1、第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics第三章第三章 一维势场中的粒子一维势场中的粒子 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方方程来处理一类简单的问题程来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有四：一维定态问题。其好处有四：（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理；（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理；（3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系
2、的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。3.1 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质3.2 3.2 一维方形势一维方形势3.3 3.3 一维散射问题（势垒贯穿）一维散射问题（势垒贯穿）3.4 3.4 一维谐振子一维谐振子3.5 3.5 势势 第1页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：形式，则形式，则 S-S-方程可在直角
3、坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令 于是于是S-S-方程化为：方程化为：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH 3.1 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z)V(x,y,z)中运动时，其薛定谔方程为：中运动时，其薛定谔方程为：(,)()()()x y zX x Y y Z z123(,)()()()V x y zV xVyVz ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd 第2页第3章 一维势场中的粒子 Quantum
4、 Mechanics),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 ,)()()()xy zXx Yy Zz（)()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE 两边除以两边除以第3页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics设质量为m的粒子，沿x方向运动，势能为V(x)，则Schrdinger方程为，对于定态(能量E)
5、，波函数表为(x)满足一维粒子的能量本征方程第4页我们想找出它在整个区间我们想找出它在整个区间有有限、连续，可微限、连续，可微的解。但这的解。但这些解要根据具体物理问题的些解要根据具体物理问题的边条件来定出边条件来定出。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics能量本征方程解的一般性质定理 1 设(x)是方程（1）的一个解，对应的能量本征值为E，则*(x)也是方程（1）对应能量为E的解。第5页证明：取复共轭*(x)也满足方程(1)，对应能量为E。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics假设对应于某个本征值E，(1)的解无简并（即只有一个独立的解），则可取为
6、实解。证明：(x),*(x)均为(1)对应E的解，由于无简并，则有*(x)=C(x),C为常数。取复共轭，(x)=C*(x)*=C*C(x)，所以|C|=1，则C=eia,a为实数。取新波函数为n(x)=eia/2(x)，则(n(x)*=e-ia/2*(x)=e-ia/2 eia(x)=eia/2(x)=n(x)。第6页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 2 对应于能量E，总可找到方程(1)的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。证明：假设(x)是方程(1)的对应于E的一个解，若是实解，则归到实解集合中去。若是复解，按定理 1，*(x)也必
7、是方程属于E的一个解，则它们的叠加也是方程属于E的解，均为实解，且第7页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 3 设V(x)具有空间反射不变性，V(-x)=V(x)，如设(x)是方程（1）对应E的一个解，则(-x)也是方程对应于E的解。证明：对方程 ,有则(-x)也是（1）对应于E的解第8页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics空间反射算符P 定义为P(x)=(-x)，按定理 3，若 V(-x)=V(x)，则(-x)和(x)都是对应E的量子态。若对应E，方程(1)的解无简并，则解必具有确定的宇称，即偶宇称 P(x)=(-x)=(x)，或者奇宇称
8、 P(x)=(-x)=-(x)。证明：由于无简并，P(x)=(-x)=C(x)P2(x)=P C(x)=C2(x),P2(x)=(x),则有C2=1，C=1。若能级有简并，能量本征态不一定具有确定宇称。第9页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 4 若V(-x)=V(x)，则对应于任何一个能量本征值，总可以找到(1)的一组解，每一个解都具有确定宇称，而属于E的任何解，都可以用这组解展开。证明：设(x)是(1)的一个解，根据定理 3，(-x)也是方程的一个解，取 f(x)=(x)+(-x),g(x)=(x)-(-x)f(x),g(x)具有确定宇称。(x)=f(x)+g
