1、绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1.已知集合 1,0,1,2
2、A ， 2 |1Bx x，则AB （ ） A. 1,0,1 B.0,1 C. 1,1 D.0,1,2 2.若(1 )2zii ，则z （ ） A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 4.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某 中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 名学生，其中阅读过西游记或红楼梦 的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共 有 60
3、位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 5 函数 ( )2sinsin2f xxx 在0,2 的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.已知各项均为正数的等比数列 n a的前 4 项和为 15，且 531 34aaa，则 3 a （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 7.已知曲线ln x yaexx在(1, )ae处的切线方程为2yxb ，则（ ） A.,1ae b B.,1ae b C. 1, 1aeb D. 1, 1aeb 8.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD 为正
4、三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的 中点，则（ ） A.BMEN，且直线BM，EN是相交直线 B.BMEN，且直线BM，EN是相交直线 C.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 9.执行右边的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出s的值等于（ ） A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 10.已知F是双曲线 22 1 45 xy C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若 OPOF，则OPF的面积为（ ） A. 3 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 9 2 11. 记 不 等 式 组
5、 6, 20 xy xy 表 示 的 平 面 区 域 为D， 命 题 :(,), 29pxyDxy ，命题:( , ),212qx yDxy.下面给出了四个命题 p q pq p q pq 这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. B. C. D. 12.设 ( )f x是定义域为R的偶函数，且在0,（）单调递减，则（ ） A. 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff B. 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff C. 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff D. 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff 二二、填空题填空题：本
6、题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分. . 13.已知向量(2,2)a ，( 8,6)b ，则cos, a b_. 14.记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 3 5a ， 7 13a ，则 10 S _. 15.设 12 F F,为椭圆 22 :1 3620 xy C的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若 12 MFF为等腰三角形， 则M的坐标为_. 16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体 1111 ABCDABC D挖去四棱 锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E F G H, , ,分
7、别为所在棱的中点， 6ABBCcm， 1 4AAcm.3D打印所用的材料密度为 3 0.9 /g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需 原料的质量为_g. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成A
8、 B,两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度 相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直 方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P C（ ）的估计值为 0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a b,的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 18.（12 分） ABC的内角A B C, ,的对边分别是a b c, ,，已知sin= sin 2 AC abA . （1）求B；
9、（2）若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围. 19.（12 分） 图 1 是由矩形ABED，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1AB ，2BEBF， 60FBC.将其沿AB BC,折起使得BE与BF重合.连结DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的A C G D, , ,四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的四边形ACGD的面积. 20.（12 分） 已知函数 32 ( )22f xxax. （1）讨论( )f x的单调性； （2）当03a时，记( )f x在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围. 21.（12 分） 已知曲
10、线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A B,. （1）证明：直线AB过定点； （2）若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分，请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，( 2,) 4 B ， 3 ( 2,) 4 C ，(2, )D ，弧AB，BC，CD所在的圆的 圆心分别是
11、(1,0)，(1,) 2 ，(1, ) ，曲线 1 M是弧AB，曲线 2 M是弧BC，曲线 3 M是弧CD. （1）分别写出 123 MMM,的极坐标方程； （2）曲线M由 123 MMM,构成，若点P在M上，且3OP ，求P的极坐标. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设x y zR, ,，且1xyz. （1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （2）若 222 1 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a 或1a . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 一、选择题 1A 2D 3D 4C 5B 6C 7D 8B 9C 10B 11A 12
12、C 二、填空题 13 2 10 14100 15(3, 15) 16118.8 三、解答题 17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由1
13、80ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ，因此B=60 （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形， 故0 A90 ， 0 C90 .由 （1） 知A+C=120 ， 所以30 C0，则当(,0), 3 a x 时，( )0fx；当0, 3 a x 时，( )0fx故( )f x在 (,0), 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )f x在(,)
14、单调递增； 若 a0，则当,(0,) 3 a x 时，( )0fx；当,0 3 a x 时，( )0fx故( )f x在 ,(0,) 3 a 单调递增，在,0 3 a 单调递减. （2）当03a时，由（1）知，( )f x在0, 3 a 单调递减，在,1 3 a 单调递增，所以( )f x在0,1 的最小值为 3 2 327 aa f ，最大值为(0)=2f或(1)=4fa.于是 3 2 27 a m ， 4,02, 2,23. aa M a 所以 3 3 2,02, 27 ,23. 27 a aa Mm a a 当02a时，可知 3 2 27 a a单调递减，所以Mm的取值范围是 8 ,2
15、27 . 当23a时， 3 27 a 单调递减，所以Mm的取值范围是 8 ,1) 27 . 综上，Mm的取值范围是 8 ,2) 27 . 21解：（1）设 11 1 , 2 D tA x y ，则 2 11 2xy. 由于yx，所以切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt . 整理得 11 22 +1=0. txy 设 22 ,B x y，同理可得 22 22 +1=0txy. 故直线AB的方程为2210txy . 所以直线AB过定点 1 (0, ) 2 . （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx. 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210xtx
16、. 于是 2 121212 2 ,121xxt yyt xxt . 设M为线段AB的中点，则 2 1 , 2 M t t . 由于EMAB， 而 2 ,2EMt t，AB与向量(1, ) t平行， 所以 2 20ttt.解得t=0或1t . 当t=0时，|EM=2，所求圆的方程为 2 2 5 4 2 xy ； 当1t 时，|2EM ，所求圆的方程为 2 2 5 2 2 xy . 22.解：（1） 由题设可得， 弧,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos . 所以 1 M的极坐标方程为 2cos0 4 ， 2 M的极坐标方程为 3 2sin 44 ， 3 M的极坐标
17、方程为 3 2cos 4 . （2）设( , )P ，由题设及（1）知 若 0 4 ，则2cos3，解得 6 ； 若 3 44 ，则2sin3，解得 3 或 2 3 ； 若 3 4 ，则2cos3，解得 5 6 . 综上，P的极坐标为 3, 6 或 3, 3 或 2 3, 3 或 5 3, 6 . 23解：（1）由于 2 (1)(1)(1)xyz 222 (1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 222 3 (1)(1)(1)xyz ， 故由已知得 222 4 (1)(1)(1) 3 xyz， 当且仅当x= 5 3 ， 1 3 y ， 1 3 z 时等号成立 所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 . （2）由于 2 (2)(1)()xyza 222 (2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x 222 3 (2)(1)()xyza ， 故由已知 2 222 (2) (2)(1)() 3 a xyza ， 当且仅当 4 3 a x ， 1 3 a y ， 22 3 a z 时等号成立 因此 222 (2)(1)()xyza的最小值为 2 (2) 3 a 由题设知 2 (2)1 33 a ，解得3a或1a
