1、 1984 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 （这份试题共八道大题， 满分 120 分 奎屯 王新敞 新疆第九题是附加题， 满分 10 分， 不计入总分） 一 （本题满分一 （本题满分 15 分）本题共有分）本题共有 5 小题，每小题都给出代号为小题，每小题都给出代号为 A，B， C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的的四个结论，其中只有一个结论是正确的 奎屯 王新敞 新疆把正确结论的代号写把正确结论的代号写 在题后的圆括号内在题后的圆括号内 奎屯 王新敞 新疆每一个小题：选对的得每一个小题：选对的得 3 分分;不选，选错或者选出不选，选错或者选出 的代号超过一个的（不论
2、是否都写在圆括号内） ，一律得负的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得负 1 分分 奎屯 王新敞 新疆 1数集X=（2n+1），n是整数与数集Y=（4k1），k是整数之间的关 系是 （ C ） （A）XY （B）XY （C）X=Y （D）XY 2如果圆 x 2+y2+Gx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点，那么（ C ） （A）F=0，G0，E0. （B）E=0，F=0，G0. （C）G=0，F=0，E0. （D）G=0，E=0，F0. 3.如果 n 是正整数，那么) 1() 1(1 8 1 2 n n 的值 （ B ） （A）一定是零 奎屯 王新敞 新疆 （B）一定是偶数 奎
3、屯 王新敞 新疆 （C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数 奎屯 王新敞 新疆 4.)arccos( x大于xarccos的充分条件是 （ A ） （A） 1 , 0(x （B）)0 , 1(x （C） 1 , 0x （D） 2 , 0 x 5如果是第二象限角，且满足,sin1 2 sin 2 cos= 那么 2 （A）是第一象限角 （B）是第三象限角 （ B ） （C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D）是第二象限角 二 （本题满分二 （本题满分 2424 分）本题共分）本题共 6 6 小题，每一个小题满分小题，每一个小题满分 4 4 分分 奎屯 王新敞 新疆只要求只要求 直接
4、写出结果）直接写出结果） 1已知圆柱的侧面展开图是边长为2 与4 的矩形，求圆柱的体积 奎屯 王新敞 新疆 答：. 84 或 2.函数)44(log 2 5 . 0 + xx在什么区间上是增函数？ 答：x-2. 3求方程 2 1 )cos(sin 2 =+xx的解集 奎屯 王新敞 新疆 答：, 12 |, 12 7 |ZnnxxZnnxx+ =+ = 4求 3 )2 | 1 |(|+ x x的展开式中的常数项 奎屯 王新敞 新疆 答：-20 奎屯 王新敞 新疆 5求 13 21 lim + n n n 的值 奎屯 王新敞 新疆 答：0 6要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单
5、，任何两 个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不 必计算） 奎屯 王新敞 新疆 答：!6 4 7 P 三 （本题满分三 （本题满分 1212 分）本题只要求画出图形分）本题只要求画出图形 奎屯 王新敞 新疆 1设 = , 0, 1 , 0, 0 )( x x xH 当 当 画出函数 y=H(x-1)的图象 奎屯 王新敞 新疆 2画出极坐标方程)0(0) 4 )(2(= 的曲线 奎屯 王新敞 新疆 解： 四 （本题满四 （本题满 分分 1212 分）分） 已知三个平面 两两相交，有 三条交线 奎屯 王新敞 新疆求证这三条交线交于一点或互相平行 奎屯 王新敞 新疆 证：设三个
6、平面为，且.,abc= .,=bcbc 从而 c 与 b 或交于一点或互相平行 奎屯 王新敞 新疆 1若 c 与 b 交于一点，设;,.=PccPPbc有且由 aPPbbP=于是有又由., 所以a,b,c 交于一点（即 P 点） 2.若 cb,则 由 acaccb/,./,可知且又由有= 奎屯 王新敞 新疆所以a,b,c 互相平行 奎屯 王新敞 新疆 五 （本题满分五 （本题满分 1414 分）分） 设 c,d,x 为实数，c0，x 为未知数 奎屯 王新敞 新疆讨论方程 1log )( = + x x d cx 在什么情 况下有解 奎屯 王新敞 新疆有解时求出它的解 奎屯 王新敞 新疆 解：原
7、方程有解的充要条件是： 2 4 O 1 2 X 1 Y 1 0 O 1 X P b a c b a c =+ + + (4) )( (3) , 0 (2) , 0 (1) , 0 1 x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+ x d cxx，所以1 2 =+dcx 奎屯 王新敞 新疆再由 c0，可得 . 1 2 c d x = 又由1)(=+ x d cxx及 x0，知0+ x d cx，即条件（2）包含在条件（1） 及（4）中 奎屯 王新敞 新疆 再由条件（3）及1)(=+ x d cxx，知. 1x因此，原条件可简化为以下的 等价条件组： = (6) .
