1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 3.5 二次函数的综合应用 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 抛物线与距离、面积、角度 A组 2019年全国中考题组 1.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2. (1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2? (2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=- x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上取 点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ. 若AP=AQ,求点P的横坐标; 若PA=PQ,直接写出点P的横坐标; (3)如图2,MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点
2、M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME, NE均与y轴不平行.若MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系. 4 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2. 或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2. (2)如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D, C1:y=(x-1)2-4,A(3,0), 直线y=- x+b经过A(3,0),b=4,D(0,4), 则易知D(0,-4), 直线AD的解析式为y= x-4, 由 得x1=3,x2= ,
3、 xQ= ,xP=xQ= ,点P的横坐标为 . 4 3 4 3 2 (1)4, 4 4 3 yx yx 1 3 1 3 1 3 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 点P的横坐标为- . 详解:由 得x1=- ,x2=3, 故B . 设点P的横坐标为a , 点P在线段AB上, 点P的坐标为 , 2 3 2 (1)4, 4 4, 3 yx yx 7 3 7 64 , 39 7 3 3 a 4 ,4 3 aa 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 点Q在抛物线C1上, 点Q的坐标为(a,a2-2a-3). PQ2= , 又PA=PQ,PA2=(a-3)2+ = , (a-3)2=(a-3)(a+1)(
4、a-3) , 又a3,(a+1) =1, (a+4)=0, a1=- ,a2=-4(舍),点P的横坐标为- . (3)C2:y=x2,M(m,m2),N(n,n2), 设直线ME的解析式为y=kx+t, M(m,m2),t=m2-km, 2 2 2 7 3 aa 2 4 4 3 a 2 2 2 7 3 aa 11 3 a 11 3 a 2 3 a 2 3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 由 得x2-kx+km-m2=0, 依题意有=k2-4(km-m2)=0,k=2m, 直线ME的解析式为y=2mx-m2, 同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2, 由 得E , M(m,m2),N(
5、n,n2), 直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn, 过E作EFy轴交MN于点F,则F , EF= -mn= (m-n)2, SMNE= (m-n) (m-n)2= (m-n)3=2, 2 2 ,yx ykxmkm 2 2 2, 2 ymxm ynxn , 2 mn mn 22 , 22 mn mn 22 2 mn1 2 1 2 1 2 1 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 m-n=2. m与n的数量关系为m-n=2. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-3)
6、, P为抛物线上一点,横坐标为m,且m0. (1)求此抛物线的解析式; (2)当点P位于x轴下方时,求ABP面积的最大值; (3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. 求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; 当h=9时,直接写出BCP的面积. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得 -3=(0-1)2+k, 解得k=-4. 所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4, 即y=x2-2x-3. (2分) (2)令y=0,得(x-1)2-4=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以A(-1,0)
7、,B(3,0), 所以AB=4. 解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4). 由题意知,当点P位于抛物线顶点时,ABP的面积取得最大值, 最大值为 44=8. (5分) 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解法二:由题意,得P(m,m2-2m-3), 所以SABP= 4(-m2+2m+3) =-2m2+4m+6 =-2(m-1)2+8. 所以当m=1时,SABP有最大值8. (5分) (3)当01,a=2+ . 55 5 77 7 综上,a=1- 或a=2+ . 57 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)先根据对称轴方程得出b的值,然后代入点A的坐标,求出c的值
