1、1概率论与数理统计第第四四章章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布2第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 v4 4.1 1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数 v在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量.v例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了；如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变量(弹着点的横坐标X与纵坐标Y)来描述.3Oyx(X,Y)xy4v若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及到更多的随机变量，如温度、气
2、压、风向、风力、湿度等等.v一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个整体(即向量)来研究.v定义定义4.14.1 若X1(e),X2(e),Xn(e)是定义在同一个样本空间S上的n个随机变量，eS，则由它们构成的一个n维向量(X1(e),X2(e),Xn(e)称为n维随维随机向量机向量，或n维随机变量维随机变量，简记为(X1,X2,Xn).v显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量.v下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机变量的情况，不难类推.5v类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随机变量的分布函数如下：v定义定义4.24.2 设(X,Y)为二维随机变量
3、，x、y为任意实数，则二元函数F(x,y)=P(Xx,Yy)称为(X,Y)的分布函数分布函数，或称为X和Y的联合分布函联合分布函数数.v如果将二维随机变量(X,Y)，看成是平面上随机点的坐标，那么F(x,y)就是二维随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率(如图4.1).6xoy(x,y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)F(x,y)图4.17v利用分布函数F(x,y)=P(Xx,Yy)，对任意的四个实数x1x2，y1y2，可以求得事件“x1Xx2，y1Yy2”的概率为vP(x1Xx2,y1Yy2)=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)v即)
4、,(),(),(),(),(112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxPv这个结果可以从图4.2直接看出.8xoy(x1 1,y1 1)(x2 2,y2 2)(x1 1,y2 2)(x2 2,y1 1)图4.29v分布函数具有如下的性质：v()对任意的实数x和y有0F(x,y)1；v()对任意的x1x2，任意的实数y，有F(x1,y)F(x2,y)；v对任意的y1y2，任意的实数x，有F(x,y1)F(x,y2)，v即F(x,y)对每个分量都是单调不减的；10v()对任意的实数x和y有;1),(lim),(,0),(lim),(,0),(lim),(,0),(lim),(yx
5、FFyxFFyxFxFyxFyFyxyxyx11v()F(x,y)对每个分量都是右连续的，即F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)；v()对任意的实数x1x2，y1y2，有F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)0.v性质()、()的证明是显然的，性质()可由概率的定义和性质直接得到，而性质()、()的证明从略.v可以证明，若某二元函数F(x,y)满足上述的五个性质，则必存在二维随机变量(X,Y)以F(x,y)为其分布函数.12v如果二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)为已知，那么随机变量X与Y的分布函数FX(x)和FY(y)，分别可由
