1、第五章第五章5.1.2 5.1.2 垂线垂线人教版数学七年级下册 如图所示是北京天安门如图所示是北京天安门广场庄严隆重的升国旗仪式，广场庄严隆重的升国旗仪式，是亿万中国人民特别关注的是亿万中国人民特别关注的活动活动.众所周知，众所周知，1949年年10月月1日，毛泽东主席在天安日，毛泽东主席在天安门城楼上用洪亮的声音向全门城楼上用洪亮的声音向全世界宣告中华人民共和国诞世界宣告中华人民共和国诞生，亲手升起了第一面五星生，亲手升起了第一面五星红旗红旗.导入新知导入新知 天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，人们概括有人们概括有“五绝五绝”.一绝：升旗；
2、二绝：护旗；三绝：一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗.其中的每招每式都有其中的每招每式都有极其严格的要求极其严格的要求.每一次，当擎旗手以优美的动作，在每一次，当擎旗手以优美的动作，在国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，都是最后一个音符终止，都是2分分07秒，国旗也准时到达秒，国旗也准时到达30米高的旗杆顶端，做到了分秒不差米高的旗杆顶端，做到了分秒不差.可是，你看着旗杆可是，你看着旗杆与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系
3、呢？1.1.认识生活中的垂直现象认识生活中的垂直现象,理解垂直定义理解垂直定义,并并能用符号表示能用符号表示.掌握垂线的性质掌握垂线的性质,会过一点作已会过一点作已知直线的垂线知直线的垂线.2.2.经历垂线画法经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的尝试从不同角度寻求垂线的画法画法,用不同方法得到垂线的性质用不同方法得到垂线的性质.学习目标学习目标1知识点知识点垂直的定义垂直的定义 当转动一木条当转动一木条的位置时，什么也的位置时，什么也随着发生了变化？随着发生了变化？合作探究合作探究ab 在同一平面内，如在同一平面内
4、，如果两条直线相交成直角，果两条直线相交成直角，就说这两条直线就说这两条直线互相垂互相垂直直.垂足垂足垂垂 线线垂垂线线定义：定义：在两条直线在两条直线AB和和CD相交所成的相交所成的4个角中，个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；记作记作“ABCD”，读作，读作“AB垂直于垂直于CD”；其中；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足如图叫做垂足如图.导引：导引：要判断要判断OE，OF是什么位置关是什么位置关 系，其实质是说明系，其实质是说明OE，OF是是 否垂直，即要看否垂直，即要
5、看EOF是否为是否为 90；要让；要让EOF90，需说明，需说明EOF AOC或或EOFBOC都可，这样就把问题都可，这样就把问题 转化为说明转化为说明AOECOF(已知已知)了了 例例1 如图，如图，COAB于点于点O，AOECOF，则射，则射 线线OE，OF是什么位置关系？请说明理由是什么位置关系？请说明理由解：解：射线射线OE，OF互相垂直理由如下：互相垂直理由如下：因为因为COAB，所以，所以AOC90.又因为又因为AOECOF，所以所以AOECOECOFCOE，即即AOCEOF90.所以所以OE与与OF互相垂直互相垂直(垂直定义垂直定义)判断两直线判断两直线(线段、射线所在直线线段、
6、射线所在直线)互相垂直互相垂直，主要，主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四个角中有一个角是直角即可个角中有一个角是直角即可新知小结新知小结导引：导引：根据根据AOC与与BOD是对顶角，是对顶角，且且BOD与与BOE互余，即可互余，即可 求出求出AOC的度数；根据的度数；根据OD平平 分分BOF，EOFBOEBOF即可求出即可求出 EOF的度数；根据的度数；根据AOF与与BOF互补可求得互补可求得 AOF的度数的度数 例例2 如图，直线如图，直线AB，CD相交于点相交于点O，过，过O点画射线点画射线OE，OF，使，使OECD，OD平分平
7、分BOF.如果如果BOE 50，求，求AOC，EOF和和AOF的度数的度数合作探究合作探究解：解：因为因为OECD，所以，所以DOE90(垂直定义垂直定义)因为因为BOE50，所以所以AOCBODDOEBOE 905040.因为因为OD平分平分BOF，所以所以BOF2BOD80.所以所以EOFBOFBOE8050130，AOFAOBBOF18080100.1当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？直线有什么位置关系？为什么？当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条直线互相垂直
8、直线互相垂直理由：理由：设所成的四个角中有一个角设所成的四个角中有一个角的度数为的度数为m，则其余三个角的度数分别为，则其余三个角的度数分别为180m，m，180m，由题意知，由题意知，m180m，得，得m90，所以，所以180m90，所以这两条直线互相，所以这两条直线互相垂直垂直解：解：巩固新知巩固新知如图，已知点如图，已知点O在直线在直线AB上，上，CODO于点于点O，若若1145，则，则3的度数为的度数为()A35 B45 C55 D652C【中考中考德宏州德宏州】如图，三条直线相交于点如图，三条直线相交于点O，若若COAB，156，则，则2等于等于()A30 B34 C45 D563B
9、如图，点如图，点O在直线在直线AB上，且上，且OCOD，若，若COA36，则，则DOB的大小为的大小为()A36 B54 C55 D444B如图，直线如图，直线AB，CD相交于点相交于点O，射线，射线OM平分平分AOC，ONOM.若若AOM35，则，则CON的的度数为度数为()A35 B45 C55 D655C已知在同一平面内：已知在同一平面内：两条直线相交成直角；两条直线相交成直角；两条直线互相垂直；两条直线互相垂直；一条直线是另一条直线的垂线一条直线是另一条直线的垂线那么下列因果关系：那么下列因果关系：；中，正确的有中，正确的有()A0个个 B1个个 C2个个 D3个个6D因为COAB，所