8、,即得二次函数解析式; (2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出CP的长 度; (3)分a+11三种情况讨论,结合二次函数的性质求解可得. 解题关键解题关键 本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、 二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 抛物线与特殊三角形、特殊四边形 1.(2019甘肃兰州,28,12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从点A 出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,
9、过点M作MNx轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接 AC.设运动的时间为t秒. (1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式; (2)连接BD,当t= 时,求DNB的面积; (3)在直线MN上存在一点P,当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标; (4)当t= 时,在直线MN上存在一点Q,使得AQC+OAC=90,求点Q的坐标. 3 2 5 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中, 得 解得 二次函数的表达式为y=- x2+ x+2. (2)t= ,AM=3, 又OA=1,OM=2, 设直线BC的解析
10、式为y=kx+n(k0),将C,B点的坐标代入,得 解得 直线BC的解析式为y=- x+2. 将x=2分别代入y=- x2+ x+2和y=- x+2中,得D(2,3),N(2,1),DN=2. 20, 16420, ab ab 1 , 2 3 , 2 a b 1 2 3 2 3 2 2, 40, n kn 1 , 2 2. k n 1 2 1 2 3 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 SDNB= 22=2. (3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0), 设P(2t-1,m), 则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2, PB=PC,(2t-5)2+m
11、2=(2t-1)2+(m-2)2, m=4t-5,P(2t-1,4t-5), PCPB, =-1,t=1或t=2, 1 2 47 21 t t 45 25 t t 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 经检验t=1或t=2为上述方程的解. M(1,0)或M(3,0), D(1,3)或D(3,2). (4)当t= 时,AM= 2= ,M ,由(1)知抛物线的对称轴方程是x= ,如图所示,在RtOAC中,AC= = ,在RtOBC中,BC= = ,又AB=5,AC2+BC2=AB2,ACB=90,又AOC=90, ACO=ABC,要使AQC+OAC=90,只需AQC=ABC,则点Q在以AB为直径的圆上,
12、且在直线MN上,又 点M为圆心,MQ= ,Q . 5 4 5 4 5 2 3 ,0 2 3 2 22 125 22 4220 5 2 3 5 , 2 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)根据A、B两点坐标用待定系数法求出; (2)先求出t= 时M点的横坐标,然后用待定系数法求直线BC的方程,再用代入法求出点D、N的坐标,最后求 出面积; (3)由已知条件求出M点的坐标,设出P点坐标,表示出PC2,PB2,进而由PB=PC,PBPC求解; (4)先求出t= 时M点的坐标,可判断出点M恰好为AB的中点,再通过计算AC、BC的长可判断出ACB=90, 再由互余性质可推出ACO
13、=ABC,要使AQC+OAC=90,只需AQC=ABC,由同圆或等圆中等弧所 对的圆周角相等可判定点Q在以AB为直径的圆上,最后求出Q点坐标. 3 2 5 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019山西,23,13分)如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个 动点,设点D的横坐标为m(10),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据RtPOD与RtAOB相 似,分两种情况列出比例式,求出m的值,进而得出点P的坐标. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019山东潍坊,25,13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,O
14、为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC 与y轴交于点C,且M经过O,A,C三点. (1)求圆心M的坐标; (2)若直线AD与M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式; (3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的 P与直线AD相交于另一点F.当EF=4 时,求点P的坐标. 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)AC是ABO的中线, 点C的坐标为(0,2). (1分) AOC=90, 线段AC是M的直径, 点M为线段AC的中点, 圆心M的坐标为(2,1). (2分) (2)AD与M相切于点A
15、, ACAD, RtAOCRtDOA, (3分) = = , (4分) OA=4,OD=8, 点D的坐标为(0,-8), (5分) OC OA OA OD 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 设直线AD的函数表达式为y=kx+b,k0, 则有 直线AD的函数表达式为y=2x-8. (6分) (3)设抛物线为y=a(x-2)2+1,抛物线过点(0,4), 4=a(0-2)2+1, (7分) a= . 抛物线的表达式为y= x2-3x+4. (8分) 设点P ,则点E(m,2m-8), PE= m2-5m+12, (9分) 04, 8, kb b 2, 8, k b 3 4 3 4 2 3 ,
