1、 1978 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 （理科考生五，六两题选做一题 奎屯 王新敞 新疆文科考生五，六两题选做一题，不要 求做第七题 奎屯 王新敞 新疆） 一 （下列各题每题一 （下列各题每题 4 4 分，五个题共分，五个题共 2020 分）分） 1分解因式：x 2-4xy+4y2-4z2. 解：原式=（x-2y) 2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于 这个正方形边长的直圆柱体的体积 奎屯 王新敞 新疆 解：设底面半径为 r，则底面周长 2r=a 则. 42 , 2 2
2、2 2 a a a ar a r= =体积 3求函数)2lg(xy+=的定义域 奎屯 王新敞 新疆 解： lg(2+x)0,2+x1.故 x-1 为其定义域 奎屯 王新敞 新疆 4不查表求 cos80 0cos350+cos100cos550 的值 奎屯 王新敞 新疆 解：原式=sin10 0cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 2 2 5.化简： 二二 . .（本题满分（本题满分 1414 分）分） 已知方程 kx 2+y2=4，其中 k 为实数 奎屯 王新敞 新疆对于不同范围的 k 值，分别指 . 25 4 : . )() 1 . 0( )4(
3、4 1 2 1 2 1 432 31 2 1 b ba ab = 原式解 出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 奎屯 王新敞 新疆 解：1）k0 时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分 为：k1 时,长轴在 y 轴上，半长轴=2，半短轴= k 2 ; k=1 时,为半径 r=2 的圆; k1 时,长轴在 x 轴上，半长轴= k 2 ，半短轴=2 奎屯 王新敞 新疆 如图： 2)k=0 时，方程为 y 2=4 奎屯 王新敞 新疆图形是两条平行于 x 轴的直线 2=y 如图 奎屯 王新敞 新疆 3）k0 时，方程为 这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在 y 轴上 奎屯
4、王新敞 新疆如图： 三 （本题满分三 （本题满分 1414 分）分） （如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线 MN 切半圆于 C Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 1 4 4 22 =+ y k x 点，AMMN 于 M 点，BNMN 于 N 点，CDAB 于 D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AMBN 1)证：连 CA，CB，则ACB=90 0 奎屯 王新敞 新疆 ACM=ABC ACD=ABC ACM=ACD 奎屯 王新敞 新疆AMC ADC C
5、M=CD 同理 CN=CD 奎屯 王新敞 新疆 CD=CM=CN 奎屯 王新敞 新疆 2）CDAB，ACD=90 0 奎屯 王新敞 新疆 CD 2=ADDB 由 1）知 AM=AD，BN=BD 奎屯 王新敞 新疆 CD 2=AMBN 奎屯 王新敞 新疆 四 （本题满分四 （本题满分 1212 分）分） 1836 18 181818 36 181818 log 9(2),185.log45. :185,log 5. log 5 9log 5log 9 log45. log 18 2log 18log 22 b b a a b ab a = = + = + 已知求 解 五 （本题满分五 （本题满分
6、 2020 分）分） 已知ABC 的三内角的大小成等差数列， tgAtgC=32+求角 A， B， C 的大小 奎屯 王新敞 新疆又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于 34 奎屯 王新敞 新疆求三角形各边a,b,c 的长（提示：必要时可验证324)31 ( 2 +=+） M C N A B D 2 12 :1802.60 ,120 23 (1) tgAtgC(1-tgAtgC)tg(AC)(-1- 3)(3)33. (2) (1) (2)tgA,tgCx(33)230.: 1,23,1,23. 45 , ABCBACBAC tgAtgC x xxACtgAtgC AC +=+=+= =+ +
