1、图1 正态分布曲线（1）曲线关于x=对称（2）曲线以x轴为渐近线（3）f(x)在x=处达到最大值（4）曲线依赖两个参数，决定位置，决定形状固定，变大，曲线低平；变小，曲线陡峭固定，变化，曲线形状不变，位置改变（平移）2、正态曲线的性质：F00.00.10.20.30.40.50.60.70.8U-3-2-10123-4-3-2-1012345标准差标准差相同、均数相同、均数不同的正态分布曲线不同的正态分布曲线1、定义称参数为=0，=1的正态分布为标准正态分布，即随机变量的概率密度为则称z服从标准正态分布，记作zN（0，1）。在数理统计中,一般正态分布都可以化为标准正态分布,即 zeYz,212
2、2），（，则），令，（若102ZxZx2、标准正态分布曲线【例1】已知ZN(0,1),求（1）P（0Z1.96）(2)P（-1.96Z0）(3)P(-1Z2)【解】(1)p(0Z1.96）=0.475 (2)p(-1.96Z0）=p(0Z1.96）=0.475 (3)p(-1Z2)=P(-1Z0)+P(0Z2)=P(0Z1)+P(0Z2)=0.3413+0.9772 =0.8185【例2】已知XN（2.5,4),求P(2.8X4.2),P(1.5X3.8),P(X3.2)【解】6368.01368.05.0)35.00(5.0)35.0()2.3(4337.02422.01915.0)65.0
3、0()5.00()65.05.0()8.35.1(2427.00596.03023.0)85.015.0()25.22.425.225.28.2()2.48.2(2,45.22ZPZPXPZPZPZPXPZPXPXP【例3】设XN（，2），求X的取值分别落在（-，+）,（-2，+2），（-3，+3）内的概率。【解】这表明,正态变量X几乎不在(-3,+3)之外取值.%73.9949865.02)30(2)33(%45.9547725.02)20(2)22(%27.6834134.02)10(2)(3,2,1)0(2)()()()(ZPXPZPXPZPXPkkZPkZkPkXkPkXkpkXP令1
4、、利用正态分布确定超前百分位数，排定名次超前百分位数超前百分位数是指列于某一个数值之后的人在全体人员中所占的百分数。例1 某市一次高三数学会考的平均成绩为=75（分),标准差为（分），如果一考生考得0分,求其超前百分位数.解 记x为参加这次会考的考生成绩,xN(75,82),其超前百分位数即名列该考生之后的考生人数占全体考生的百分数这表明有73.4%的考生名列的得80分的某考生之后,而有26.6%的考生成绩在80分以上。%4.73234.05.0)625.00(5.0)625.0()625.0875()80(ZPZPxPxP例例2 2 某师大一年级有学生某师大一年级有学生200200人，高数成
5、绩可以用正态分布来描人，高数成绩可以用正态分布来描述，其平均成绩为述，其平均成绩为=78=78（分（分 ),),标准差为标准差为7 7（分），试在理（分），试在理论上计算学生成绩在论上计算学生成绩在9090分以上、分以上、8080分至分至9090分、不及格的人数。分、不及格的人数。解解 记记x x为学生高数成绩为学生高数成绩,x,xN(78,7N(78,72 2),),2002000.0436=8.7290.0436=8.729(人人);200);2003423=68.4669(3423=68.4669(人人);200);2000.00511(0.00511(人人)0051.04949.05.
6、0)57.20(5.0)57.2()57.2778()60(3423.01141.04564.0)71.129.0()71.177829.0()9080(0436.04564.05.0)71.10(5.0)71.1()71.1778()90(10778ZPZPxPxPZPxPxPZPZPxPxPZxZ），（，则令例例3 某师大一年级有学生某师大一年级有学生300300人人,他们的某种能力指标可以用正态他们的某种能力指标可以用正态分布来描述分布来描述,现将他们按能力分成现将他们按能力分成A A、B B、C C、D D、E E五个组参加一五个组参加一项测试，求各组人数。项测试，求各组人数。解解 记
7、记x x为学生该种能力指标为学生该种能力指标,x,xN(,N(,2 2)，根据，根据“33原原则则”，把学生分成五组，可以将区间（，把学生分成五组，可以将区间（-3-3，+3+3）分成）分成五段，则每个小区间长为五段，则每个小区间长为665=1.2,5=1.2,则各段百分数为则各段百分数为人。人、人、人、人、各组人数分别为、则10721367210%46.3)38.1(%84.23)8.106.(%14.45)6.06.0(%84.23)6.08.1(%46.34641.04987.0)8.10()30()38.1()8.13()3()8.1()8.13(EDCBAxPxPxPxPZPZPZP
8、ZPxPxP例例4 某市参加奥林匹克业余学校入学考试的人数为某市参加奥林匹克业余学校入学考试的人数为2800人人,只录取只录取150人人,该次考试的平均分为该次考试的平均分为75分分,标准标准差为差为8,问录取分数线应定位多少分问录取分数线应定位多少分?解解 这次学生的成绩这次学生的成绩xN(75,82),分故分数线定为近似取故时当查表）（则招生人数的概率，的变换后，通过88758,62.1,4473.0,62.1,447.0053.05.0)(5.0)0(053.02800150)1,0(875000ZxZPZZZPZZPZZPZxZ 某班口试有两位主试教师，最后综合两位主试教师的评定某班口
9、试有两位主试教师，最后综合两位主试教师的评定结果确定每个学生的口试成绩。学生的成绩分为优、良、中、结果确定每个学生的口试成绩。学生的成绩分为优、良、中、及格、不及格五等。全班共及格、不及格五等。全班共60名学生，每位教师评定的等级人名学生，每位教师评定的等级人数见表。在数见表。在60名学生中抽出甲、乙两名学生，两名教师对他们名学生中抽出甲、乙两名学生，两名教师对他们的评定结果列在下表中，试比较两名学生成绩的优劣。的评定结果列在下表中，试比较两名学生成绩的优劣。等级等级 主试教师主试教师AB优优52良良1210中中3035及格及格1010不及格不及格33总计总计6060两名教师对学生的评定两名教
10、师对学生的评定教师教师学生学生AB甲甲良良优优乙乙优优良良主试教师主试教师A主试教师主试教师BP所在组所在组的组中的组中值值ZP所在组所在组的组中的组中值值Z优优0.080.961.750.030.9852.17良良0.20.820.920.170.8851.2中中0.50.47-0.080.580.510.03 及格及格0.170.135-1.100.170.135-1.10不及格不及格0.050.025-1.960.050.025-1.96AB甲甲良良0.92优优2.17乙乙优优1.75良良1.20由表看出:甲的Z分 0.92+2.17=3.09乙的Z分 1.75+1.20=2.95所以,
11、甲的成绩优于乙的成绩.原始分数x服从正态分布，则z=x-/服从标准正态分布，z值我们也称为z分数或标准分。Z分数应用的好处：Z分将考试分数转化为平均分为0，标准差为1的标准形式，可以对来自于不同群体（如不同学科的成绩）的考试分数进行比较。Z分高，意味着考试成绩在相应总体中的位置比较高，因此也比较好。考试科目原始分数团体平均分团体标准差标准分甲乙甲乙语文5373654数学7870746英语82707112总平均计算甲三门学科的标准分:（1）选中所要输入的标准分结果的位置范围 F3:F5（2）输入公式：“=(B3:B5-D3:D5)/E3:E5”（3）按“Shift+Ctrl+Enter”键，甲三科的标准分出现在F3、F4、F5中（4）计算甲的平均标准分：利用“粘贴函数”中的“AVERAGE”函数求得的。