16、34 4 mmm 3 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 过点P作PHEF,垂足为H, PEy轴,PEH=ADO, 又PHE=AOD,RtEHPRtDOA, (10分) = = , EH= , (11分) EF=4 ,2 = , 化简,得3m2-20m+28=0, 解之,得m1=2,m2= , (12分) 点P的坐标为(2,1)或 . (13分) EH PE OD AD 8 4 5 2 5 2 3 512 4 mm 55 2 5 2 3 512 4 mm 14 3 14 19 , 33 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)易知AC为直径,利用中点坐标公式即可求解; (2)根
17、据切线的性质,得到CAAD,通过证明AOC与DOA相似,求出OD,得到点D坐标,然后由待定系数 法求直线AD的函数表达式; (3)先求出抛物线的表达式,用含字母m的代数式表示出点P和点E的坐标,得到圆的半径,过点P作PHEF于 H,易得EHP与DOA相似,由EH= EF,得到关于m的方程,解方程,即可求得点P的坐标. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点四 二次函数在实际生活(生产)中的应用 1.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物 线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图
18、象抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径 为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则此抛物线型 钢拱的函数表达式为 ( ) 图1 图2 A.y= x2 B.y=- x2 26 675 26 675 C.y= x2 D.y=- x2 13 1 350 13 1 350 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2, 将B(45,-78)代入得-78=a 452,a=- , 抛物线型钢拱的函数表达式为y=- x2,故选B. 26
19、 675 26 675 思路分析思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式. 方法指导方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到关 于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值代入 所设表达式,写出表达式. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019湖北武汉,22,10分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的 一次函数.其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对
20、应值如下表: 注:周销售利润=周销售量(售价-进价) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围); 该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元; (2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在今 后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值. 售价x(元/件) 50 60 80 周销售量y(件) 100 80 40 周销售利润w(元) 1 000 1 600 1 600 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)设y与x的函数关系式为y
21、=kx+b, 依题意有 解得 y与x的函数关系式是y=-2x+200. 40;70;1 800. 进价是50-(1 000100)=40元/件. w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元. (2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m) =-2x2+(2m+280)x-8 000-200m =-2 + m2-60m+1 800, m0, 70, -21)图象上一点, 点A的横坐标为m,点B(0,-m)是y轴负半轴上的一点,连接AB,ACAB,交y轴于点C,延长CA到点D,使得AD= AC.过点A作AE
22、平行于x轴,过点D作y轴的平行线交AE于点E. (1)当m=3时,求点A的坐标; (2)DE= ;设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围; (3)连接BD,过点A作BD的平行线,与(2)中的函数图象交于点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平 行四边形? 32 mm x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)点A在反比例函数y= (x0,m1)的图象上,且点A的横坐标为m, 点A的坐标为(m,m2-m).当m=3时,A(3,6). (2)1;由(1)知A(m,m2-m),已知B(0,-m), 延长EA交y轴于点N,如图. AEx轴,DEy轴,
23、 DEA=CNA=90. 又CAN=DAE,AC=AD, CANDAE, AN=AE, E(2m,m2-m).DE=1, 点D的坐标为(2m,m2-m-1). 又D(x,y), 32 mm x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 x=2m,y=m2-m-1,则m= , 把m= 代入y=m2-m-1,得y= x2- x-1. m1,x=2m,x2, 所求函数关系式为y= x2- x-1(x2). (3)x2, 2 x 2 x1 4 1 2 1 4 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 直线AF与二次函数y= x2- x-1(x2)只有一个交点,如图所示,连接DF,设直线AF交y轴于点M,过点F作F