6、F(x,y)求得.v事实上，直观地看(不严格证明)FX(x)=P(Xx)=P(Xx,Y+)=F(x,+)v其中),(lim),(yxFxFy13v同理可得 FY(y)=P(Yy)=P(X+,Yy)=F(+,y)v其中),(lim),(yxFyFxv人们称FX(x)和FY(y)为分布函数F(x,y)的边缘分布边缘分布函数函数，或二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布边缘分布函数函数(marginal distribution).14v例例1 1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数.,0,0,0,),()32(32其它yxeeeCyxFyxyxv求(1)常数C；v(2)P(0X1,0Y1)；v
7、(3)FX(x)和FY(y)？v解解(1)由1=F(+,+)=C00+0=C，得C=1.15v例例1 1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数.,0,0,0,),()32(32其它yxeeeCyxFyxyxv(2)P(0X1,0Y1)；(01,01)(1,1)(1,0)(0,1)(0,0)PXYFFFF16v(2)1)(1(0001)0,0()1,0()0,1()1,1()10,10(32532eeeeeFFFFYXP17v例例1 1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数.,0,0,0,),()32(32其它yxeeeCyxFyxyxv(3)FX(x)和FY(y)？()(,)lim(,)XyFxF
8、 xF x y18v(3).,0,0,1),(lim),()(2其它xeyxFxFxFxyX.,0,0,1),(lim),()(3其它yeyxFyFyFyxY19第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 v4 4.2 2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 v若二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)为二维二维离散型随机变量离散型随机变量.v设(X,Y)为二维离散型随机变量，所有可能取的值为(xi,yj)，i,j=1,2,.令pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,，v则称pij(i,j=1,2,)为(X,Y)的分布列分布列，或称为X
9、和Y的联合分布列联合分布列.20v由(X,Y)的分布列的表达式，二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数可表示为 xxyyjixxyyjiijijPyYxXPyYxXPyxF),(),(),(v其中和式是对所有满足xix，yjy的i,j求和.21v二维离散型随机变量分布列具有下面的性质：v()pij 0，i,j=1,2,；v();1ijjiPv().,2,1,)(;,2,1,)(11jppyYPippxXPjiijjijiji22v性质()是显然的，性质()、()可用概率的完全可加性证明之.v今就()证明如下：23,2,1,),(),()(,)(1111ippyYxXPyYxXPyYxXPxXP
10、ijijjjijjijjii24v同理,2,1,)(1jppyYPjiijjv称pi.和p.j为二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布边缘分布列列.jipp和v为二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布列边缘分布列.25v与一维情况类似，二维离散型随机变量的分布列及边缘分布列可用表格表示：X Yy1y2yjpi.x1p11p12p1jp1.x2p21p22p2jp2.xipi1pi2pijpi.p.jp.1p.2p.j126v表中右方的最后一列，是关于(X,Y)的边缘分布列，其中pi.恰好是表中第i行的概率之和(i=1,2,)；v表中下方的最后一行是关于(X,Y)的边缘分布列，其中p.j恰好是表
11、中第j列的概率之和(j=1,2,)；v表中右下角的1表示1ijjijjiiPpp27v例例1 1 在10件产品中，有2件一级品，7件二级品，1件次品.从中抽取3件，设X、Y分别表示抽得的一级品和二级品的件数，求(X,Y)的分布列及边缘分布列.v解解 X可能取的值为0，1，2；Y可能取的值为0，1，2，3.3103172),(CCCCjYiXPPjijiijv其中i=0,1,2；j=0,1,2,3；且2i+j3.v当i+j1或i+j4时，“X=i,Y=j”为不可能事件，故pij=0.28v从而(X,Y)的分布列及边缘分布列为：X Y0123pi.00021/120 35/120 56/12010
