1、离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差习题课习题课要点梳理要点梳理1.1.若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为 X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n(1)(1)均值均值 称称E E(X X)=_ )=_ 为随机变量为随机变量X X的均的均值或值或_._.它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的_._.x x1 1p p1 1+x x2 2p p2 2+x xi i p pi i+x xn n p pn n数学期望数学期望平均水平平均水平平均偏离程度平均偏离程度()D X算
2、数平方根2.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()(其中其中_为随机变量为随机变量X的标准差的标准差.(2)方差方差称称D(X)=为随机变量为随机变量X的方差的方差,它刻画了随机变量它刻画了随机变量X与其均值与其均值E(X)的的_注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值于均值。XDX为标准差3.3.均值与方差的性质均值与方差的性质 (1)
3、(1)E E(aXaX+b b)=_.)=_.(2)(2)D D(aXaX+b b)=_.()=_.(a a,b b为常数为常数)4.4.两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差 (1)(1)若若X X服从两点分布服从两点分布,则则E E(X X)=)=p p,D D(X X)=_.)=_.(2)(2)若若XBXB(n n,p p),),则则E E(X X)=_,)=_,D D(X X)=_.)=_.aEaE(X X)+)+b ba a2 2D D(X X)p p(1-(1-p p)npnp(1-(1-p p)npnp2离散型随机变量方差的性质有哪些特例？它们各有什么含义？
4、对方差的性质D(aXb)a2D(X)来说，有以下特例(1)当a0时，D(b)0，即常数的方差为零(2)当a1时，D(Xb)D(X)，即随机变量与常数之和的方差，等于这个随机变量方差本身(3)当b0时，D(aX)a2D(X)即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这随机变量方差的乘积1给出下列四个命题：离散型随机变量的均值E()反映了取值的平均值；离散型随机变量的方差D()反映了取值的平均水平；离散型随机变量的均值E()反映了取值的平均水平；离散型随机变量的方差D()反映了取值偏离于均值的平均 程度则正确命题应该是()ABC D解析：由方差和均值的意义知选D.答案：D 答案：A 已知随机变
5、量的分布列为题后感悟(1)求离散型随机变量X的方差的基本步骤：(2)对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(ab)a2D()，这样处理既避免了求随机变量ab的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程(3)若B(n，p)，则D()np(1p)，若服从两点分布，则D()p(1p)，其中p为成功概率，应用上述两条可大大简化解题过程练练1.1.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中任取从中任取 3 3件件,若若表示取到次品的个数表示取到次品的个数,则则E E()=_.)=_.解析解析 的取值为的取值为0,1,2,3,0,1,2,3
6、,则则.)(.CC)(;CCC)(;CCC)(;CC)(4314013709270331281101401370927033128110316343162411231614212316312 EPPPP43 2.某运动员投篮的命中率为某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数求一次投篮时命中次数的均值的均值;方差方差;(2)求重复求重复5次投篮时次投篮时,命中次数命中次数的均值与方差的均值与方差.(1)投篮一次，命中次数投篮一次，命中次数的分布列为：的分布列为：01P0.40.6则则E=00.4+10.6=0.6,D=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.