24、Q y轴,交AE的延长线于点Q,过点D作DHx轴,交y轴于点H,则FQA=BHD=90. 当四边形ABDF是平行四边形时,AF=DB, FQy轴, HMF=AFQ. AFBD, HMF=HBD, AFQ=DBH, RtFQARtBHD, AQ=DH=2m,FQ=BH, 点F的横坐标为3m,纵坐标为 m2- m-1, FQ= m2- m-1-(m2-m)= m2- m-1. 1 4 1 2 9 4 3 2 9 4 3 2 5 4 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 D(2m,m2-m-1),B(0,-m), BH=m2-m-1-(-m)=m2-1, m2- m-1=m2-1, 解得m=2或m
25、=0(舍去), 当m=2时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形. 5 4 1 2 方法指导方法指导 在第(3)问中,利用平行四边形的性质证明RtFQARtBHD,得到FQ=BH,用含m的代数式表 示线段FQ和BH的长度,列方程求出m的值. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017新疆乌鲁木齐,24,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与直线y=x+1相交于A(-1,0),B(4,m)两点,且抛物 线经过点C(5,0). (1)求抛物线的解析式; (2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A,点B重合),过点P作直线PDx轴于点D,交直线AB于点E. 当PE=2ED时,求P
26、点坐标; 是否存在点P使BEC为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)解法一:把B点坐标代入y=x+1得m=5, B(4,5). 把A,B,C三点坐标代入y=ax2+bx+c(a0)得 解得 抛物线的解析式为y=-x2+4x+5. (4分) 解法二:把B点坐标代入y=x+1得m=5,B(4,5). 抛物线的解析式可以为y=a(x+1)(x-5), 把B点坐标代入得a(4+1)(4-5)=5, a=-1, 抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-5), 即y=-x2+4x+5. (4分) 0, 1645, 2550, ab
27、c abc abc 1, 4, 5, a b c 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (2)设P(x,-x2+4x+5),E(x,x+1),D(x,0). 若P点在AB上方, 则PE=-x2+4x+5-x-1,ED=x+1, PE=2ED,-x2+4x+5-x-1=2(x+1),解得x1=2,x2=-1, P(2,9)或P(-1,0),P(-1,0)与A点重合,舍去, 此时P点坐标为(2,9); (6分) 若P在A左侧,则PE=x+1+x2-4x-5,ED=-x-1, PE=2ED,x+1+x2-4x-5=2(-x-1),解得x1=2,x2=-1,这种情况不存在,应舍去; 若P在B右侧,则PE=x
28、+1+x2-4x-5,ED=x+1, PE=2ED,x+1+x2-4x-5=2(x+1), 解得x1=6,x2=-1(舍去), 此时P点坐标为(6,-7). P(2,9)或P(6,-7). (8分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 存在.P1 ,P2(4+ ,-4 -8),P3(4- ,4 -8),P4(0,5). (12分) 详解:连接BC,EC,设点P(x,-x2+4x+5),E(x,x+1), BE2=(4-x)2+(5-x-1)2=2(x-4)2=2x2-16x+32, BC2=(4-5)2+(5-0)2=26, EC2=(x-5)2+(x+1-0)2=(x-5)2+(x+1)2=2x
29、2-8x+26. 当BE=BC时,BE2=BC2,即2x2-16x+32=26, 解得x1=4+ ,x2=4- . 当x=4+ 时,-x2+4x+5=-4 -8, 当x=4- 时,-x2+4x+5=4 -8, P(4+ ,-4 -8)或P(4- ,4 -8). 当BE=EC时,BE2=EC2, 即2x2-16x+32=2x2-8x+26, 3 119 , 4 16 13131313 1313 1313 1313 13131313 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解得x= , 当x= 时,-x2+4x+5= ,P . 当BC=EC时,BC2=EC2, 即26=2x2-8x+26, 解得x1=0,
30、x2=4, 当x=0时,-x2+4x+5=5, P(0,5); 当x=4时,-x2+4x+5=5, P(4,5),这时,点P、E、B重合,不符合题意,舍去. 综上所述,P1 ,P2(4+ ,-4 -8),P3(4- ,4 -8),P4(0,5). 3 4 3 4 119 16 3 119 , 4 16 3 119 , 4 16 13131313 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 抛物线与全等三角形、相似三角形 (2018湖北武汉,24,12分)抛物线L:y=-x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B. (1)直接写出抛物线L的解析式; (2)如图1,过定点的直线y
31、=kx-k+4(k0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线 交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若PCD与POF相似,并且 符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)y=-x2+2x+1. 详解:由题意知 解得b=2,c=1,抛物线L的解析式为y=-x2+2x+1 (2)解法一:直线y=kx-k+4经过定点G(1,4), 易知B点坐标为(1,2), BG=2. SBMN=1,SBMN=SGBN-SGBM= BG (xN-xM)=xN-xM. xN-xM=1.
