1、对数函数的概念对数函数的图象和性质一般地,函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+).1|对数函数的概念2|对数函数的图象与性质底数a10a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.3|反函数1.函数y=log2(2x)是对数函数.()2.若函数y=ax(a0,且a1)在R上是增函数,则函数y=logax在(0,+)上也是增函数.()提示:因为函数y=ax(a0,且a1)在R上是增函数,所以a1,所以y=
2、logax在(0,+)上也是增函数.3.函数y=ax(a0,且a1)与y=logax(a0,且a1)的图象关于直线y=x对称.()4.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+).()提示:由对数式log3(x+1)的真数x+10可得x-1,所以函数的定义域为(-1,+).判断正误，正确的画“”，错误的画“”.5.函数y=logax+1(a0,且a1)的图象过定点(1,1).()提示:因为对数函数y=logax的图象过定点(1,0),所以函数y=logax+1的图象过定点(1,1).1|对数函数的图象及其应用1.对数型函数图象过定点问题求函数y=m+logaf(x)(a0,且a1)的图象所过
3、定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定点为(x,m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.3.函数图象的变换规律(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.已知a0,且a1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是(B)思路点拨可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象
4、的影响,也可根据图象的位置结合单调性来判断.解析解法一:若0a1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.解法二:曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C;y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B.设a,b是关于x的方程|lgx|=c的两个不同实数根,且ab10,则abc的取值范围是(0,1).思路点拨根据题意作出函数y=|lgx|的图象和直线y=c,观察图象即可求解.解析由题意知,在x(0,10)上,函数y=|lgx|的
5、图象和直线y=c有两个交点,作出函数y=|lgx|的图象与直线y=c,如图所示,结合图象可知,|lga|=|lgb|=c,又ab10,-lga=lgb=c,ab=1,0c0,且a1)中应首先保证f(x)0;(2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.2.求对数型函数值域的常用方法(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义域、性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=mf(logax)2+nf(logax)+c(m0,a0,且a1)时,可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(
6、或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.(4)换元法:求形如y=logaf(x)(a0,且a1)的函数值域的步骤:换元,令u=f(x),利用函数的图象和性质求出u的范围;利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.(1)求函数f(x)=lo(x2+2x+3)的值域;(2)求函数y=(lox)2-lox+5在区间2,4上的最大值和最小值.12g12g1212g思路点拨确定函数的复合形式,由定义域求中间变量范围,由中间变量范围求函数值域.解析(1)f(x)=lo(x2+2x+3)=lo(x+1)2+2,因为(x+1)2+22,所以lo(x+1)2+2lo2=-1,所以函数f(x)的值
7、域是(-,-1.(2)因为2x4,所以lo2loxlo4,即-1lox-2.设t=lox,则-2t-1,所以y=t2-t+5,其图象的对称轴为直线t=,因此y=t2-t+5在-2,-1上单调递减,所以当t=-2,即x=4时,ymax=10;当t=-1,即x=2时,ymin=.12g12g12g12g12g12g12g12g12g121412132易错警示解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免因不求定义域导致解题错误.3|与对数函数有关的复合函数的单调性求复合函数的单调性要抓住两个要点:(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0a
8、0得x4,即x(-,-2)(4,+),令t=x2-2x-8,则y=lnt(t0),且y=lnt是增函数,又t=x2-2x-8在(4,+)上单调递增,在(-,-2)上单调递减,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+),故选D.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a0).(1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.解析(1)设t(x)=3-ax,a0,t(x)=3-ax为减函数,当x0,2时,t(x)的最小值为3-2a,当x0
9、,2时,f(x)恒有意义,即x0,2时,3-ax0恒成立,3-2a0,a0,且a1,实数a的取值范围是(0,1).3231,2(2)假设存在这样的实数a.由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.f(x)在区间1,2上为减函数,y=logat在区间1,2上为增函数,a1.又x1,2时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),即无解.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1.320,log(3)1,aaa3,23,2aa易错警示解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同增异减”原则判断函数的单调性
10、.4|如何比较对数值的大小比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同,找中间量.(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.设a=log2,b=log3,c=lo,则a,b,c的大小关系是(B)A.cbaB.cabC.acbD.abc324313g14思路点拨不同底的对数比较大小时,可以找中间值0,1等比较.解析a=log23-1,b=log34-1,c=lo=lo4-1=log34,log23=lo33=log827,log34=lo42=log916,由log82
11、7log927log916,得log23log34,log23-1log34-1,即ab.log23log24=2,log23-1log33=1,log34log23-1,即ca,cab,故选B.13g1413g32g23g对数不等式的类型及解题方法(1)形如logaf(x)logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0ab的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借助函数y=logax的单调性求解;(3)形如logf(x)alogg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图象求解.5|如何解对数不等式解下列关于x的不等式:(1)loga(2x-5)loga(x-1);(2)logx1.12思路点拨根据对数函数的单调性和定义域建立不等式(组)求解.解析(1)当a1时,原不等式等价于解得x4.当0a1时,原不等式等价于解得x1时,原不等式的解集为x|x4;当0a1时,由logxlogxx,解得0 x,所以此时无解;当0 xlogxx,解得x,所以此时x1.综上,原不等式的解集为.250,10,251,xxxx 250,10,251,xxxx 525|42xx12121212121,12