8、1 x (5) 1,x (1) , 0 2 c d x 由条件（1） （6）知. 0 1 c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立： c0,1-d0,即 c0,d1; c0,1-d0,即 c0,d1. 再由条件（1） （5）及（6）可知dc1 从而，当 c0,d1 且dc1时，或者当 c0,d1 且dc1时，原 方程有解，它的解是 c d x = 1 奎屯 王新敞 新疆 六（本题满分六（本题满分1616分）分） 1设0p，实系数一元二次方程02 2 =+qpzz有两个虚数根z1,z2. 再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1， Z2 奎屯 王新敞 新疆求以Z1， Z2为焦点且经过原点的 椭圆的
9、长轴的长 奎屯 王新敞 新疆（7分） 2求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为 2 1 的椭圆的左顶 点的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆（9分） 解：1.因为p,q为实数，0p，z1,z2为虚数，所以 0, 04)2( 22 pqqp 由 z1,z2为共轭复数，知 Z1，Z2关于 x 轴对称， 所以椭圆短轴在 x 轴上 奎屯 王新敞 新疆又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点 奎屯 王新敞 新疆 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的 关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|, 焦距离=2c=|z1-z2|= 2 21 2 21 2|4)(
10、|pqzzzz=+, 长轴长=2a=.22 22 qcb=+ 2.因为椭圆经过点 M（1，2），且以 y 轴为准线，所以椭圆在 y 轴右 侧，长轴平行于 x 轴 奎屯 王新敞 新疆 设椭圆左顶点为 A（x,y），因为椭圆的离心率为 2 1 ， 所以左顶点 A 到左焦点 F 的距离为 A 到 y 轴的距离的 2 1 ， 从而左焦点 F 的坐标为), 2 3 (y x 奎屯 王新敞 新疆 设 d 为点 M 到 y 轴的距离，则 d=1 奎屯 王新敞 新疆 根据 2 1| = d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4) 3 2 (9 ,) 2 1 ()2() 1 2 3 ( 22 222 =+
11、=+ yx y x 即 这就是所求的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 七（本题满分七（本题满分 1515 分）分） 在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a,b,c，且 c=10， 3 4 cos cos = a b B A ，P 为ABC 的内切圆上的动点 奎屯 王新敞 新疆求点 P 到顶点 A，B，C 的 距离的平方和的最大值与最小值 奎屯 王新敞 新疆 解：由 a b B A = cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin2sincossincossin, sin sin cos cos BABBAA A B B A = 因为 AB，所以 2A=-2B，即 A+B= 2 奎屯 王新敞
12、新疆 由此可知ABC 是直角三角形 奎屯 王新敞 新疆 由 c=10，. 8, 60, 0, 3 4 222 =+=babacba a b 可得以及 如图，设ABC 的内切圆圆心为 O ，切点分别为 D，E，F，则 AD+DB+EC=.12)6810( 2 1 =+但上式中 AD+DB=c=10， 所以内切圆半径 r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2) 2+(y-2)2=4 设圆上动点 P 的坐标为 (x,y),则 .48876443 764)2()2(3 100121633 )6()8( | 22 22 222222 222 xx xyx yxyx yxyxyx PC