12、14/120 42/120056/12021/1207/120008/120p.j1/12021/120 63/120 35/120129v例例2 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布列和边缘分布列？v解解：(X,Y)的分布列为：XY 01231p11p21p31p413p12p22p32p42300021121)0|1()0()1,0(3003CXYPXPYXP乘法公式0)()1,0(PYXP弄清楚事件3181121121)0|3()0()3,0(3003CXYPXPYXP乘法公式3281211
13、21)3,0(3003CYXP弄清楚事件33v例例2 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布列和边缘分布列？v解解：(X,Y)的分布列为：XY 012310p21p31p4131/8p22p32p423481213,001,03YXPYXP8321211,203,18321211,1223213CYXPYXPCYXP3503,2YXP81213,301,33YXPYXP36v例例2 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求
14、(X,Y)的分布列和边缘分布列？v解解：(X,Y)的分布列为：XY 0123103/83/8031/8001/837v例例2 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布列和边缘分布列？v解解：(X,Y)的分布列及边缘分布列为：XY 0123p.j103/83/806/831/8001/82/8pi.1/83/83/81/8138第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布v4 4.3 3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 v4.3.14.3.1 概率密度及边缘概率密度概率密度及边缘概率密度
15、 v与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下：39v与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下：v定义定义4 4.3 3 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在一个非负的函数f(x,y)，使得对任意的实数x，y，有 xydudvvufyxF),(),(v则称(X,Y)为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，同时称f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度，概率密度，或称为X与Y的联合联合概率密度概率密度.40v由此二维连续型随机变量的定义可知，二维连续型随机变量就是具有概率密度的二维随机变量.v概率密度f(
16、x,y)相当于物理学中物质的质量面密度，而分布函数F(x,y)相当于以f(x,y)为质量密度的物质分布在区域(,x；,y)中的总质量.v由二维连续型随机变量的定义式可以证明，若f(x,y)在点(x,y)处连续，则),(),(2yxfyxyxF41v由式 xydudvvufyxF),(),(v和式),(),(2yxfyxyxFv可知，二维连续型随机变量的分布函数和概率密度与一维情况类似，在一定的意义下也是互相决定的.42v二维连续型随机变量的概率密度f(x,y)具有如下的性质：v()f(x,y)0，x+，y+；v()1),(),(Fdxdyyxfv()设G是xOy平面上的一个区域，则点(X,Y)
17、落在G中的概率为 GdxdyyxfGYXP),(),(43xoyGP(X,Y)G44v上面诸性质的几何意义如下：v令Z=f(x,y)，则v由性质()，Z=f(x,y)表示张在xOy平面上方的曲面.v由性质()，曲面Z=f(x,y)与xOy平面所夹的空间区域的体积为1.v性质()中的概率P(X,Y)G在数值上等于以曲面Z=f(x,y)为顶，以平面区域为底的曲顶柱体的体积.45v与二维离散型随机变量相仿，现在来介绍二维连续型随机变量的边缘概率密度的概念.v由式 xyXdudvvufyxFxFxF),(),(),()(v得 xxXdudvvufdudvvufxFxF),(),(),()(46v从而可
18、知，X是连续型随机变量，且相应的概率密度为dyyxfxfX),()(v同理可得，Y也是连续型随机变量，且相应的概率密度为dxyxfyfY),()(v称fX(x)，fY(y)为二维随机变量(X,Y)的边缘概率密边缘概率密度度.47v例例1 1 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为.,0),(,),(其它DyxAyxfv求(1)常数A；v(2)P(0X1/2,0Y1/2)；v(3)fX(x)和fY(y)？48D图yxOx+y=2y=x121D49v解解(1)AASAdxdyAAdxdydxdyyxfDDD 1),(1yxOx+y=2y=x121D50v(2)P(0X1/2,0Y1/2)；yx
