1、 题型集训题型集训(22)函数与几何综合题函数与几何综合题 杭州 温州 宁波 绍兴、 义乌 嘉兴、 舟山 湖州 台州 金华 衢州 2018 年 第 26 题 第 23 题 第 24 题 第 22 题 第 24 题 14 分 10 分 12 分 10 分 12 分 2019 年 第 24 题 第 26 题 第 23、 24 题 第 23 题 第 23 题 14 分 14 分 10 分、 12 分 10 分 10 分 1.(2019 湖州)已知在平面直角坐标系 xOy 中，直 线 l1分别交 x 轴和 y 轴于点 A(3，0)，B(0，3). (1)如图 1，已知P 经过点 O，且与直线 l1相切
2、于 点 B，求P 的直径长； (2)如图 2，已知直线 l2：y3x3 分别交 x 轴和 y 轴于点 C 和点 D，点 Q 是直线 l2上的一个动点，以 Q 为圆心，2 2 为半径画圆 当点 Q 与点 C 重合时，求证：直线 l1与Q 相 切； 设Q 与直线 l1相交于 M， N 两点， 连结 QM， QN.问：是否存在这样的点 Q，使得QMN 是等腰直 角三角形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由 解：解：(1)如图如图 1，连接，连接 BC，BOC90 ， 点点 P 在在 BC 上，上，P 与直线与直线 l1相切于点相切于点 B， ABC90 ，而，而 OAOB，ABC 为
3、等腰直角为等腰直角 三角形，则三角形，则P 的直径长的直径长BCAB3 2 ； (2)过点过点 C 作作 CMAB，由直线，由直线 l2：y3x3 得：得： 点点 C(1，0)，则，则 CMAC sin 45 4 2 2 2 2 圆圆 的半径，故点的半径，故点 M 是圆与直线是圆与直线 l1的切点，即：直线的切点，即：直线 l1与与 Q 相切；相切； (3)如图如图 3，当点当点 M，N 在两条直线交点的下方在两条直线交点的下方 时，由题意得：时，由题意得：MQNQ，MQN90 ，设点，设点 Q 的的 坐标为坐标为(m，3m3)，则点，则点 N(m，m3)，则，则 NQm 33m32 2 ，解
4、得：，解得：m3 2 ； 当点当点 M，N 在两条直线交点的上方时，同理可在两条直线交点的上方时，同理可 得：得：m3 2 ；故点；故点 Q 的坐标为的坐标为(3 2 ，63 2 ) 或或(3 2 ，63 2 ). 2(2019 金华)如图，在平面直角坐标系中，正方 形 OABC 的边长为 4，边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴 的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵 坐标均为整数的点称为好点点 P 为抛物线 y(x m)2m2 的顶点 (1)当 m0 时， 求该抛物线下方(包括边界)的好点 个数； (2)当 m3 时，求该抛物线上的好点坐标； (3)若点 P 在正方形 OA
5、BC 内部， 该抛物线下方(包 括边界)恰好存在 8 个好点，求 m 的取值范围 解：解：(1)如图如图 1 中，当中，当 m0 时，二次函数的表达时，二次函数的表达 式式 yx22，当当 x0 时，时，y2，当，当 x1 时，时， y1， 抛物线经过点抛物线经过点(0， 2)和和(1， 1)， 观察图象可知：， 观察图象可知： 好点有：好点有：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，共，共 5 个；个； (2)如图如图 2 中，当中，当 m3 时，二次函数解析式为时，二次函数解析式为 y(x3)25.当当 x1 时，时，y1，当，当 x2 时，时， y4，当，当 x4 时
6、，时，y4，抛物线经过点抛物线经过点(1，1)， (2，4)，(4，4)，由图象可知，抛物线上存在好点，坐，由图象可知，抛物线上存在好点，坐 标分别为标分别为(1，1)，(2，4)，(4，4)； (3)如图如图 3 中，中，抛物线的顶点抛物线的顶点 P(m，m2)， 抛物线的顶点抛物线的顶点 P 在直线在直线 yx2 上，上，点点 P 在正方在正方 形内部，则形内部，则 0m2，E(2，1)，F(2，2)，观察图象可，观察图象可 知，当点知，当点 P 在正方形在正方形 OABC 内部，该抛物线下方内部，该抛物线下方(包包 括边界括边界)恰好存在恰好存在 8 个好个好点时，抛物线与线段点时，抛物