9、(x)/2,(-x)=f(x)g(x)/2。第10页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics波函数(x)及其各阶导数连续性波函数(x)及其各阶导数连续性与V(x)有关。若V(x)是连续函数，按方程(1)，”(x)存在，因此(x)和(x)为x 的连续函数。但若V(x)不连续（存在奇异性），则(x)和各阶导数的连续性问题需要具体分析。第11页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 5 对于阶梯性方位势V2-V1 有限，则能量本征函数(x)及其导数(x)必定是连续的。证明：根据方程在V(x)连续的区域，(x)及(x)必然连续。在V(x)发生阶梯跃变处，V
10、(x)(x)发生跃变，但变化是有限的。上式对xa积分，有第12页第3章 一维势场中的粒子 Quantum MechanicsE-V(x)(x)是有限的，当 时，右边积分为0。因此，(x)在x=a点连续，(x)也是连续的。第13页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 6 对于一维粒子，设1(x),2(x)均为方程（1）的属于同一能级E的解，则证明：按假设，1(4)2(3)第14页对于束缚态粒子对于束缚态粒子，第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 7 设粒子在规则势场V(x)中运动，若存在束缚态，则必定是不简并的。证明：设1(x),2(x)是
11、方程(1)属于能级E的两个束缚态解，则有在不包含1(x),2(x)节点的区域中，用12除上式，的积分得 V(x)无奇点，(x)和(x)连续。1(x),2(x)代表同一量子态。第15页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2 3.2 一维方形势一维方形势 3.2.1 3.2.1 一维无限深势阱一维无限深势阱 3.2.2 3.2.2 有限深对称方势阱有限深对称方势阱 第16页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.1 一维无限深方势阱在阱内（0 xa），能量本征方程为m为粒子质量，E为能量。在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，=0.第
12、17页V=0EVVV(x)x0a第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics令阱内薛定谔方程及边界条件0 xa内通解为由边界条件，得到B=0，第18页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics可见，并非任何E值都满足边界条件，只有当能量取某些特定值时，对应的波函数才满足边界条件。系统的能量是量子化的，所构成能谱是离散的。对应于能级En的波函数为利用归一化条件，第19页可得第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics则归一化后的波函数表示为讨论：粒子最低能级 ，与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现，“静止的波”是没有意义的。从不确定性关系也可得
13、出此定性结论。x a,p /x/a,E=p2/2m p2/2m 2/2ma2.不难验证，波函数在全空间连续，但微商在x=0,a不连续。含时间的定态波函数,物理意义？第20页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanicsn 相互正交，n（n=1,2,）是完全集，系统处于n的概率为|Cn|2,第21页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics例子势阱内薛定谔方程及边界条件在|x|a的区域内，通解为第22页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics利用边界条件，可得Asin(ka)=0,Bcos(ka)=0。A,B 不能同时为0，否则处处为0，无意义
14、。由此，得到两组解，(1)A=0,cos(ka)=0;(2)B=0,sin(ka)=0.第23页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics归一化条件，可取讨论：粒子被束缚在阱内。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一般地，束缚态所属能级是分立的。粒子最低能级（基态），也具有能量，粒子波粒二象性的反应。第24页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics能级分布是不均匀的。能级愈高，密度愈小。即n很大时，能级可视为连续的，这样就回到了经典情形。这正如对应原理所揭示的，大量子数极限情况下，量子理论必须逐渐逼近经典理论
15、。不同定态能量间隔差 ，表明当势阱宽度越窄，E越大，能量量子化越显著。当势阱宽度越宽，E越小 能量可视为连续改变。可见，量子性显著表现在空间范围很小的微观尺度中。第25页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics节点数:按定义，所谓节点，即本征函数的零点(端点除外)n具有n-1个节点。第26页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics例：设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为(x)=Ax(a-x)，A为归一化常数。a)求A；b)求测得粒子处于能量本征态的概率Pn.第27页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.2 有限深对称方势阱
