1、 1954 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1甲、化简.)()()( 3 1 7 2 1 2 1 312 2 3 babba 解：原式=.)()( 3 2 3 1 02 3 1 2 7 2 3 2 1 2 2 3 ababbaba= 乙、解cbaxlglg2lg 3 1 lg 6 1 += 解略：x=a 2b12c6. 丙、用二项式定理计算（3.02） 4，使误差小于千分之一 奎屯 王新敞 新疆 . ,001. 0 ) 100 2 () 100 2 (34) 100 2 (36 100 2 343 100 2 3)02. 3( : 432234 4 4 千分
2、之一 其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于 解+= += .182.830216. 016. 281)02. 3( 4 =+= 丁、 试证直角三角形弦上的半圆的面积， 等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和 奎屯 王新敞 新疆 证：由 c 2 = a 2+b2 奎屯 王新敞 新疆 弦上半圆的面积= 22 22 2 22 1 22 1 42 1 22 1 + = + = babac =勾上半圆的面积+股上半圆的面积 奎屯 王新敞 新疆 戊、已知球的半径等于 r，试求内接正方形的体积 奎屯 王新敞 新疆 解：内接正方体的中心即该球的球心 奎屯 王新敞 新疆正方体过中心的对角线为
3、该球 的直径，故其长为 2r 奎屯 王新敞 新疆若设内接正方体的边长为a，则有 3a 2=4r2， .3 9 8 3 3 2 .3 3 2 3 3 3 rra ra = = = 内接正方体的体积 己、已知a是三角形的一边，及是这边的两邻角，试求另一 边 b 的计算公式 奎屯 王新敞 新疆 解：由正弦定理可知 . )sin( sin )(180sin sin , sin)(180sin + = = aa b ba 2.描绘 y=3x 2-7x-1 的图象，并按下列条件分别求 x 的值所在的范围： 1）y0， 2）y0 奎屯 王新敞 新疆 ). 12 61 ( 3 1 ) 6 7 ( : 2 +=
4、yx 将原方程变形可得解 ). 12 61 , 6 7 (,抛物线顶点为于是 )0 , 6 617 (,)0 , 6 617 (: + NMx轴的交点为与 )., 6 617 (), 6 617 ,(,0+ + 的值所在范围为时当xy ). 6 617 , 6 617 (,0 + 的值所在范围为时当xy 3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的 外公切线相切 奎屯 王新敞 新疆 证：设O1及O2为互相外切之二圆，其一外公切线为 A1A2，切点为 A1及 A2令点 O 为连心线 O1O2的中点，过 O 作 OAA1A2 奎屯 王新敞 新疆 OA= 2 1 （O1A1+O2A2）
5、= 2 1 O1O2， 以 O1O2为直径，即以 O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线 A1A2相切 奎屯 王新敞 新疆 同理可证，此圆必切于O1及O2的另一条外公切线 奎屯 王新敞 新疆 Y M O N X ) 12 61 , 6 7 ( 4试由.,2sin1 1 1 通值求的 xx tgx tgx += + )(0sin 4 , 1, 0sincos, 0sin)sin(cos2 0)sincos1)(sin(cos )sin(cos sincos sincos : 2 2 22 2 为整数或者 即或者所以 解 kkxxkx tgxxx xxx xxxx xx xx xx = = =+ =
6、+ =+ += + 由检验可知，均为其通解 奎屯 王新敞 新疆 5有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设 a 是圆锥的 全面积，a是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值 奎屯 王新敞 新疆 解：设直圆锥的高为 h，底面半径为 R，母线长为 L，则 , )(2)(2 )( hR LR hRR LRR a a + + = + + = .2)2( ),()(2 , ).()(2 22 2222 22 ahLahLaa LhLahhLa hLR LRahRa = +=+ = +=+ 代入可得由 , .21)2( , 2 等式两边平方 可得两边同除以 L h aa L h aa L = A2
7、A A1 O1 O O2 . )2(4 )2()2(22 )2(4 2 )2()2(44 )48(2 )2(164 :, , 0)2(16)4)(48(4)4( . 0)4(4)48( ,441)44( 22 2222 3 32222 2 2 22 2 22 2 22 aaa aaaaaaa aaa aaaaaaa aaaa aaaaa L h aaaaaaaaaaaa L h aaa L h aa L h aaaa L h a L h aaa L h aaaa + = + = + = =+= =+ + + = + 母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个 式的一元二次方程的判别这个关于
