaxf，)()(d)(aFbFxxfba
5、上的任一个原函数，则在是上连续，且在区间设函数,)()(,)(baxfxFbaxf定理(微积分基本公式)，)()(d)(aFbFxxfba证明知的原函数是与由,)(d)()()(xfttfxxFxa.)()(CxFx.)()(CxFdttfxa即；得令)(aFCax得令bx，)()()d(aFbFttfba)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼茨公式)即 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法.即若求定积分的值,只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与原函数之
6、间的内在联系.在理论上把微分学与积分学沟通了起来.所以微积分基本公式是整个微积分中最重要的公式.)()()(d)(aFbFxFxxfbaba基本公式应用形式例 求下列定积分dxx1 1 23)1(dxx 0 cos)2(dxx1 0 211)3(解 由微积分基本公式2)1(13)1(331131 1 2xdxx0000sinsinsincos)2(0 0 xdxx4arctan11)3(101 0 2xdxx 在利用微积分基本公式求积分时，经常要对被积函数进行恒等变形，然后利用定积分性质计算积分.例 求下列定积分1 0 221)1(dxxx2 0 22sin)2(dxx解 将被积函数变形，再由
7、微积分基本公式得1 0 21 0 221 0 221111111)1(dxxdxxxdxxx41arctan10 xx2 0 2 0 2 0 2)cos1(212cos12sin)2(dxxdxxdxx1221)sin(21cos21202 0 2 0 xxxdxdx解把被积函数化简.例 计算.dsinsin03xxx xxxdsinsin03 xxxd)sin1(sin02.d|cos|sin0 xxx xxxxxxd)cos(sindcossin220 xxxxsindsinsindsin220 2232023sin32sin32xx.34)32(32例 设 ，求定积分2001)(2xxxexfx2 1)(dxxf2 0 0 1 2 1)()()(dxxfdxxfdxxfexedxxdxexx13113203012 0 20 1 解