16、a为阱宽，V0为势阱高度。讨论束缚态情况，（0EE）阱外的现象在经典理论中是不可能的。量子力学中，粒子有波动性，有一定概率出现在阱外。第34页惊喜：癞蛤蟆是可以吃着天鹅肉的！第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.3 束缚态与离散谱束缚能量本征态（EV0）的能量是离离散散的，它是束缚态边界条件下束缚态边界条件下的必然结果。按照能量本征方程，经典允许区，（V(x)E，波函数是指数上升或下降的函数，ekx，无振荡现象，的正负号相同，(x)总是背离总是背离x x轴方向弯曲。轴方向弯曲。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定性讨论能量本征值及波函数节
17、点数一维方势阱一维方势阱基态：x-a/2区域（经典禁区），Ea/2处，粒子又进入经典禁区，曲线上弯。一般情况下，(x)发散。只有当E取某个合适的值时，在 第37页基态时，波函数无节点第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics当粒子能量增加时，在|x|a/2，(x)的曲率减小。|x|a/2时，(x)的振荡加快。在某个能量E处，(x)在|x|a/2内经历一次振荡，并出现一个节点，并且能与外面波函数光滑衔接上，外面解不发散。此时出现第一激发态，有一个节点。第38页继续下去，可以得出：只当粒子能量取某些离散值离散值的时候，相应的波函数才满足束缚态边界条件束缚态边界条件。这些能量值即能
18、量本征值能量本征值，相应的波函数称为能能量本征函数量本征函数。基态波函数无节点，激发态节点数依次增加一个。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.4 方势垒的反射与透射第39页经典粒子如何运动？第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics第40页 0 aV(x)V0I II IIIE情形情形第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics在势垒外（xa），经典允许区，两个线性无关解为eikx,根据入射边界条件定解。粒子从左入射，由于势垒存在，在xa的区域中只有透射波存在。所以，可得到，第41页入射粒子流密度，入射粒子流密度，反射系数反射系
19、数透射系数透射系数第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics在势垒内部，经典禁区，通解可写为，第42页x=a，,的连续性条件给出，的连续性条件给出，两式相加减，两式相加减，x=0，,的连续性条件给出的连续性条件给出，上两式分别相加减上两式分别相加减，第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics消去A,B 得消去R，得第43页透射系数，透射系数，反射系数反射系数第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics|R|2 表示粒子被反弹回去的概率，|S|2,表示粒子穿过势垒的概率，上式意味着概率守恒。可以看出，即使EV0,透射系数不为0，粒子能穿透比他动
20、能更高的势垒（遂穿效应），是粒子波动性的表现。第44页经典图象经典图象:眼前无路好回头眼前无路好回头量子图象量子图象:眼前无路穿着走眼前无路穿着走第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics情形情形令相应有，k2=ik，利用sh(ika)=isin(ka)，则透射系数为第45页情形情形在量子情况下，也不是所有粒子均能通过势垒。入射粒子中只有在量子情况下，也不是所有粒子均能通过势垒。入射粒子中只有百分比为百分比为T T的粒子可贯穿势垒，而只有百分比为的粒子可贯穿势垒，而只有百分比为R R的粒子被势垒反的粒子被势垒反射回去。射回去。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mech
21、anics3.2.5 方势阱的反射、透射与共振对于方势阱的透射，上述理论仍然适用，令透射系数变为第46页V0=0,时，相当于无势阱，T=1，粒子完全透射。一般地，V00,T0当且仅当x=0,时,V(x)才不为0.第48页设有质量为设有质量为m m的粒子（能量的粒子（能量E0E0）从左入射，碰到从左入射，碰到势垒，势垒，定态定态薛定谔方程为薛定谔方程为（3.3-1）3.3.1 势的穿透第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanicsx=0是方程的奇点，该点”不存在，表现为不连续。积分上式，积分上式，第49页在x=0，一般是不连续的。在在x0处，方程处，方程 (3.3-1)变为变为它的
22、两个线性独立的解的形式为eikx,考虑到从左入射的假定，与方势垒的穿透相似，本题的解仍可表示为根据x=0点连续及的跃变条件，有第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics透射系数反射系数讨论：(a)势垒换为 势阱(-)，透射及反射系数的值不变.(b)势的特征长度为 ，特征能量为 ，透射波的振幅S只依赖于 ，即入射波波长和势的特征长度之比。透射系数依赖于 特征能量与入射粒子能量之比。当 ，高能极限下粒子将完全穿透势垒。第50页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics由于尽管在x=0点不连续，但粒子流密度连续。第51页第3章 一维势场中的粒子 Quantum M