7、=+=+ += =+=+ = 解又 而 由可知是的两根解这方程得 设则得 1204575 4 34 3 4 3,8;4 6; sin60sin45 cos45cos604 34. cab cADDBba = = = =+=+ =+ 又知 上的高等于 六 （本题满分六 （本题满分 2020 分）分） 222 222242 2 3sin2sin1,:3sincos2 . 3 3sin22sin20,:sin2sin23sincos 2 sin 2cos9sincos9sin9sin1. 1 sin() 3 sin(2 )sincos2cossin2sin(3sin)cos(3sincos) +=
8、= +=+= = +=+=+ 由得 由得 为锐角 22 3sin(sincos)3sin1 . 2 =+= += 七 （本题满分七 （本题满分 2020 分，文科考生不要求作此题）分，文科考生不要求作此题） 已知函数 y=x 2+(2m+1)x+m2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是 0？ 2）求证：不论 m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同 一条直线 L1上 奎屯 王新敞 新疆画出 m=-1、0、1 时抛物线的草图，来检验这个结论 奎屯 王新敞 新疆 3）平行于 L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任 . 2 2: 0,2sin2-3sin2 ,
9、 1sin2sin3,: 22 =+ = =+ 求证 且为锐角已知 一条平行于 L1而与抛物线相交的直线， 被各抛物线截出的线段都相等 奎屯 王新敞 新疆 解：用配方法得： 2 214545 . 244 5 0,450, 4 2145 2.(,), 24 2m 11455 x-, 2244 3 : 4 , mmm yxy mm mm m mym xy mm + =+ += + + = = = = 的极小值为 所以当极值为 时 函数图象抛物线的顶点坐标为 即 二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条 直线 方程中不含因此 不论 是什么值 抛物线的顶点都在这条 222 . 1,0,
10、1, , 115193 () ,() ,(). 424242 mx y yxyxyx = +=+=+=+ 直线上 当时之间函数关系为 图略 3.设 L：x-y=a为任一条平行于 L1的直线 奎屯 王新敞 新疆 与抛物线 y=x 2+(2m+1)x+m2-1 方程联立求解，消去 y，得 x 2+2mx+m2-1+ a=0（x+m) 2=1- a 奎屯 王新敞 新疆 因而当 1-a0 即a1 时，直线 L 与抛物线相交，而a1 时，直线 L 与抛物线不相交 奎屯 王新敞 新疆 而这与 m 无关 奎屯 王新敞 新疆 因此直线 L 被各抛物线截出的线段都相等 奎屯 王新敞 新疆 一九七八年副题 )1
11、(222)1()1( 45, 1 .1,1 .1,1 aamamL L amam Lamxa =+ + = 于被抛物线截出的线段等直线 它的倾斜角为的斜率为因直线 为与抛物线两交点横坐标即直线时当 1 （1）分解因式：x 2-2xy+y2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3) (2)求的值 6 5 cos 4 030sin 2 +ctgtg 解：原式=3/4 奎屯 王新敞 新疆 （4）已知直圆锥体的底面半径等于 1cm，母线的长等于 2cm，求它 的体积 奎屯 王新敞 新疆 解：)( 3 3 121 3 1 322 cmV= .) 3 5 () 9 125 (30) 500
12、1 ()52(10)5( 2 1 2 1 2 1 1 的值计算+ 解：原式=30 奎屯 王新敞 新疆 2已知两数 x1 ,x2满足下列条件： 1）它们的和是等差数列 1，3，的第 20 项; 2）它们的积是等比数列 2，-6，的前 4 项和 奎屯 王新敞 新疆 求根为 21 1 , 1 xx 的方程 奎屯 王新敞 新疆 略解：x1 +x2=39，x1x2=-40 奎屯 王新敞 新疆故：1/x1+1/x2=-39/40 奎屯 王新敞 新疆 1/x11/x2=-1/40 所求方程为：40x 2+39x-1=0. 3.已知：ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点，求证： 为所求之
13、定义域且且解 的定义域求函数 12. 01, 0525: . 1 )525lg( ) 3( + + = xxx x y x x CD BD AC AB ACD ABC = 2 2 的面积 的面积 证：因为 AD 是ABC 的外接圆的切 线，所以 B=1ABDCAD 2 2 AC AB ACD ABC = 的面积 的面积 作 AEBD 于点 E，则 . 2 1 2 1 CD BD AECD AEBD ACD ABC = = 的面积 的面积 4 （如图）CD 是 BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM 与 AB，AC 分别 交于 M 点和 N 点，且BDM= 奎屯 王新敞 新疆 求证：