19、Ox+y=2y=x121D1/21/2G51v解解(2)41)2/10,2/10(2/102/10dydxYXP81)2/10,2/10(2/100 xdydxYXP52v(3)fX(x)和fY(y)？dyyxfxfX),()(yxOx+y=2y=x121D53v解解(3).,0,21,2,10,.2,0,21,10,0,0),()(200其它xxxxxxdyxdyxdyyxfxfxxXyxOx+y=2y=x121D54v含参变量的积分的计算步骤：v(1)写出被积函数的表达式；v(2)画出被积函数不为零的区域；v(3)将参变量的定义域分成不同的范围，使在每个范围内积分上下限的表达式唯一；v(4
20、)积分时将参变量看成常数.55.,0,10,22.,0,10,),()(2其它其它yyydxdxyxfyfyyYyxOx+y=2y=x121D56第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布v4 4.3 3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 v4.3.24.3.2 均匀均匀分布分布 57v设G是xOy平面上的一个有界区域，其面积为S(G)，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度.,0,),(,)(1),(其它GyxGSyxfv则称随机变量(X,Y)在区间G上服从均匀分布.1)(1),(dxdyGSdxdyyxfG58v由于f(x,y)0，且1)(1),(dxdyGSdxdyyxfG
21、v故满足概率密度的两个基本性质()、().v设(X,Y)在有界区域G上服从均匀分布，概率密度为上式，又设D为G中的任意一个区域，面积为S(D)，则由前面的公式(,)(,)HPX YHf x y dxdy59v可得)()()(1),(),(GSDSdxdyGSdxdyyxfDYXPDDv上式表明，(X,Y)落在有界区域G的任意一个子区域D中的概率与子区域的面积成正比，而与D的位置和形状无关，故(X,Y)落在面积相等的各个子区域中的可能性是相等的.这也说明“均匀分布”中的“均匀”就是“等可能”的意思.60v例例2 2 设(X,Y)在区域G上服从均匀分布，G为y=x及y=x2所围成的区域(图4.3)
22、，求(X,Y)的概率密度和边缘概率密度.61xOyy=x2y=x图4.3(1,1)62v例例2 2 设(X,Y)在区域G上服从均匀分布，G为y=x及y=x2所围成的区域，求(X,Y)的概率密度和边缘概率密度.v解解 区域的G面积 61)(210 xxdydxGSv由均匀分布概率密度表达式，(X,Y)的概率密度为.,0,),(,6),(其它Gyxyxf63xOyy=x2y=x图4.3(1,1)1164v关于X、Y的边缘概率密度为.,0,10),(66),()(22其它xxXxxxdydyyxfxf.,0,10),(66),()(其它yyYyyydxdxyxfyf65第四章第四章 多维随机变量及其
23、分布多维随机变量及其分布 v4 4.4 .4 随机变量的独立性随机变量的独立性 v随机变量的独立性是概率论中的一个很重要的概念，它可借助于事件的独立性概念引出来.v设X，Y为是两个随机变量，“Xx”，“Yy”为两个事件，其中x，y为任意的实数，根据事件的独立性定义，两事件“Xx”，“Yy”相互独立，相当于下面的式子成立：P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)，v或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).66v由此得到如下的两个随机变量相互独立的定义v定义定义4 4.4 4 设F(x,y)，FX(x)、FY(y)依次为(X,Y)，X、Y的分布函数，如果对任意的实数x，y，下面的式子成立 F(x
24、,y)=FX(x)FY(y)v则称随机变量X与Y是相互独立的相互独立的.v设随机变量X、Y分别有概率密度fX(x)，fY(y)，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数fX(x)fY(y)v是二维随机变量(X,Y)的概率密度.67v事实上，若fX(x)fY(y)是(X,Y)的概率密度，则)()()()()()(),(yFxFdvvfduufdudvvfufyxFYXxyYXxyYX v即式F(x,y)=FX(x)FY(y)成立，故X与Y相互独立.68v反之，若X与Y相互独立，则 xyYXxyYXYXdudvvfufdvvfduufyFxFyxF)()()()()()(),(v故fX(x)fY(y