23、echanics势阱中的束缚态V(x)=-(x)(0)讨论讨论E0 E0 情况。情况。第52页x0第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics方程的解具有形式e exx,。由于V(-x)=V(x)，则束缚能量本征态具有确定宇称。偶宇称态偶宇称态考虑到束缚态条件，偶宇称波函数应表为:按跃变条件，可得粒子能量本征值为第53页为特征长度特征长度。归一化的波函数表示为 利用归一化条件第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics波函数应表为波函数应表为 第54页3.3.3 第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics考虑粒子对方势垒:的散射。考虑粒子能量E
24、V0的情况。在势垒内部,波函数表为 让 ，但保持 为常数。则方势垒将趋于势垒。利用关系，第55页波函数导数跃变条件第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.4 一维谐振子谐振子：在经典力学中，当质量为 m 的粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为 x=Asin(t+)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0=0，即平衡位置处于势 V=0 点，则第56页量子力学中的线性谐振子就是量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动指在该式所描述的势场中运动的粒子。的粒子。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechan
25、ics研究线性谐振子的意义一般说来，间断型的势场并非严格意义下的物理势场。在物理上V(r r)应该是 r 的连续函数。自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往可以作为复杂运动的初级近似，在此基础上，作各项改进，可以模拟出一些复杂的相互作用。因此，对谐振子运动的研究在量子力学中是非常重要的。由于谐振子运动在选择适当的坐标后，常常可分解为若干彼此独立的一维谐运动，故我们首先研究一维谐振子运动。第57页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics一般地，处在
26、势场中的粒子在其平衡位置附近作小振动时，可对势场作Taylor展开并只保留到最低阶不为零的项。设平衡位置x0=0,选取能量标度的零点使V(0)=0,在平衡位置处一次项应当消失,即V(0)=0，第58页axV(x)0V0如果平衡是稳定的，则有如果平衡是稳定的，则有由于我们只考虑在平衡位置附近的小振动情形，故不必考虑以上展由于我们只考虑在平衡位置附近的小振动情形，故不必考虑以上展式中非简谐的高阶项。式中非简谐的高阶项。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics一维谐振子的位势可表示为：第59页sin.xat12km是谐振子的固有角频率，是谐振子的固有角频率，a a和和 分别是谐振
27、动的振幅和初相位。分别是谐振动的振幅和初相位。在量子力学中，则应用薛定谔方程来解微观的一维谐振子问在量子力学中，则应用薛定谔方程来解微观的一维谐振子问题。题。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics方程的建立线性谐振子的 Hamilton算符：定态薛定谔方程，第60页引入无量纲常数引入无量纲常数第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics求解渐近解：第61页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics波函数有限性条件：当 时，应有 C1=0。令第62页级数解法级数解法其中其中 H()必须满足波函数的必须满足波函数的单值单值、有限有限、连续连续
28、的标准条件。的标准条件。即：即：当当有限时，有限时，H()有限；有限；当当时，时，H()的行为要保证的行为要保证()0。带入待解方程，带入待解方程，有有 第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics带入方程第63页得到递推公式由上式可以看出：由上式可以看出：b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数；b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b0 0,b1=0.He();b1 0,b0=0.Ho().只含偶次幂项
29、只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项第3章 一维势场中的粒子 Quantum MechanicsH()是一个幂级数，故应考虑它的收敛性。时，第64页则通解可记为：则通解可记为：H=co Ho+ce He =(co Ho+ce He)exp-2/2相继两项之比相继两项之比所以总波函数有如下发散行为：所以总波函数有如下发散行为：第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics结论：基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。第65页为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H()H()必须从某一项截断必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求变成一