14、tg atg CN tg atg BM = + = 3 4 , 3 4 证：作 MEDC 于 E，由ABC 是等 边三角形，在直角MBE 中， 13 , 22 3 4 2 ,. 1 3 2 2 BEBM MEBM BM MEatg tgBM EDtg aBM = = + 类似地，过 N 作 NFBC 于 F，在直角NFC 中，可证： tg atg CN = 3 4 5设有 f(x)=4x 4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p0）求证： A 1 B E C D A M N B E F D 1）如果 f(x)的系数满足 p 2-4q-4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是一
15、个二次 三项式的平方 奎屯 王新敞 新疆 2）如果 f(x)与 F(x)=(2x 2+ ax+b) 2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0 奎屯 王新敞 新疆 2 22 4322 22 22222 22 2222 2 22 4 :1)1, 4 44 ( )4442() 44 44 (2x)(4 )(2)() 44 44 (2x)2(2x)() 44 4 (2x) . 4 ( ) pq m pqpq f xxpxqxpx pqpq pxpq xpx pqpq pxpx pq px f x + = =+ =+ =+ = 证 等于一个二次三项 432222 43222 2 22 2
16、 2)4442 (1)(1)(2) 44(4 )2, 44(1) 44(2) 2 (1)2(3) (1)(4) 4 (1)(2) 4 ,(3 xpxqxp mmxaxb xaxab xabxb pa qab p mab mb qp apb a b +=+ =+ = =+ += += = = 式的平方 由可得代入得 将的表达式代入 2 22 4 ),2 (1)2, 4 44(1)0.0,44(1)0. qp p mp p pqmppqm += +=+= 得 6已知：asinx+bcosx =0. Asin2x+Bcos2x=C. 其中a,b 不同时为 0 奎屯 王新敞 新疆 求证：2abA+(b
17、 2- a 2)B+( a 2+b2)C=0 2222 cos,sin: ba a y ba b y + = + =设证 则可写成 cosysinx-sinycosx=0, sin(x-y)=0x-y=k(k 为整数)， x=y+k 又 sin2x=sin2(y+k)=sin2y=2sinycosy= 22 2 ba ab + cos2x=cos2y=cos 2y-sin2y= 22 22 ba ba + 代入，得 22 2222 2222 2() , 2()()0. abAabB C abab abAbaBab C += + += 7已知 L 为过点 P) 2 3 , 2 33 (而倾斜角为
18、 30 0的直线，圆 C 为中心在 坐标原点而半径等于 1 的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0 , 8 2 (的抛 物线 奎屯 王新敞 新疆设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点， B 为 C 和 Q 在第四象限的交点 奎屯 王新敞 新疆 1）写出直线 L、圆 C 和抛物线 Q 的方程，并作草图 奎屯 王新敞 新疆 2）写出线段 PA、圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式 奎屯 王新敞 新疆 3） 设 P 、 B 依次为从 P、 B 到 x 轴的垂足 奎屯 王新敞 新疆求由圆弧 AB 和直线段 BB 、 BP 、PP、PA 所包含的面积 奎屯 王新敞 新疆 解：1）直线 L、圆
19、C 和抛物 线 Q 的方程为 22 2 3 : 3 :1 2 :x 2 L yx C xy Q y = += =草图如图 Y O X B Q L P A C 2)由 22 1 3 3 . 3 2 1 : 33 33 ( ),() 322 yx Ax xy PA f xxx = = += = 解得 点横坐标 线段的函数表达式为 2 22 2 2 3 2 2 . 2 2 1 : 32 ( )1,() 22 : 22 ( ).(0). 22 9 3)3. 8 7 . 24 1 . 4 971 3(). 8244 yx Bx xy AB fxxx OB fxxx POP OAB BOB = = += = = = = = =+ 解得 点横坐标 圆弧的函数表达式为 抛物线上一段的函数表达式为 的面积 扇形的面积 的面积 故所求面积图中阴影部分 Y P B O X B A C Q L P