25、)是的概率密度.69v从式 xyYXdudvvufyxFyFxFyxF),(),()()(),(v可见，若f(x,y)，fX(x)，fY(y)分别为(X,Y)，X、Y的概率密度，而且它们分别在点(x,y)，x，y处连续，则f(x,y)=fX(x)fY(y).70v当(X,Y)为二维离散型随机变量时，X与Y相互独立的充要条件是，对一切i,j，下面的式子成立：pij=pi.p.jv这里pij，pi.和p.j分别为(X,Y)，X、Y的分布列.v由式F(x,y)=FX(x)FY(y)v和式f(x,y)=fX(x)fY(y)或式pij=pi.p.j 可知，要判断两个随机变量X，Y是否独立，只要验证X和Y
26、的联合分布(概率密度或分布列)是否等于边缘分布(概率密度或分布列)的乘积就可以了.一般来说，这是比较容易的.71v利用随机变量相互独立的充要条件，也可以求出1.4节例1中约会问题的概率，解法如下：v例例1 1(约会问题)二人约定于0到T时内在某地见面，先到者等t(tT)时后离去，求二人能会面的概率.v解解 设二人到达某地的时刻分别为X和Y，由题意可知 X与Y是相互独立的，且都在 0,T 上服从均匀分布，即.,0,0,1)(其它TxTxfX72.,0,0,1)(其它TyTyfYv于是(X,Y)的概率密度.,0,0,1)()(),(2其它TyxTyfxfyxfYX73yTtO t Txx-y=ty
27、-x=ty=xSA图1.1074v由式 GdxdyyxfGYXP),(),(v并参看图1.10可得所求的概率为 7522222)1(1)(1),(),(TtTtTTdxdyTdxdyyxfAYXPAA76v前面所讲的有关二维随机变量的一些概念，不难推广到n维随机变量中去.v作为例子，下面就n维随机变量的分布函数、概率密度以及独立性等概念，分别叙述如下：v(a)分布函数v设(X1,X2,Xn)为n维随机变量，x1,x2,xn为任意的实数，则n元函数F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)称为(X1,X2,Xn)的分布函数.77v(b)概率密度 v设F(x1,x2,xn)为n维随
28、机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，若存在非负的函数f(x1,x2,xn)，对任意的实数x1,x2,xn有 nxxxnndtdtdttttfxxxFn21212112),(),(v则(X1,X2,Xn)称为连续型随机变量连续型随机变量，同时称f(x1,x2,xn)为n维随机变量的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度概率密度.78v(c)n个随机变量的独立性 v设F(x1,x2,xn)为n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，而Fx1(x1),Fx2(x2),Fxn(xn)依次为X1,X2,Xn的分布函数(一维边缘分布函数)，若对任意的实数x1,x2,xn有F(x1,x2,xn)=Fx1
29、(x1)Fx2(x2)Fxn(xn)v则称X1,X2,Xn是相互独立的.v对于连续型随机变量，设X1,X2,Xn的概率密度分别是fx1(x1),fx2(x2),fxn(xn)，则X1,X2,Xn相互独立的充要条件是：n元函数fx1(x1)fx2(x2)fxn(xn)是n维随机变量(X1,X2,Xn)的概率密度.79v例例3 3 已知随机变量X1，X2的概率分布为X1101P1/41/21/4X201P1/21/2v而且 P(X1X2=0)=1.v(1)求X1和X2的联合分布；v(2)说明X1，X2是否独立？80v(1)求X1和X2的联合分布X1 X2101p.j0?1/21?1/2pi.1/4
30、1/2/21/4181v解解：由P(X1X2=0)=1得P(X1X20)=0，v从而P(X1=1,X2=1)=0，P(X1=1,X2=1)=0.v因此X1和X2的联合分布为 X1 X2101p.j01/401/41/2101/201/2pi.1/41/2/21/4182v因 P(X1=0,X2=0)=01/4=P(X1=0)P(X2=0)v故X1和X2不独立.83第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 v4 4.5 5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 v在前面的3 3.6 6节我们讨论了一维随机变量函数Y=g(X)的分布问题，下面我们进一步讨论二维随机变量函数Z=