7、线与线段 EF 有交有交 点点(点点 F 除外除外)，当抛物线经过点，当抛物线经过点 E 时，时， (2m)2m21，解得，解得 m5 13 2 或或5 13 2 (舍弃舍弃)， 当抛物线经过点， 当抛物线经过点 F 时， 时， (2m)2m22， 解得解得 m1 或或 4(舍弃舍弃)，当当5 13 2 m1 时，顶点时，顶点 P 在正方形在正方形 OABC 内部，该抛物线下方内部，该抛物线下方(包括边界包括边界)恰恰 好存在好存在 8 个好点个好点 3(2019 温州)如图，在平面直角坐标系中，直线 y1 2 x4 分别交 x 轴、 y 轴于点 B， C， 正方形 AOCD 的顶点 D 在第
8、二象限内， E 是 BC 中点， OFDE 于点 F，连结 OE.动点 P 在 AO 上从点 A 向终点 O 匀速运 动，同时，动点 Q 在直线 BC 上从某一点 Q1向终点 Q2匀速运动，它们同时到达终点 (1)求点 B 的坐标和 OE 的长； (2)设点 Q2为(m，n)，当 n m 1 7 tan EOF 时，求 点 Q2的坐标； (3)根据(2)的条件，当点 P 运动到 AO 中点时，点 Q 恰好与点 C 重合 延长AD交直线BC于点Q3， 当点Q在线段Q2Q3 上时，设 Q3Qs，APt，求 s 关于 t 的函数表达式 当 PQ 与OEF 的一边平行时， 求所有满足条件 的 AP 的
9、长 解：解：(1)B(8，0)，OE1 2 BC 2 5 ； (2)如图如图 1，作，作 EMOC 于于 M，则，则 EMCD， E 是是 BC 的中点，的中点，M 是是 OC 的中点，的中点， EM1 2 OB 4，OE1 2 BC 2 5 ， 可证可证 CDNMEN，CNMN1， EN 1242 17 ， S ONE1 2 EN OF 1 2 ON EM， ， OF3 4 17 12 17 17 ，由勾股定理得：，由勾股定理得： EF OE2OF2 14 17 17 ，tan EOFEF OF 7 6 ， ， n m 1 7 7 6 1 6 ， ，n1 2 m 4，m6， n1，Q2(6，
10、1)； (3)动点动点 P，Q 同时作匀速直线运动，同时作匀速直线运动， s 关于关于 t 成一次函数关系，设成一次函数关系，设 sktb，当点当点 P 运运 动到动到 AO 中点时，点中点时，点 Q 恰好与点恰好与点 C 重合，重合，t2 时，时， CD4，DQ32，sQ3C 2242 2 5 ， Q3(4，6)，Q2(6，1)，t4 时，时， s （64）2（61）2 5 5 ， 将， 将 t 2， s2 5， 或或 t 4， s5 5， 代入得代入得 2kb2 5， 4kb5 5， 解得：解得： k 3 2 5， b 5， s3 5 2 t 5 ； (i)当当 PQOE 时，如图时，如图
11、 2，QPBEOB OBE，作，作 QHx 轴于点轴于点 H，则，则 PHBH1 2 PB， ， Rt ABQ3中，中，AQ36，AB4812， BQ3 62122 6 5 ， BQ6 5 s6 5 3 5 2 t 5 7 5 3 5 2 t，cos QBH AB BQ3 BH BQ 12 6 5 2 5 5 ， BH143t， PB286t， t286t12，t16 5 ； (ii)当当 PQOF 时，如图时，如图 3，过点，过点 Q 作作 QGAQ3 于点于点 G，过点，过点 P 作作 PHGQ 于点于点 H，由，由 Q3QG CBO 得：得：Q3GQGQ3Q12 5 ， Q3Qs3 5 2 t 5 ，Q3G3 2 t 1， GQ3t2，PHAGAQ3Q3G6(3 2 t 1) 73 2 t， ，QHQGAP3t2t2t2， HPQCDN，tan HPQtan CDN1 4 ， ， 2t21 4 (7 3 2 t)， ，t30 19 ； ； (iii)由图形可知由图形可知 PQ 不可能与不可能与 EF 平行，综上，平行，综上， 当当 PQ 与与 OEF 的一边平行时，的一边平行时，AP 的长为的长为16 5 或或30 19 .