30、个多项式。换言之，要求 H()H()从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）项）起起 以后各项的系数均为零，即以后各项的系数均为零，即b bn n 0,b 0,bn+2n+2=0.=0.第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics厄密多项式厄密多项式有限性条件得到了有限性条件得到了 H()H()的一个多项式，该多项式称为厄密多项的一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为式，记为 H Hn n()()，于是总波函数可表示为：，于是总波函数可表示为：其中其中N Nn n为为归一化系数归一化系数。第66页Hn()的最高次项系数为的最高次项系数为bn=2n,根据递推公式根据递推公
31、式 第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics一维谐振子第67页定态薛定谔方程无量纲化无穷远处渐进行为厄密方程束缚态要求厄密多项式正交性公式第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics厄密多项式的生成函数为因此有第68页N次求导后，多项式的最高次项为第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics厄密多项式的正交性公式相乘得，第69页证明：证明：两边乘上两边乘上 并积分并积分第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics与右边比较，得到第70页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics厄密多项式递推关系证明：两边对s
32、求导，左边=右边=比较左右两边s同幂项系数，得到第71页对对z z求导求导，左边左边=右边右边=则有则有例：已知例：已知 H0=1,H1=2，则，则 根据上述递推关系得出：根据上述递推关系得出：H2=2H1-2nH0=42-2第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics谐振子本征函数求归一化系数，第72页归一化后的波函数为归一化后的波函数为对应能级为对应能级为第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics讨论讨论expexp)1()(22 nnnnddHA.A.Hn()的最高次项是的最高次项是(2)n。当当 n=n=偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含的偶次项
33、；的偶次项；当当 n=n=奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。B.B.n具有确定宇称具有确定宇称22/2()()2!xnnnxeHxn上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-2/2是是的偶函数，所的偶函数，所以以n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 Hn()决定宇称。决定宇称。C.C.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所 以以能级是非简并能级是非简并的。值得注意的是，基态能量的。值得注意的是，基态能量 E0=1/2 0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似
34、称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是波是没有意义的，零点能是量子效应。没有意义的，零点能是量子效应。第73页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanicsn=0n=1n=2D.D.波函数波函数:然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是：0 0()=|()=|0 0()|()|2 2=N=N0 02 2 exp-exp-2 2 分析上式可知：一方面表分析上式可知：一方面表明在明在=0=0处找到粒子的几处找到粒
35、子的几率最大；率最大；另一方面，在另一方面，在|1|1处，即处，即在阱外找到粒子的几率不在阱外找到粒子的几率不为零，为零，与经典情况完全与经典情况完全不同。不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|x|1|x|1范围中运动。这是因范围中运动。这是因为振子在这一点为振子在这一点(|x|=1)(|x|=1)处，其势能处，其势能V(x)=(1/2)V(x)=(1/2)2 2 x x2 2=1/2=E=1/2=E0 0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。)(!2)(2/22xHenxnxnn -3
36、-2 -1 0 1 2 3E0E1E2第74页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics分析波函数可知量子力学的谐振子波函数分析波函数可知量子力学的谐振子波函数 n n有有 n n 个节点，在个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 -a,a-a,a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。区间每一点上都能找到粒子，没有节点。n()n=2n=1n=0-11-22-44|10|2 E.E.几率分布几率分布大量子数情况下，量子论将逐渐大量子数情况下，量子论将逐渐趋于经典理论。趋于经典理论。虚线表示经典概虚线表示经典概率密度