31、g(X,Y)的分布问题.v具体地说，已知(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的分布.v理论上讲，由X，Y的联合分布可以求出它们的函数分布，但具体计算时往往比较复杂.因此，下面仅就几个具体的函数进行讨论.84v4.5.14.5.1 和的分布和的分布 v首先考虑两个离散型随机变量X与Y的和，看下面的例子.v例例1 1 设X与Y是相互独立的随机变量，分布列分别为 P(X=i)，i=0,1,2,.P(Y=j)，j=0,1,2,.v求Z=X+Y的分布列.v解解 因为 P(X=i)，i=0,1,2,P(Y=j)，j=0,1,2,v所以Z=X+Y=k，k=0,1,2,.85kiikYiXYkXkYXkYXk
32、Z0),()0,()1,1(),0()(v而上式右端各事件是互不相容的，故 kiikYiXPkZP0),()(86v再由X与Y的独立性，得到,2,1,0)()()(0kikYPiXPkZPkiv这就是所求Z=X+Y的分布列.87v例例 设X与Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1和2的泊松分布，求Z=X+Y的分布列.v解解 将X，Y，Z的取值分别用i，j，k表示，则,2,1,0,!)(,2,1,0,!)(2121jejjYPieiiXPjiv且Z=X+Y的可能取值k=0,1,2,.88,2,1,0!)()!(!)!(!)()(21021)(021212121kekikikkeeikeik
33、ZPkkiikikiiki89v由此可知，Z服从参数为1+2的泊松分布.v所以两个独立的两个独立的服从服从泊松分布的随机变量之和仍是泊松分布的随机变量之和仍是一个一个服从服从泊松分布的随机变量，且其参数为相应的泊松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数的和随机变量分布参数的和.90v现在考虑两个连续型随机变量X与Y之和的分布.v设二维随机变量(X,Y)是连续型的，概率密度为f(x,y)，求和Z=X+Y的分布.v为了确定Z的分布，我们考虑Z的分布函数FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)v如果(X,Y)表示落在平面xOy上的随机点的坐标，则P(X+Yz)表示随机点(X,Y)落在平面区域
34、G=(x,y)|x+yz 即图4.4中阴影部分的概率.91xzOyx+y=zG图4.492v因此有 dxdyyxfdxdyyxfzFxzzyxZ),(),()(v令y=ux，得 zzZdudxxuxfdxduxuxfzF),(),()(93v由连续型随机变量的定义可知，Z是连续型随机变量且其概率密度为 dxxzxfzfZ),()(v同理可得dyyyzfzfZ),()(94v如果X与Y是相互独立的随机变量，则进一步得到dxxzfxfzfYXZ)()()(v和dyyfyzfzfYXZ)()()(v由以上二式给出的运算称为卷积卷积.因而也称上二式为卷积公式卷积公式，简单记作 YXZfff*95v例例
35、3 3 设X与Y相互独立，且都在 a,a 上服从均匀分布，求Z=X+Y的分布.v解解 由题设 1,|,()20,|;1,|,()20,|.XYxafxaxayafyaya96v由卷积公式 dxxzfxfzfYXZ)()()(v显然，上式中的被积函数fX(x)fY(zx)只有当x满足不等式组axzaaxav时才不等于0.满足上面不等式组的点(x,z)的变化区域，如图4.5中的阴影部分所示.97xzOz-x=az-x=-a2a-2aa-a图4.598dxxzfxfzfYXZ)()()(99xzOz-x=az-x=-a2a-2aa-a图4.5100v由图4.5可知：当z 2a时，fX(x)fY(zx
36、)=0；当2az0时，fX(x)fY(zx)=1/4a2；当0z2a时，fX(x)fY(zx)=1/4a2.v因此 .,0,20,4241,02,4241)(2222其它aazazaZazazadxazaaazdxazf101v例例4 4 设X与Y是相互独立的均服从N(0,1)的随机变量，Z=X+Y，求Z的概率密度为fZ(z)？v解解 dxeedxeedxxzfxfzfxzxzxzxYXZ)(22)(22222212121)()()(10222222222()244()4222421()21211222zzzxxzZzzxztxztfzeedxeedxeedt 配方令10322242(2)1(
37、)22122zZzfzeev从而ZN(0,2).104v例例4 4 设X与Y是相互独立的且分别服从正态分布XN(1,12)和XN(2,22)的随机变量，则Z=X+Y服从正态分布XN(1+2,12+22).v这个结论还可以推广到n个独立的正态变量之和的情况，即若Xi N(i,i2)，且X1,X2,Xn相互独立，则),(1211niiniiniiNXv进而，n个相互独立的正态变量的线性组合仍然是个相互独立的正态变量的线性组合仍然是一个正态变量一个正态变量，这是一个很重要的结论.105v例例4 4 设Xi N(i,i2)，i=1,2,n，且X1,X2,Xn相互独立，a1,a2,an，b为常数，则),