10、以AOC90.经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直 过一点作已知直线的垂线的方法.利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：题意的图形可以是()分在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长解：因为OECD，所以DOE90(垂直定义)经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.A过一点有无数条直线与已知直线垂直如图，如果直线ON直线a，直线OM直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是()其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点；转化为说明AOECOF(已知)了系，其实质是说明OE，OF是直线
11、的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”系，其实质是说明OE，OF是所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部B和一条直线垂直的直线有两条解：因为OECD，所以DOE90(垂直定义)导引：根据AOC与BOD是对顶角，例1 如图，COAB于点O，AOECOF，则射AOCBOCBODAOD90解：射线OE，OF互相垂直理由如下：2知识点知识点垂线的画法垂线的画法用三角尺画垂线的方法：用三角尺画垂线的方法：一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；三画，画出垂线三画，画出垂线 如果作
12、线段互相垂直或作射线的垂如果作线段互相垂直或作射线的垂线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部分在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长分在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长线上，并记上直角符号线上，并记上直角符号“”合作探究合作探究注意：注意：画垂线也可用以下两种方法：画垂线也可用以下两种方法：(1)利用量角器画；利用量角器画；(2)用折叠法画用折叠法画 例例3 如图，如图，M是三角形是三角形ABC中中BC边上的任意一点，请边上的任意一点，请
13、 你按照下列要求画图：你按照下列要求画图：(1)过过M点画直线点画直线AB的垂线的垂线m；(2)过过M点画直线点画直线BC的垂线的垂线n；(3)过过M点画直线点画直线AC的垂线的垂线p.导引：导引：观察图形不难看出，观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画属于过直线外一点画 已知直线的垂线，已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知属于过直线上一点画已知 直线的垂线，所以按照直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画一靠、二过、三画”的方法画图即可的方法画图即可 解：解：画出的直线画出的直线m，n，p如上页图如上页图.过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知过已知点画已知直线的垂线，实
14、际上就是过已知点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角是是90.新知小结新知小结过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在在()A这条线段上这条线段上 B这条线段的端点处这条线段的端点处C这条线段的延长线上这条线段的延长线上 D以上都有可能以上都有可能1D巩固新知巩固新知3知识点知识点垂线的性质垂线的性质探究探究如图如图.(1)用三角尺或量角器画已知直线用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线经过直线l上一点上一点A画画l的垂线，这样的垂线能画
15、出几条？的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线经过直线l外一点外一点B画画l的垂线，这样的垂线能画出几条？的垂线，这样的垂线能画出几条？合作探究合作探究 经过一点经过一点(已知直线上或直线外已知直线上或直线外)，能画出已知直，能画出已知直线的一条垂线，并且只线的一条垂线，并且只 能画出一条垂线能画出一条垂线.即即 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线垂直.新知小结新知小结A过一点有无数条直线与已知直线垂直解：射线OE，OF互相垂直理由如下：一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：
16、所以OE与OF互相垂直(垂直定义)AOCBOCBODAOD90(2)在图中，过点A，B分别作OB，OA的垂线与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知解：因为OECD，所以DOE90(垂直定义)依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分AOC，ONOM.国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的三画，画出垂线 如果作线段互相垂直或作射线的垂AOCBOCBODAOD90如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分AOC，ONOM.所在的直线的垂线，因为射线
