1、 1965 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积 奎屯 王新敞 新疆 解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为a2 奎屯 王新敞 新疆 底面边长为a，故底面积 2 3 2 3 aS = 棱锥的高,3ah = 故正六棱锥的体积 . 2 3 3 2 33 3 1 3 1 3 2 a aaShV = = 2在 A 处的甲船测得乙船在北偏西 8449的 B 处，以速度 22 里/小时向正北方向行驶，甲船立即从 A 处 出发，以速度 26 里/小时向北偏西度的方向沿直线驶去追赶乙船， 问是多大角度时，经过一段时间甲船能够在
2、某 C 处恰好与乙船相 遇？（lg2.2=0.3424,lg2.6=0.4150) 解：设经过 x 小时后，甲船在 C处追上以 船，则 BC=22x（里） AC=26x（里） 由正弦定理 a2 a C 北 B 8449 西 A .33951408449 ,51408449 ,8104.126lg 8449sinlg22lg)8449sin(lg , 26 8449sin22 )8449sin( )8449180sin( 26 )8449sin( 22 , sinsin = = = += = = = 取对数得 即 xx ABC AC CAB BC 3把地球看作半径为 R 的球，设 A、B 两地纬
3、度相同，都是度，它们的经度相差度 )1800(，求 A、B 两地之间的球面距离 奎屯 王新敞 新疆 解：A、B 两地之间的球面距离为过 A、B 所作之大圆的圆弧 AB 的长， 设其长为 L，且设=AOB 过 A、B 作平面 O1ABNS（极轴） ，此平面与球面交成圆 O1 奎屯 王新敞 新疆设其半径 为 r，由已知，AO1B= 奎屯 王新敞 新疆 设 C、 D 分别为赤道平面上与点 A、 B 同经度之两点， 则由已知， AOC= BOD= 奎屯 王新敞 新疆在过 A、B 的大圆上有 180 R L = 由此可知，只需求出即可 奎屯 王新敞 新疆 在圆 O1中，线段 AB=, 2 sin2 r
4、又在过 A、C 的大圆中，因 OO1A=90 0，OAO 1=，所以 cosRr = 代入上式，可得线段 AB=. 2 sincos2 R 在AOB 中，线段 AB=, 2 sin2 R 于是可得 2 sin2 R=, 2 sincos2 R 所以). 2 sinarcsin(cos2 = N O1 B A O D C S 由此可得 A、B 两地之间的球面距离为 ). 2 sinarcsin(cos 180 2 R L =此处之角度以度为单位 奎屯 王新敞 新疆 4 （1）证明. |sin|2|2sin|xx （x 为任意值） （2）已知 n 为任意正整数，用数学归纳法证明 . |sin|si
5、n|xnnx （x 为任意值） 证： （1）. |cos|sin|2|cossin2|2sin|xxxxx= |sin|2|2sin|, 1|cos|xxx （2）当 n=1 时，结论显然成立 奎屯 王新敞 新疆假设当 n=k 时结论成立，即 . |sin|sin|xkkx 当 n=k+1 时， . |sin| ) 1(|sin|sin| |sin|cos|cos|sin| |sincos|cossin| |sincoscossin|) 1sin(| xkxxk xkxxkx xkxxkx xkxxkxxk +=+ += + +=+ 故当 n 为任意正整数时，结论均成立 奎屯 王新敞 新疆 5
6、已知一点 P 的坐标是（4，-2） ，直线 L 的方程是 y-x+5=0，曲 线 C 的方程是1 4 ) 1( 2 ) 1( 22 = + +yx ，求经过 P 点而与 L 垂直的直线和曲 线 C 的交点的坐标，并画出此题的略图 奎屯 王新敞 新疆 解：曲线 C 是椭圆，中心在（-1，1） ，其长轴平行于 y 轴，短轴平行 于 x 轴（如图） 设直线 L1过点 P（4，-2）且垂直于直线 L 与曲线 C 相交于点 A、B 奎屯 王新敞 新疆L1的方程为 y+2=-(x-4)即 y=-x+2. 欲求 L1与曲线 C 的交点，解方程组 = = = = += = + + . 3 , 1 ; 3 5
7、, 3 1 )2(2 ) 1 (1 4 ) 1( 2 ) 1( 2 2 1 1 22 y x y x xy yx 得 故直线 L1与曲线 C 的交点为).3 , 1(), 3 5 , 3 1 (BA 6当 P 是什么实数时，方程03 2 =+ pxx与方程xx4 2 0) 1(= p有一公共根？ 解：设是它们的公共根，则 = =+ )2(0) 1(4 ) 1 (03 2 2 pa pa 由（1） ， （2）消去 2 ，得 , 03) 4 4 () 4 4 (),1 ()3( )3( 4 4 , 0)4()4( 2 = + + + + = =+ p p p p p p p Pp 得代入将 整理后
8、，得到, 032162 23 =+ppp . 2 , 016, 0)16)(2( 22 = +=+ p ppp 代入（3） ，得 . 3 42 )2(4 = + = Y B y-x-5=0 C A X O P(4,-2) L L1 故当 p=-2 时，方程03 2 =+ pxx与方程xx4 2 0) 1(= p有一公共根 3 奎屯 王新敞 新疆 7已知抛物线,2 2 xy = （1）在抛物线上任取二点 P1（x1，y1） ，P2（x2 ,y2） ，经过线段 P1P2 的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点 P3， 证明P1P2P3的面积为 3 21 | 16 1 yy （2）经过线段 P
