1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (二十八 ) 平面向量的综合应用 基础巩固 一、选择题 1 (2018 银川调研 )若平面四边形 ABCD 满足 AB CD 0， (AB AD) AC 0，则该四边形一定是 ( ) A直角梯形 B矩形 C菱形 D正方形 解析 由 AB CD 0 得平面四边形 ABCD 是平行四边形，由 (AB AD) AC 0 得 DB AC 0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选 C. 答案 C 2 (2017 湖南省五市十校高三联考 ) ABC 是边长为 2 的等边三角形，向量 a， b 满足AB 2a， AC 2a b，则向量 a，
2、b 的夹角为 ( ) A 30 B 60 C 120 D 150 解析 解法一：设向量 a， b 的夹角为 ， BC AC AB 2a b 2a b， |BC| |b| 2， |AB| 2|a| 2， |a| 1， AC2 (2a b)2 4a2 4a b b2 8 8cos 4， cos 12， 120. 解法二： BC AC AB 2a b 2a b，则向量 a， b 的夹角为向量 AB与 BC的夹角，故向量 a， b 的夹角为 120. 答案 C 3 (2017 云南省高三统一检测 )在 ?ABCD 中， |AB| 8， |AD| 6， N 为 DC 的中点， BM2MC，则 AM NM
3、 ( ) A 48 B 36 C 24 D 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 AM NM (AB BM)( NC CM)?AB 23AD?12AB 13AD 12AB2 29AD2 1282 296 2 24，故选 C. 答案 C 4在 ABC 中， AB 2， AC 3， AB BC 1，则 BC ( ) A. 3 B. 7 C 2 2 D. 23 解析 设角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.AB BC 1，即 accosB 1.在 ABC 中，根据余弦定理 b2 a2 c2 2accosB 及 AB c 2， AC b 3，可得 a2 3，即 a 3. 答案 A
4、5 (2018 河南郑州七校联考 )在四边形 ABCD 中， AC (1,2)， BD ( 4,2)，则该四边形的面积为 ( ) A. 5 B 2 5 C 5 D 10 解析 依题意得， AC BD 1( 4) 22 0.所以 AC BD，所以四边形 ABCD 的面积为 12|AC| BD| 12 5 20 5. 答案 C 6 (2018 福建高三质检 ) ABC 中， A 90 ， AB 2， AC 1，设点 P， Q 满足 AP AB， AQ (1 )AC.若 BQ CP 2，则 ( ) A.13 B.23 C.43 D 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 以点 A 为坐标原点，以
5、 AB的方向为 x 轴的正方向，以 AC的方向为 y 轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知 B(2,0)， C(0,1)， P(2 ， 0)， Q(0,1 )， BQ ( 2,1 )， CP (2 ， 1) BQ CP 2， 1 3 2，解得 13，故选 A. 答案 A 二、填空题 7已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 AO 12(AB AC)，则 AB与 AC的夹角为 _ 解析 由题易知点 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，故在 ABC 中， BC 对应的 角A 为直角，即 AC与 AB的夹角为 90. 答案 90 8已知向量 a (cos ， sin )，向
6、量 b ( 3， 1)，则 |2a b|的最大值与最小值的和为 _ 解析 由题意可得 a b 3cos sin 2cos? ? 6 ，则 |2a b|a b 2 4|a|2 |b|2 4a b 8 8cos? ? 6 0,4，所以 |2a b|的最大值与最小值的和为 4. 答案 4 9 (2018 湖北襄阳优质高中联考 )在矩形 ABCD 中， AB 2， BC 2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB AF 2，则 AE BF的值是 _ 解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图，以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴建立直角坐标系，则 A(0,
7、0)， B( 2，0)， E( 2， 1)设 F(m,2)， 0 m 2，由 AF AB (m,2)( 2， 0) 2m 2，得 m 1，则 F(1,2)，所以 AE BF ( 2， 1)(1 2， 2) 2. 答案 2 三、解答题 10已知四边形 ABCD为平行四边形，点 A的坐标为 ( 1,2)，点 C在第二象限， AB (2,2)，且 AB与 AC的夹角为 4 ， AB AC 2. (1)求点 D 的坐标； (2)当 m 为何值时， AC mAB与 BC垂直 解 (1)设 C(x， y)， D(m， n)，则 AC (x 1， y 2) AB与 AC的夹角为 4 ， AB AC 2. A