32、由 得x2+(k-2)x-k+3=0, xN= ,xM= . xN-xM= =1,k=3, k-2a, a0, (3a+2)20, , 420, ab abc 2 24, 2 , yx yaxaxa 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 方程ax2+(2-a)x-(2a+4)=0有两个相异的实数根, y=-2x+4与y=ax2-ax-2a的图象有两个不同的交点, 又其中一个交点为A(2,0), 一定还有另一个异于A的交点. (3)设点B的横坐标为x2, ax2+(2-a)x-(2a+4)=(x-2)(ax+a+2)=0, x2=-1- , 另外一个交点B的坐标为 . 又M ,N , MN=3+ ,
33、SAMN= = , 2 a 24 1,6 aa 19 , 24 a 1 ,3 2 9 4 a 25 9 25 9 1 2 9 3 4 a 3 2 25 12 9 3 4 a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 SBMN= = , S= =3a- + , 由c0,得b 0,-b-10)交于A(1,1),B两点,与y轴交于点C(0,5),直线l与y轴交于点D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若 = ,且BCG与 BCD的面积相等,求点G的坐标; (3)若在x轴上有且只有一点P,使APB=90,求k的值. 5 2 AF FB 3
34、 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)由题可得 解得 抛物线的函数表达式为y=x2-5x+5. (2)作AMx轴,BNx轴,垂足分别为M,N, 设对称轴与x轴交于Q点,则 = = . MQ= ,QN=2,B , 5 , 22 5, 1, b a c abc 1, 5, 5, a b c AF FB MQ QN 3 4 3 2 9 11 , 2 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解得 直线l的解析式为y= x+ ,则D . 易知直线BC的解析式为y=- x+5. SBCD=SBCG, DG1BC(G1在BC下方),直线DG1的解析式为y=- x+ , - x+ =x2-5x+5
35、,即2x2-9x+9=0,x1= ,x2=3, x ,x=3,G1(3,-1). G在BC上方时,直线G2G3与DG1关于直线BC对称. 直线G2G3的解析式为y=- x+ , 1, 911, 24 km km 1 , 2 1 , 2 k m 1 2 1 2 1 0, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5 2 1 2 19 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 - x+ =x2-5x+5,2x2-9x-9=0. x1= ,x2= , x ,x= ,G2 . 综上所述,点G的坐标为(3,-1)或 . (3)由题意可知,k+m=1. m=1-k,y=kx+1-k,kx+1-k=x2
36、-5x+5, 即x2-(k+5)x+k+4=0, x1=1,x2=k+4,B(k+4,k2+3k+1). 取AB的中点O, 1 2 19 2 93 17 4 93 17 4 5 2 93 17 4 93 17 673 17 , 48 93 17 673 17 , 48 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 P点有且只有一个,以AB为直径的圆与x轴只有一个交点, 即该圆与x轴相切,且P为切点, 作AMx轴,BNx轴,垂足分别为M,N, 连接OP,AP,BP. OPx轴,P为MN的中点,P . 易知AMPPNB, = ,AM BN=PN PM, 1(k2+3k+1)= ,即3k2+6k-5=0,=960
37、, 5 ,0 2 k AM PM PN BN 5 4 2 k k 5 1 2 k k0,k= =-1+ . 64 6 6 2 6 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2017内蒙古呼和浩特,25,10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,其顶点记为M, 自变量x=-1和x=5对应的函数值相等.若点M在直线l:y=-12x+16上,点(3,-4)在抛物线上. (1)求该抛物线的解析式; (2)设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P,在x轴上有一点A ,试比较锐角PCO与ACO的 大小(不必证明),并写出相应的P点横坐标x的取值范围; (
38、3)直线l与抛物线另一交点记为B,Q为线段BM上一动点(点Q不与M重合).设Q点坐标为(t,n),过Q作QHx轴 于点H,将以点Q,H,O,C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数,标出自变量t的取值范围,并求出S可能取得 的最大值. 7 ,0 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)x=-1和x=5对应的函数值相等, 抛物线的对称轴为直线x=2. 设顶点M的坐标为(2,p),则p=-122+16=-8, M(2,-8). 由题意得 解得 抛物线的解析式为y=4x2-16x+8. (2)由(1)知M(2,-8),易知C(0,8). 当x= 时,PCO=ACO; 当2+ 0,t0,y0