7、(2)重复重复5次投篮，命中次数次投篮，命中次数服从二项分服从二项分布，即布，即B(5,0.6)，故故E=50.6=3.D=50.60.4=1.2.求离散型随机变量的均值和方求离散型随机变量的均值和方差，首先应明确随机变量的分布列差，首先应明确随机变量的分布列.设是一个离散型随机变量，其分布列如下：求q的值，并求E、D.的分布列为：3.(2009(2009湖南理湖南理,17),17)为拉动经济增长为拉动经济增长,某市决某市决 定新建一批重点工程定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分这三类工程所含
8、项目的个数分 别占总数的别占总数的 有有3 3名工人独立地从中任选一名工人独立地从中任选一 个项目参与建设个项目参与建设.(1)(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)(2)记记 为为3 3人中选择的项目属于基础设施工程或产人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数业建设工程的人数,求求 的分布列及数学期望的分布列及数学期望.,61,31,21二项分布二项分布解解 记第记第i i名工人选择的项目属于基础设施工程、民名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件生工程和产业建设工程分别为事件A Ai i、B Bi
9、i、C Ci i,i i=1,2,=1,2,3.3.由题意知由题意知A A1 1,A A2 2,A A3 3相互独立相互独立,B B1 1,B B2 2,B B3 3相互独立相互独立,C C1 1,C C2 2,C C3 3相互独立相互独立,A Ai i,B Bj j,C Ck k(i i、j j、k k=1,2,3=1,2,3且且i i,j j、k k 互不相同互不相同)相互独立相互独立,且且.)(,)(,)(613121321 CPBPAP(1)(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率他们选择的项目所属类别互不相同的概率P P=3=3！P P(A A1 1B B2 2C C3 3)=)=
10、6P6P(A A1 1)P P(B B2 2)P P(C C3 3).616131216,),(3313且且B1313E233EEE(2)设设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知由已知,4.4.某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5 5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为概率均为 ，且每个问题的解答互不影，且每个问题的解答互不影响响(1)(1)求该同学答对问题的个数求该同学答对问题的个数 的期望与方差；的期望与方差；(2)(2)设答对一个题目得设答对一个题目
11、得1010分，否则扣一分，求该分，否则扣一分，求该同学得分同学得分 的期望与方差的期望与方差 5.5.袋中有相同的袋中有相同的5 5个球个球,其中其中3 3个红球个红球,2,2个黄球个黄球,现从现从 中随机且不放回地摸球中随机且不放回地摸球,每次摸每次摸1 1个，当两种颜色的个，当两种颜色的 球都被摸到时球都被摸到时,即停止摸球即停止摸球,记随机变量记随机变量为此时已为此时已 摸球的次数摸球的次数,(1)(1)随机变量随机变量的概率分布列；的概率分布列；(2)(2)随机变量随机变量的数学期望与方差的数学期望与方差.解解 (1)(1)随机变量随机变量可取的值为可取的值为2,3,4,2,3,4,所
12、以随机变量所以随机变量的概率分布列为：的概率分布列为：;101CCCCCA)4(;103CCCCACA)3(;53CCCCC)2(121314151233131415122313221415121312PPP2 23 34 4P P53103101(2)(2)随机变量随机变量的数学期望的数学期望随机变量随机变量的方差的方差;2510141033532)(E.)()()()(20910125410325353252222 D6.6.某地区试行高考考试改革某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行在高三学年中举行5 5次次 统一测试统一测试,学生如果通过其中学生如果通过其中2 2次测试即可获得足够次
13、测试即可获得足够 学分升上大学继续学习学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试不用参加其余的测试,而每而每 个学生最多也只能参加个学生最多也只能参加5 5次测试次测试.假设某学生每次通假设某学生每次通 过测试的概率都是过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当每次测试时间间隔恰当,每次每次 测试通过与否互相独立测试通过与否互相独立.(1)(1)求该学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；(2)(2)如果考上大学或参加完如果考上大学或参加完5 5次测试就结束次测试就结束,记该生参记该生参 加测试的次数为加测试的次数为X X,求求X X的分布列及的分布列及X X的数学期望的数学期望.,31解解 (
14、1)(1)记记“该学生考上大学该学生考上大学”为事件为事件A A，其对立事，其对立事 件为件为 (2)(2)参加测试次数参加测试次数X X的可能取值为的可能取值为2,3,4,5.2,3,4,5.)()(C)(,)()(C)(,243131323231132323154155415 APAPA 则则.)()(C)(;)(C)(;C)(;)()(2716323231527431323142743132313913124314213122 XPXPXPXP故故X X的分布列为：的分布列为：答答 该生考上大学的概率为该生考上大学的概率为 所求数学期望是所求数学期望是X X2 23 34 45 5P P
15、912742742716.9382716527442743912)(XE.938,2431311.甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：解：9,921 EXEX8.0,4.021 DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多平均得分差别不会很大，但甲通常
16、发挥比较稳定，多数得分在数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。环。题型三题型三 均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用问题问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题问题2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？问题问题3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49,921 EXEX8.0,4.