38、(12211niiiniiiniiiabaNbXa106v最后，就一般情况将主要推导过程归纳如下：v(1)为求Z=g(X,Y)的概率密度fZ(z)，先求Z的分布函数 GZdxdyyxfGYXPzYXgPzZPzF),(),(),()()(v其中G=(x,y)|g(x,y)z；107v(2)若FZ(z)可以直接计算出来并且它是连续的，除有限个点外均有连续的导数，则可以通过对FZ(z)求导而得fZ(z).若FZ(z)的具体表达式不易求出，也可以采用变量代换、交换积分次序等步骤，将积分式化为如下的形式zZduuhzF)()(v则fZ(z)=h(z).108v例例 设(X,Y)在如图4.6所示的三角形
39、区域内服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度.xyO-11Ay=1+xy=1-x1图4.6109v解解 这里X，Y是不独立的，不能用卷积公式的概率密度.可以用分布函数法来求解.由题设，(X,Y)的概率密度为 .,0,),(,1),(其它Ayxyxfv先求 GZdxdyyxfzYXPzZPzF),()()()(v其中G=(x,y)|x+yz.110 xzOyx+y=zG111v例例 设(X,Y)在如图4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度.xyO-11Ay=1+xy=1-x1图4.6Gy+x=-1y+x=zy+x=1112v例例 设(X,Y)在如图4.6所示的三角形区域内服从
40、均匀分布，求Z=X+Y的概率密度.xyO-11y=1+xy=1-x1图4.7BAGy+x=z113v由区域G的图形，不难看出当z1 1时，GA=；当z1时，GA=A；当1 1z1 1时，GA=B，如图4.7所示，B的面积为 4)1(2)1()1(212zzzv因此 20,1,(1)(),11,41,1.ZBzzFzdxdyzz 114v即得.1,0,1,21)(zzzzfZ115v4 4.5.25.2 瑞利分布瑞利分布 v设X，Y是相互独立的且服从同一正态分布N(0,2)的随机变量，求 的分布？22YXZv解解 先考虑Z的分布函数v显然，当zn)v因为N不大于n等价于X和Y都大于n，故FN(n
41、)=1P(min(X,Y)n)=1P(X n,Yn)v而当X与Y相互独立时，FN(n)=1P(X n,Yn)=1P(X n)P(Yn)=1 1P(Xn)1P(Yn)=1 1FX(n)1FY(n)132v上面的结果可以推广到n个相互独立的随机变量的情况 v设(X1,X2,Xn)是相互独立的且分布函数分别为Fx1(x1),Fx2(x2),Fxn(xn)的n个随机变量，则max(X1,X2,Xn)的分布函数Fmax(z)为 )()()()(21maxzFzFzFzFnXXXvmin(X1,X2,Xn)的分布函数Fmin(z)为)(1)(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX133v特别地
42、，当X1,X2,Xn是相互独立的且具有相同分布函数F(z)的n个随机变量时，有 nnzFzFzFzF)(1 1)()()(minmax134v例例6 6设电子仪器由两个相互独立的电子装置L1和L2组成，组成方式有两种：v(a)L1与L2串联；(b)L1与L2并联 L1L2L1L2135v已知L1、L2的寿命分别为X与Y，它们的分布函数分别为;0,0,0,1)(;0,0,0,1)(yyeyFxxexFyYxXv其中0，0.v试在两种联结方式下，分别求出仪器寿命Z的概率密度.136v解解(a)串联情况 X:L1Y:L2v由于L1、L2有一个损坏时，仪器就停止工作，所以仪器的寿命Z=min(X,Y)
43、v因此;0,0,0,1)()(minzzezFz137v于是Z=min(X,Y)的概率密度.0,0,0,)()()(minzzezfz138v(b)并联情况 X:L1Y:L2v由于只有L1与L2都损坏时，仪器才停止工作，所以仪器的寿命Z=max(X,Y)139v因此;0,0,0),1)(1()()()(maxzzeezFzFzFzzYXv于是Z=max(X,Y)的概率密度.0,0,0,)()()(maxzzeeezfzzz140v例例6 6 设部件L1的寿命XE()，部件L2的寿命YE()，其中0，0，将部件L1与L2按图联结构成系统L，即当部件L1损坏时，部件L2立即开始工作，求系统L的寿命
