1、 1980 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学（文科） 一 （本题满分一 （本题满分 8 8 分）分） 化简. 23 31 i i 解：原式=. 13 7 13 9 i 二 （本题满分二 （本题满分 1010 分）分） =+ =+ = . 123 , 9324 , 532 : yx zyx zyx 解方程组 解略：方程组的解为 = = 3 2 1 z y x 三 （本题满三 （本题满 1010 分）分） 用解析法证明直径所对的圆周角是直角 奎屯 王新敞 新疆 证：将圆的直径 AB 所在的直线取为 X 轴，圆心作为原点，不妨设定 圆的半径为 1，于是圆的方程是
2、 x 2+y2=1. A、B 的坐标是 A（-1，0） 、B（1，0） 奎屯 王新敞 新疆 设 P(x,y)是圆上任一点，则有 y 2=1-x2. PA 的 斜 率 为 1 1 + = x y k， PB 的斜率为 1 2 = x y k， 1 1 1 1 2 2 2 2 21 = = = x x x y kk Y P(x,y) A O B X PAPB，APB 为直角 奎屯 王新敞 新疆 四 （本题满分四 （本题满分 1212 分）分） 某地区 1979 年的轻工业产值占工业总产值的 20%，要使 1980 年 的工业总产值比上一年增长 10%，且使 1980 年的轻工业产值占工业 总产值的
3、 24%，问 1980 年轻工业产值应比上一年增长百分之几？ 解：设 1979 年的工业总产值为 a，又设 1980 的轻工业产值比上一年 增长 x%，则按题意，1980 年的轻工业产值为 ) 100 24 () 100 10 1 () 100 1 () 100 20 (+=+a x a 解得：x=32 奎屯 王新敞 新疆 答：略 奎屯 王新敞 新疆 五 （本题满分五 （本题满分 1414 分）分） 解： , 2 3 4 , 4 5 4 3 . ) 4 sin( ) 4 sin( ) 4 sin( ) 4 (sin 2 + + + = + + = . 1, 0) 4 sin(= +原式 六 （
4、本题满分六 （本题满分 1616 分）分） ) 4 sin( ) 2 sin()sin( 4 3 sin( 4 cos , 4 5 4 3 + 化简设 ) 4 sin( )cos)(sin 4 sin( 2 2 + + =原式 1 若四边形 ABCD 的对角线 AC 将四边形分成面积相等的两个三角形， 证明直线 AC 必平分对角线 BD 奎屯 王新敞 新疆 2写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？ 证：1 奎屯 王新敞 新疆SABC=SADC， 且ABC 与ADC 有同底 AC， 两高线相等：BE=DF 奎屯 王新敞 新疆 设 AC 与 BD 交于点 O，则 RtBOERtDOF 奎
5、屯 王新敞 新疆OB=OD 奎屯 王新敞 新疆 即 AC 平分 BD 奎屯 王新敞 新疆（若 E、O、F 重合、则已有 BO=BE=DF=DO） 2逆命题：若四边形 ABCD 的对角线 AC 平分对角线 BD，则 AC 必将 四边形分成两个面积相等的三角形 奎屯 王新敞 新疆 这个逆命题是正确的 奎屯 王新敞 新疆 证明如下：在上图中，由于 OB=OD，BOE=DOF（对顶角） ， BEO=DFO=Rt，BOEDOF 奎屯 王新敞 新疆 BE=DF，即两高线相等 奎屯 王新敞 新疆SABC= 2 1 ACBE= 2 1 ACDF=SADC 奎屯 王新敞 新疆 七 （本题满分七 （本题满分 16
6、16 分）分） 如图，长方形框架 ABCD-ABCD 奎屯 王新敞 新疆三边 AB、AD、AA的长分 别为 6、8、3.6，AE 与底面的对角线 BD垂直于 E 奎屯 王新敞 新疆 1证明 AEBD; 2.求 AE 的长 奎屯 王新敞 新疆 解：1,DBAADCBAAA 平面 D A F O E C B ,AEB DB DAA E B DA E 又平面 因此 22 22 2.(2) 6 868 , 4.83.64.86. A BA DA E B DA B D A E A EAE = =+ =+= 都是面积的 倍 八 （本题满分八 （本题满分 1616 分）分） 1把参数方程（t 为参数） = = ,2 ,sec tgty tx 化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图 奎屯 王新敞 新疆 2当 2 3 2 0 tt及时，各得到曲线的哪一部分？ 解：1.利用公式 sec 2t=1+tg2t,得 . 4 1 2 2 y x+= 曲线的直角坐标普通方程为 . 1 4 2 2 = y x图略 奎屯 王新敞 新疆 2当 2 0 t时，x1，y0,得到的是曲线在第一象限的部分（包 括（1，0）点）; 当 2 3 t时，x-1，y0,得到的是曲线在第二象限的部分（包括 （-1，0）点） 奎屯 王新敞 新疆 A D B C A D B E C