37、。率密度。第75页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics解：解：（1 1）三维谐振子）三维谐振子 Hamilton Hamilton 量量zyxHHHzyxdzddyddxdH)(22222212222222 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况222212222221222222122222xyzdHxd xdHyd ydHzd z 其 中第76页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics（2 2）本征方程及其能量本征值）本征方程及其能量本征值 )()()()()()(333222111zEzHyEyHxExHnnn
38、znnnynnnx 123123232123()1,2,3()()iniNEniEnnnNNnnn其中)()()(zyxEEEEzyx 解得解得能量本征值能量本征值为：为：则波函数三方向的分量则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：分别满足如下三个方程：如果系统如果系统 Hamilton Hamilton 量可以写成量可以写成 则必有：则必有：zyxHHHH 因此，设能量本征方程的解为：因此，设能量本征方程的解为：第77页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics（3 3）简并度）简并度 对对给给定定 N N=n n1 1 +n n2 2 +n n3 3 的的组组合合方方
39、式式数数列列表表分分析析如如下下：n n1 1 n n2 2 组组合合方方式式数数 0 0 0 0,1 1,.,N N N N+1 1 1 1 0 0,1 1,.,N N-1 1 N N 2 2 0 0,1 1,.,N N-2 2 N N-1 1 .,.,.,.,.N N 0 0,1 1 对对给给定定 N N (N N=n n1 1 +n n2 2 +n n3 3 ),n n1 1 ,n n2 2,n n3 3 的的组组合合方方式式数数 (1 1/2 2)(N N+1 1)(N N+2 2)31232()NENNnnn123123()()()()n n nnnnrxyz当当 N N 确定后，能
40、量本征值确定，但是对应同一确定后，能量本征值确定，但是对应同一N N值的值的 n n1 1,n,n2 2,n,n3 3 有多种不同有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并简并。其。其简并度简并度可决定如下：可决定如下：当当n n1 1,n,n2 2 确定后，确定后，n n3 3=N-n=N-n1 1-n-n2 2，也就确定了。，也就确定了。故对给定故对给定N N，nn1 1,n,n2 2,n,n3 3 可能组合数即可能组合数即简并度简并度为：为：)2)(1(211)1()1(NNNNN第78页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechani
41、cs2222()()()0dxEVxxdx解：薛定谔方程为解：薛定谔方程为（1 1）解题思路）解题思路势势V(x)V(x)是在谐振子势上叠加上是在谐振子势上叠加上-q-q x x项，该项是项，该项是x x 的一次的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。的结果。221()2V xxq x荷电荷电 q q 的谐振子，受到沿的谐振子，受到沿 x x 向外电场向外电场 的作用，其势场为：的作用，其势场为：求能量本征值和本征函数。求
42、能量本征值和本征函数。第79页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics（2 2）改写）改写 V(x)V(x)xqxxV2221)(222222122qqx 2200222qqxV 其 中：22001()2xxV 第80页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics（3 3）HamiltonHamilton量量进行坐标变换：进行坐标变换：0 xxxddpiipd xd x 2221002222102()22pHxxVpxV则则 Hamilton Hamilton 量变为：量变为：第81页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics（4 4）Sc
43、hrodingerSchrodinger方程方程22210222222122202()()02()()0dxExVxdxdxExxdxEEV 其中该式是一新坐标下一维该式是一新坐标下一维 线性谐振子线性谐振子Schrodinger Schrodinger 方程，于是可以利用已方程，于是可以利用已 有有结果得：结果得：12022122()()20,1,2,nnnEnEEVqnn 22220/2()/20()()()xnnnxxnnxN eHxN eHxx新坐标下薛定谔方程改写为：新坐标下薛定谔方程改写为：本征能量本征能量本征函数本征函数第82页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics第83页3.3.实例实例基于厄密多项式的递推关系基于厄密多项式的递推关系导出谐振子波函数导出谐振子波函数(x)(x)的递推关系的递推关系（习题习题2.7,2.8,2.92.7,2.8,2.9）第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics证明：第84页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics证明：第85页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics第86页+1第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics谐振子处于n 态下，计算第87页
