1、5.4.3 正 切 函 数 的 性 质 正 切 函 数 的 性 质与 图 象与 图 象|正切函数的性质与图象函数y=tan x图象定义域 值域实数集R 周期性是周期函数,最小正周期是 奇偶性 奇 函数单调性在每一个开区间 (kZ)上都是 增函数 图象的对称性图象是中心对称图形,对称中心的坐标为 ,0 (kZ),没有对称轴x x,kZ2k,22kk2k1.正切函数的定义域和值域都是R.()提示:正切函数的定义域不是R.2.正切函数的图象是连续不断的.()提示:正切函数的图象在定义域上不是连续的.3.函数y=tan x在其定义域上是增函数.()提示:y=tan x在区间(kZ)上是增函数,但在其定
2、义域上不是增函数.4.函数y=tan x为奇函数,故对任意xR都有tan(-x)=-tan x.()提示:当x=+k(kZ)时,tan x没有意义,此时式子tan(-x)=-tan x不成立.5.正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是x=k,kZ.()提示:正切函数的图象没有对称轴.,22kk22判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|正切函数有关的定义域、值域1.(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了满足函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x+k,kZ.(2)求正切型函数y=Atan(x+)(A0,0)的定义域时,要将x+视为一个整体,令x+k+,kZ,解
3、得x.2.求与正切函数有关的函数的值域时,要注意函数的定义域,在定义域内求值域;对于求由正切函数复合而成的函数的值域时,常利用换元法,但要注意新元的范围.22(1)求函数y=3tan的定义域;(2)求函数y=tan2x-2tan x的值域.64x|3x思路点拨(1)把-看作一个整体,借助正切函数的定义域求解;(2)换元,将原函数转化为二次函数求解.64x解析 (1)令-+k,kZ,得x-4k,kZ,即函数的定义域为xx-4k,kZ.(2)令u=tan x,因为|x|,所以由正切函数的图象(如图)知u-,64x24343333所以原函数可化为y=u2-2u,u-,因为该二次函数的图象开口向上,对
4、称轴方程为u=1,所以当u=1时,ymin=12-21=-1,当u=-时,ymax=3+2,所以原函数的值域为-1,3+2.333332|正切函数单调性的应用 正切型函数y=Atan(x+)(A0,0,是常数)的单调区间的求法若0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令k-x+k+,kZ,解得x的取值范围即为原函数的增区间.若0,可利用诱导公式先把y=Atan(x+)转化为y=Atan-(-x-)=-Atan(-x-),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的取值范围即为原函数的减区间.22 利用正切函数的单调性比较大小利用正切函数的单调性
5、比较两个正切值的大小,其基本步骤如下:(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;(2)运用单调性比较大小.利用正切函数的单调性比较正切值的大小时,要注意正切函数的单调区间,不可盲目利用单调性求解,要观察各角是否在同一单调区间内.求下列函数的单调区间.(1)y=tan;(2)y=3tan.23x124x思路点拨若x的系数是负数,则先转化已知解析式,将化为正数,然后根据正切函数的单调性建立不等式求解.解析 (1)令-+k2x-+k(kZ),得-+x+(kZ).函数y=tan 在区间-+,+(kZ)上单调递增.(2)y=3tan=-3tan,由k-x-k+,kZ,得2k-x2k+,kZ
6、,故y=3tan在区间,kZ上单调递减.232122k5122k23x122k5122k124x124x21242232124x32,222kk比较下列各组数的大小:(1)tan与tan;(2)tan 126与tan 496.275解析 (1)y=tan x在上是增函数,-,tantan.(2)tan 496=tan 136,当90 x13612690,tan 136tan 126,即tan 496tan 126.,2 2 227522753|正切函数的图象与性质的应用1.掌握正切函数的图象是解决正切函数综合问题的关键,正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x=+k,kZ所隔开的无穷多支形状相同的
7、曲线组成的,且每支曲线从左至右均上升,正切曲线是中心对称图形,kZ均是正切曲线的对称中心.2.正切函数y=tan x的最小正周期是,函数y=Atan(x+)(A0)的周期T=.2,02k|设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;(2)解不等式-1f(x)1.23x解析 (1)由-+k(kZ),得x+2k(kZ),所以f(x)的定义域是.最小正周期T=2.由-+k-+k(kZ),得-+2kx+2k(kZ).所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ),无单调递减区间.由-=(kZ),得x=k+(kZ),故函数f(x)的对称中心是(kZ).(2)分别令-=0,-,-,得x=,-,函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右2x32535|2,Z3x xkk|1222x3235352,233kk2x32k232,03k2x344222367635323x2,03l 两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期 内的简图(如图).l 在该周期内-1f(x)1的解集为,故不等式-1f(x)1的解集为,kZ.3535,337,6672,266kk