17、021 DXDX2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：如下信息：甲单位不同职位月工甲单位不同职位月工资资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概获得相应职位的概率率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工乙单位不同职位月工资资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概获得相应职位的概率率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：1400,140021 EXEX1240000,160000DXDX因为因为EX1=EX2，DX
18、1 DX2，所以两个单位所以两个单位工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。这样，如果你希望不同职位的工资差距小一这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大些，就选择乙单位。工资差距大些，就选择乙单位。从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定从至少完成方差考察甲较稳定从至少完成2 2题的概率考察，题的概率考察，甲通过的可能性大因此可以判断甲
19、的实验操作甲通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强能力较强 (2)(2)设设 表示表示1010万元投资乙项目的收益，则万元投资乙项目的收益，则 的分布列为：的分布列为：22P基础自测基础自测1.1.已知已知 的分布列的分布列 则在下列式子中：则在下列式子中：正确的个数是正确的个数是 ()()A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B.1 C.2 D.3-1-10 01 1P P213161.31)0(P;2723)(;31)(DE解析解析 答案答案 C C.,9561)311(31)310(21)311()(.,3161121)1()(222正确由分布列知不正确故正确故DE2.2.若随
20、机变量若随机变量X X的分布列如表的分布列如表,则则E(X)E(X)等于等于 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由分布列的性质由分布列的性质,可得可得2 2x x+3+3x x+7+7x x+2+2x x+3+3x x+x x=1,=1,E E(X X)=0)=02 2x x+1+13 3x x+2+27 7x x+3+32 2x x+4+43 3x x+5+5x x=40=40 x x=X X0 01 12 23 34 45 5P P2 2x x3 3x x7 7x x2 2x x3 3x xx x18191920209.181x.920C3.3.设随机变量设随机变量 则则
21、()()A.A.n n=8,=8,p p=0.2 B.=0.2 B.n n=4,=4,p p=0.4=0.4 C.C.n n=5,=5,p p=0.32 D.=0.32 D.n n=7,=7,p p=0.45=0.45 解析解析,28.1)(,6.1)(),(DEpnB且.2.0,8,28.1)1()(,6.1)(),(pnpnpDnpEpnBA4.4.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中有放从中有放 回地任取回地任取3 3件件,若若X X表示取到次品的次数表示取到次品的次数,则则D D(X X)=)=_._.解析解析.16943413)(),41
22、,3(XDBX1691.1.从从4 4名男生和名男生和2 2名女生中任选名女生中任选3 3人参加演讲比赛人参加演讲比赛,设设随机变量随机变量X X表示所选表示所选3 3人中女生的人数人中女生的人数.(1)(1)求求X X的分布列的分布列;(2)(2)求求X X的数学期望和方差的数学期望和方差;(3)(3)求求“所选所选3 3人中女生人数人中女生人数X X1”的概率的概率.超几何分布超几何分布在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数的期望和方差的分布列为由定义知：E()0.2(1234
23、5)3，10分D()0.2 (22 12 02 12 22)2.12分12345P0.20.20.20.20.2练练2.2.(2009(2009上海理，上海理，7)7)某学校要从某学校要从5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中选出中选出2 2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望则数学期望 E E()=_()=_(结果用最简分数表示结果用最简分数表示).).解析解析 的可能取值为的可能取值为0,1,2,0,1,2,.7422111211002110)(,211CC)2(,2110CCC)1(,2110CC)0(27222712152725EPPP74