44、Z的概率密度？XYL1L2Z:L141v解解 部件L1的寿命X，部件L2的寿命Y的概率密度分别为 .0,0,0,)(;0,0,0,)(yyeyfxxexfyYxXv系统L的寿命Z=X+Y.142v设Z的概率密度为fZ(z)，则 dxxzfxfzfYXZ)()()(v而.,0,0,0,)()()(其它xzxeexzfxfxzzYXv当z0时，fZ(z)=0；143zxOz=x144v当z0时，,0,01)()(0)(0)(zxezeedxeedxeezfzxzzxzzxzZ145.,),()(2zzzZzeeezfv综上所述Z=X+Y的概率密度为.0,0,0),()(,zzeezfzzZ时当14
45、6.0,0,0)(,2zzezzfzZ时当147v 27假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布.148v解 设T的分布函数为FT(t)，第i件元件的寿命为Xi，其分布函数为F(x)，则123()()min(,)TFtP TtPXXXt31 1()F t 31,0,0,0.tett v即(3).TE149v 25设X和Y为两个随机变量，且 30,0,74(0)(0),7P XYP XP Yv求max(,)0.PX Y 150v解 max(,)0(
46、0)(0)(0)(0)0,04435.7777PX YPXYP XP YP XY151v例例 设(X,Y)的概率密度为其它。,0,10,0,3),(xxyxyxfv求Z=XY的概率密度？v解一解一 设Z的分布函数为FZ(z)，概率密度为fZ(z)，则 152:()()()(,)ZG x y zFzP ZzP XYzf x y dxdy 153xOyx-y=zGG图154xOyx-y=zGG图155duyyufdydxyxfdydxdyyxfzYXPzZPzFzyuxyzzyxGZ),(),(),()()()(:156 zzzyuxZdudyyyufdyyyufduduyyufdyzYXPzZP
47、zF),(),(),()()()(积分换序157v故Z的概率密度 dyyyzfzfZ),()(v而.,0,10,0),(3.,0,10,0),(3),(其它其它yzzyyzyzyzyyzyyzf158y1Ozy+z=1图1y+z=0159v从而当z0或z1时，fZ(z)=0；v当0z1时，)1(230123)1(3)(3)(2210zzyzzdyyzzfzZ160v因此.,010),1(23)(2其它，zzzfZ161v解二解二 设Z的分布函数为FZ(z)，概率密度为fZ(z)，则:()()()(,)ZG x y zFzP ZzP XYzf x y dxdy 162xOyx=y1Ax-y=zG
48、G图163xzOyx-y=zG1AG图x=yx-y=1x-y=zz164xzOyx-y=zG1AG图x=yx-y=1x-y=zz165v解二解二 设Z的分布函数为FZ(z)，概率密度为fZ(z)，则,1,1,10,33,0,0),()()()(100zzdyxdxdyxdxzdxdyyxfzYXPzZPzFxzxzxzzyxZ166xzOy1AG图zGx=yx-y=z167v而 30110021233133zzdyxdxdyxdxdyxdxzxzxzxzxzv因此 其它。，,010),1(23)()(2zzzFzfzZ168v例例1 一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1，2，2，3，今
49、从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X,Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(X,Y)的分布列.v解解 X、Y的可能值均为1，2，3，由,|,1,2,3P Xi YjP Xi P Yj Xii jv得(X,Y)的分布列为169Y X 123101/61/1221/61/61/631/121/60170v例例 设(X,Y)的概率密度为(),0,0,(,)0,x yexyf x y其它.v问X与Y是否独立？v解解 X、Y的边缘密度分别为171xOy图172()0()(,),0,0,0,0,Xx yxfxf x y dyedyxex其它.其它.173xOy图174()0()(,),0
50、,0,0,0,Yx yyfyf x y dxedxyey其它.其它.175v因为(),0,0,()()(,)0,x yXYexyfxfyf x y其它.v所以X,Y独立.176v例例 设(X,Y)的概率密度为8,01,(,)0,.xyxyf x y其他v问X与Y是否独立？v解解 X、Y的边缘密度分别为177x1Oy图y=x117812()(,)8,01,0,4(1),01,0,Xxfxf x y dyxydyxxxx其它.其它.179x1Oy图y=x118003()(,)8,01,0,4,01,0,Yyfyf x y dxxydxyyy其它.其它.181v因为()()(,)XYfxfyf x