39、), SCOE= 13= ,SABP= 4y=2y, SABP=4SCOE, 2y=4 ,y=3, 由-x2+2x+3=3,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=2, P(2,3). 10, 930, bc bc 2, 3, b c 1 2 3 2 1 2 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2016黑龙江哈尔滨,27,10分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+2ax+c经过A(-4,0),B (0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作
40、EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在 第一象限,过点F作FMx轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写 出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,过点E作EHED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中 点Q时,求点F的坐标. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)把A(-4,0),B(0,4)的坐标代入y=ax2+2ax+c,得 (1分) y=- x2-x+4. (2分) (2)易知E(0,5),即OE=5.如图1,过点P、F分别作y轴的垂线,垂足分别为点I、R, 图1 PIE=F
41、RE=FRO=90, 0168, 4, aac c 1 , 2 4, a c 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 EPEF,PEI+FER=90, EFR+FER=90, PEI=EFR,FROR, EP=EF,PEIEFR, (3分) PI=ER. FMx轴,FMO=90, ROM=90, 四边形ORFM为矩形, FM=OR, (4分) 点P的横坐标为t,点P在第二象限,PI=-t, OR=OE-RE=5-(-t),d=t+5. (5分) (3)如图2, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 图2 y=- x2-x+4,y=0时,- x2-x+4=0, 解得x1=-4,x2=2,C(2,0),
42、 Q为AC的中点,Q(-1,0),OQ=1, 直线y=x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E, D(-5,0),E(0,5), OD=OE=5,连接OG、GE、GM, 过G、P、F分别作y轴的垂线,垂足分别为K、I、R, 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 EHDE,MFDM, DEH与DMH为直角三角形. 点G为DH的中点,GE=GM=GD. (6分) 过点G作GNDM于点N,OD=OE,OG=OG, DOGEOG, GON=GOK=45, (7分) GK=GN,GKO=KON=ONG=90, 四边形OKGN为正方形, RtEGKRtMGN,EK=MN. 由(2)得EPIFER,四
43、边形OMFR为矩形,设GN=n, ON=OK=n,MN=EK=5-n,EI=FR=OM=MN-ON=5-2n, IO=OE-EI=2n, 过点P作PTx轴于点T,四边形PTOI为矩形,PT=2n, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 PT=2GN, (8分) tanGQN= = ,TQ=2NQ, NQ=n-1,TQ=2n-2, OT=TQ+OQ=2n-2+1=2n-1, P(1-2n,2n), (9分) 2n=- (1-2n)2-(1-2n)+4, 解得n1= ,n2= 1. 当点P在点A右侧时,不存在点P,使得PAM与DD1A相似. (如果考生只写了这种情况,酌情给分) )如图,当点P在点A和点
44、B之间时,-70)个单位长度得抛物线y=- + . 新抛物线的顶点D的坐标是 . (6分) 由题意得,直线BC的解析式为y=-x+4,直线AC的解析式为y=4x+4, 0, 1640, 4, abc abc c 1, 3, 4. a b c 22 2 33 3 22 xx 2 3 2 x 25 4 3 25 , 24 2 3 2 x 25 4 15 4 2 3 2 xh 5 2 35 , 22 h 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当顶点 在直线BC上时, =- +4, 解得h=0. 当顶点 在直线AC上时, =4 +4, 解得h= . 新抛物线的顶点D在ABC内,h的取值范围是045,点P与点B是对应点. 当ABCCPQ时, = , = . m=0(舍)或m= . 2 2 AB CP BC PQ 5 2m 2 4 2 4mm 12 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 PQ= ,SPQC= = . (11分) 当ABCQPC时, = , = , m=0(舍)或m= . PQ= ,SPQC= = . 综上所述,PQC的面积为 或 . (13分) 96 25 1 2 12 5 96 25 576 125 AB QP BC PC 2 5 4mm 4 2 2m 11 4 55 16 1 2 11 4 55 16 605 128 576 125 605 128 栏目引栏目引 栏目