8、B AC|AB|AC| 222 22 x 2 y 2 22 ，化为 (x 1)2 (y 2)2 1. 又 AB AC 2(x 1) 2(y 2) 2，化为 x y 2. 联立 解得? x 1，y 3 或 ? x 0，y 2. 又点 C 在第二象限， C( 1,3) =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 CD BA， (m 1， n 3) ( 2， 2)，解得 m 3， n 1. D( 3,1) (2)由 (1)可知 AC (0,1)， AC mAB (2m,2m 1)， BC AC AB ( 2， 1) AC mAB与 BC垂直， (AC mAB) BC 4m (2m 1) 0，解得 m 16
9、. 能力提升 11在 ABC 中，已知向量 AB与 AC满足?AB|AB| AC|AC| BC 0， 且 AB|AB| AC|AC| 12，则 ABC 为 ( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 解析 因为 AB|AB|， AC|AC|分别为 AB， AC方向上的单位向量，故由?AB|AB| AC|AC| BC 0可得 BC AM(M 是 BAC 的平分线与 BC 的交点 )，所以 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，又 AB|AB| AC|AC| 12，所以 BAC 60 ，所以 ABC 为等边三角形 答案 A 12 (2016 天津卷 )已知 A
10、BC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE 2EF，则 AF BC的值为 ( ) A 58 B.18 C.14 D.118 解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = 建立如图所示的直角坐标系，则 A? ?0， 32 ， B? ? 12， 0 ， C? ?12， 0 ， D? ? 14， 34 .设 F(x0，y0)，则 DE ? ?14， 34 ， EF (x0， y0) DE 2EF， 2x0 14， 2y0 34 ，即 x0 18， y0 38 . F? ?18， 38 . AF?18，5 38 ， BC (1,0)
11、， AF BC 18.故选 B. 答案 B 13在边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动，则 EC EM的最大值为 _ 解析 以点 A 为坐标原点， AB， AD 所在直线分别为 x， y 轴建立如图平面直角坐标系，则 C(1,1)， M? ?1， 12 ，设 E(x,0)， x 0,1，则 EC EM (1 x,1) ? ?1 x， 12 (1 x)2 12，x 0,1单调递减，当 x 0 时， EC EM取得最大值 32. 答案 32 14. (2018 广东湛江一中等四校联考 )如图，已知 ABC 中，点 M 在线段 AC 上，点 P在线
12、段 BM 上且满足 AMMC MPPB 2，若 |AB| 2， |AC| 3， BAC 120 ，则 AP BC的值为=【 ;精品教育资源文库 】 = _ 解析 |AB| 2， |AC| 3， BAC 120 ， AB AC 23c os120 3. MP 23MB， AP AM 23(AB AM)，化为 AP 23AB 13AM 23AB 13 23AC 23AB 29AC. AP BC?23AB 29AC( AC AB) 49AB AC 29AC2 23AB2 49( 3)2932 2322 2. 答案 2 15 (2015 广东卷 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ? ?22
13、 ， 22 ， n (sinx，cosx)， x ? ?0， 2 . (1)若 m n，求 tanx 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 的值 解 (1) m n， m n 0. 故 22 sinx 22 cosx 0， tanx 1. (2) m 与 n 的夹角为 3 ， cos m， n m n|m| n|22 sinx22 cosx11 12， 故 sin? ?x 4 12. 又 x ? ?0， 2 ， x 4 ? ? 4 ， 4 ， x 4 6 ，即 x 512 ， 故 x 的值为 512. 16 (2017 江西上饶调研 )已知在 ABC 中，角 A， B， C 的
14、对边分别为 a， b， c，向量m (sinA， sinB)， n (cosB， cosA)， m n sin2C. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求角 C 的大小； (2)若 sinA， sinC， sinB 成等差数列，且 CA( AB AC) 18，求 c 边的长 解 (1)m n sinAcos B sinBcos A sin(A B)， 对于 ABC， A B C,0C ， sin(A B) sinC， m n sinC，又 m n sin2C， sin2C sinC， cosC 12， C 3. (2)由 sinA， sinC， sinB 成等差数列，可得 2sinC sinA sinB，由正弦定理得 2c a b. CA( AB AC) 18， CA CB 18， 即 abcosC 18， ab 36. 由余弦定理得 c2