17、和线段都是直线的一部由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且使已知点落在另一条直角边上(2)在图中，过点A，B分别作OB，OA的垂线若AOM35，则CON的度数为()过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知AOCBOCBODAOD90系，其实质是说明OE，OF是与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？解：射线OE，OF互相垂直理由如下：的方法画图即可当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？解：射线OE，OF互相垂直理由如下：如图，已知点O在直线AB上，CODO于点O，若1145，则3的度数为()【中考德宏州】如图，三条直线相交于点O，线OE，OF是什么位置
18、关系？请说明理由世界宣告中华人民共和国诞解：因为OECD，所以DOE90(垂直定义)认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.如图，已知点O在直线AB上，CODO于点O，若1145，则3的度数为()过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；所以AOECOECOFCOE，因为OD平分BOF，C在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已点在一条直线上转化为说明AOECOF(已知)了直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件:其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点；其中，一点可以是直线上一点也可以是直线
19、外一点；“有且只有有且只有”中的中的“有有”是指能画出一条已知直线的是指能画出一条已知直线的垂线，即存在性，垂线，即存在性，“只有只有”是指只能画一条，即唯是指只能画一条，即唯一性一性例例4厦门厦门如图，已知直线如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内，在同一平面内，若若ABl，垂足为，垂足为B，CBl，垂足也为，垂足也为B，则符合，则符合 题意的图形可以是题意的图形可以是()C合作探究合作探究C在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已点在一条直线上解：射线OE，OF互相垂直理由如下：与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？所以AOECOECOFCOE，用三角尺的一条直角边靠在已知直线上例
20、3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？两条直线相交成直角；用三角尺的一条直角边靠在已知直线上线OE，OF是什么位置关系？请说明理由以下几个方面由学生自己总结:用三角尺的一条直角边靠在已知直线上三画，画出垂线 如果作线段互相垂直或作射线的垂50，求AOC，EOF和AOF的度数两条直线相交成直角；线的一条垂线，并且只 能画出一条垂线.C这条线段的延长线上如图，如果直线ON直线a，直线OM直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是()B在同一平面内，过两点有且只解：因为OECD，所以DOE90(垂直定义)例1 如
21、图，COAB于点O，AOECOF，则射导引：导引：根据题意可知，过点根据题意可知，过点B有有AB，CB都与直线都与直线l垂直，垂直，由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直，所以只有一条直线与已知直线垂直，所以A、B、C三三 点在一条直线上点在一条直线上利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：1.在平面内；在平面内；2.过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；3.相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可相交所成的角必
22、须是直角，以上三条缺一不可.新知小结新知小结在同一平面内，下列语句正确的是在同一平面内，下列语句正确的是()A过一点有无数条直线与已知直线垂直过一点有无数条直线与已知直线垂直B和一条直线垂直的直线有两条和一条直线垂直的直线有两条C过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D若两直线相交，则它们一定垂直若两直线相交，则它们一定垂直1C巩固新知巩固新知如图，如果直线如图，如果直线ON直线直线a，直线，直线OM直线直线a，那么那么OM与与ON重合重合(即即O，M，N三点共线三点共线)，其理，其理由是由是()A两点确定一条直线两点确定一条直线B在同一平面内，过两点有且只在
23、同一平面内，过两点有且只 有一条直线与已知直线垂直有一条直线与已知直线垂直C在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直知直线垂直D两点之间，线段最短两点之间，线段最短2C 以下几个方面由学生自己总结以下几个方面由学生自己总结:垂线的定义及垂直的符号表示垂线的定义及垂直的符号表示;垂线的有关性质垂线的有关性质;过一点作已知直线的垂线的方法过一点作已知直线的垂线的方法.1知识小结知识小结归纳新知归纳新知(1)在图在图中，过中，过AB外一点外一点M作作AB的垂线；的垂线；(2)在图在图中，过点中，过点A，B分别作分别作OB，OA的垂线的垂线2易错小结易错小结解：解：(1)如图所示如图所示(2)如图如图所示所示本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或射线上射线上易错点：易错点：误认为垂足一定要在线段或射线上而导致误认为垂足一定要在线段或射线上而导致 错误错误.互相垂直互相垂直ABCDAOCBOCBODAOD90课后练习课后练习BCBD用三角尺的一条直角边靠在已知直线上用三角尺的一条直角边靠在已知直线上使已知点落在另一条直角边上使已知点落在另一条直角边上过已知点画出与已知直线垂直的直线过已知点画出与已知直线垂直的直线C有且只有有且只有上上存在存在唯一唯一DB【答案答案】A再见再见