9、1P3、P2P3的中点 分别作直线平行于抛物线的轴， 与抛物线依次交于 Q1、Q2，试将 P1P3Q1与 P2P3Q2的面积和用 y1,y2表示出来 奎屯 王新敞 新疆 （3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一 系列的三角形， 由此设法求出线段 P1P2与抛物线所围成的图形的面积 奎屯 王新敞 新疆 解： （1）P1的坐标为（x1，y1） ，P2的坐标为（x2 ,y2） ， P1P2的中点为) 2 , 2 ( 2121 1 yyxx M + 点 P3的横坐标, 8 )( 2 2 21 2 yyy x + =纵坐标 2 21 yy y + = 奎屯 王新敞 新疆 P1P2P
10、3的面积= 1 28 )( 1 1 2 1 21 2 21 22 11 yyyy yx yx + 的绝对值 Y P1 Q1 M2 P3 M1 X O Q2 M3 P2 |)()(24| 16 1 |)( 8 )( 222 | 2 1 |)( 8 )( 2 | 2 1 2 21 2 212121 2 21 21 21 2 1 2 2 2 212 2 1 2 21 21 21 12 1221 yyyyyyyy yy yy yy yyyyyy yy yy yy xx yxyx += + + += + + += |)(| 16 1 2 2121 yyyy= .| 16 1 3 21 yy = （2）P
11、1的坐标为（x1，y1） ， P3的坐标为) 2 , 8 )( ( 21 2 21 yyyy+ ， P1P3的中点为) 4 3 , 16 25 ( 21 2 221 2 1 2 yyyyyy M + ， 点 Q1的横坐标, 32 )3( 2 2 21 2 yyy x + =纵坐标. 4 3 21 yy y + = 同理，点 Q2的横坐标, 32 )3( 2 21 yy x + =纵坐标. 4 3 21 yy y + = P1P3Q1的面积+P2P3Q2的面积 = 1 28 )( 1 4 3 32 )3( 1 2 1 21 2 21 21 2 21 11 yyyy yyyy yx + + 的绝对
12、值+ 1 1 4 3 32 )3( 1 28 )( 2 1 22 21 2 21 21 2 21 yx yyyy yyyy + + 的绝对值 .| 64 1 |)( | 128 1 |)( | 128 1 | )(4)3( 4 )3()(2 8 )3)( )3()(2| 16 1 | )(4)3( 4 )3()(2 8 )3)( )3()(2| 16 1 3 21 2 1221 2 2112 2 21 2 21 2 2121 2121 2121 2 2 2 21 2 21 2 2121 2121 2121 2 2 yy yyyyyyyy yyyy y yyyy yyyy yyyyy yyyy
13、y yyyy yyyy yyyyy = += + + + + + + + += （3）线段 P1P2与抛物线所围成的图形的面积 S=SP1P2P3+（SP1Q2P3+SP3Q2P2）+ .| 12 1 4 1 1 | 16 1 | 256 1 | 64 1 | 16 1 3 21 3 21 3 21 3 21 3 21 yy yy yyyyyy = = += 8附加题附加题 奎屯 王新敞 新疆 （1）已知cba,为实数，证明cba,均为正整数的充要条件是 + + 0 0 0 abc cabcab cba （2）已知方程0 23 =+rqxpxx的三根,都是实数，证明,是 一个三角形的三边的充要
14、条件是 .84 0, 0, 0 3 rpqp rqp 证明： （1）条件的必要性是显然的，因为已知, 0, 0, 0cba 所以立即可得0+cba，0+cabcab，. 0abc 下面证明条件的充分性： 设cba,是三次方程0 23 =+rqxpxx的三个根，则由根与系数的关系 及已知条件有 , 0 , 0 , 0 = += += abcr cabcabq cbap 此即. 0, 0, 0rqp由此即可知三次方程0 23 =+rqxpxx的系数正 负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由0abc可知，方 程无零根，故. 0, 0, 0cba （2） 由 （1） 的证明可知，,均为正数的充
15、要条件是. 0, 0, 0rqp 于是问题转化为证明,为三角形三条边的充要条件为rpqp84 3 条件的必要性： 若,为三角形的三边，则由三角形的性质必有 .,+ 于是. 0, 0, 0+ 由此可得)()(+ 084 )842( 8)(4)(2 )2)(2)(2( )2)(2)(2( 3 33 23 += += += += = rpqp rpqpp ppp ppp ppp 即rpqp84 3 . 条件的充分性：若rpqp84 3 ， 则, 084 3 +rpqp . 0)()( , 0)()( , 0)()()( , 0)()()( , 08)(2)()( , 08)222)( , 08)(4)( 22 22 2223 22 222 3 + + + + + + + 此式中至少有一因式大于 0，今设, 0+则必有 . 0)(+ 如果, 0, 0+两式相加得02 a，即0，此与0相 矛盾 故有, 0+, 0, 0+此即 + + + , , , 此即,可作为一个三角形的三条边 奎屯 王新敞 新疆 综上所证可知， 方程0 23 =+rqxpxx的三根,为一个三角形的三 条边的充要条件是 .84 0, 0, 0 3 rpqp rqp