13、PBPAS =+= += += += += 因为 P 点在内切圆上， 所以 40 x， S最大值=88-0=88， S最小值=88-16=72 奎屯 王新敞 新疆 Y B（0，6） D E O P（x,y) X O C（0，0） A（8，0） 解二：同解一，设内切圆的参数方程为 ),20( sin22 cos22 += += y x 从而 222 |PCPBPAS+= =+ += cos880)sin22()cos22( )4sin2()cos22()sin22()6cos2( 22 2222 因为20，所以 S最大值=80+8=88， S最小值=80-8=72 奎屯 王新敞 新疆 八 （本题
14、满分八 （本题满分 1212 分）分） 设a2，给定数列xn,其中 x1=a,)2 , 1( ) 1(2 2 1 = = + n x x x n n n 求证： 1);2 , 1( 1, 2 1 = + n x x x n n n 且 2);2 , 1( 2 1 2, 3 1 =+ nxa n n 那么如果 3. 3, 3 4 lg 3 lg , 3 1 +n x a na必有时那么当如果 1证：先证明 xn2(n=1,2,）用数学归纳法 奎屯 王新敞 新疆 由条件a2 及 x1=a知不等式当 n=1 时成立 奎屯 王新敞 新疆 假设不等式当 n=k(k1)时成立 奎屯 王新敞 新疆 当 n=
15、k+1 时，因为由条件及归纳假设知 , 0)2(0442 22 1 + +kkkk xxxx 再由归纳假设知不等式0)2( 2 k x成立，所以不等式2 1 +k x也成立 奎屯 王新敞 新疆从 而不等式 xn2 对于所有的正整数 n 成立 奎屯 王新敞 新疆 (归纳法的第二步也可这样证： 2)22( 2 1 2 1 1 ) 1( 2 1 1 =+ += + k kk x xx 所以不等式 xn2(n=1,2,）成立 奎屯 王新敞 新疆） 再证明).2 , 1( 1 1 = + n x x n n 由条件及 xn2(n=1,2,）知 , 21 ) 1(2 1 1 + n n n n n x x
16、 x x x 因此不等式).2 , 1( 1 1 = + n x x n n 也成立 奎屯 王新敞 新疆 （也可这样证：对所有正整数 n 有 . 1) 12 1 1 ( 2 1 ) 1 1 1 ( 2 1 1 = + += + nn n xx x 还可这样证：对所有正整数 n 有 , 0 ) 1(2 )2( 1 = + n nn nn x xx xx所以).2 , 1( 1 1 = + n x x n n ） 2证一：用数学归纳法 奎屯 王新敞 新疆由条件x1=a3知不等式当n=1时成立 奎屯 王新敞 新疆 假设不等式当 n=k(k1)时成立 奎屯 王新敞 新疆 当 n=k+1 时，由条件及2
17、 k x知 , 0) 2 1 2()2( 0) 2 1 2(2) 2 1 2(2 ) 2 1 2)(1(2 2 1 1 1 2 2 1 + + + + k kk k k k k k kk k k xx xx xxx 再由2 k x及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等 式 k k x 2 1 2 1 + + 也成立，从而不等式 1 2 1 2 + n n x对所有的正整数 n 成立 奎屯 王新敞 新疆 证二：用数学归纳法 奎屯 王新敞 新疆证不等式当 n=k+1 时成立用以下证法： 由条件知) 1 1 1( 2 1 1 += + k kk x xx再由2 k x及归纳假设可得 kk
18、 k x 2 1 211) 2 1 2( 2 1 1 1 += + + 3证：先证明若. 4 3 , 3 1 + k k k x x x则这是因为 . 4 3 ) 13 1 1 ( 2 1 ) 1 1 1 ( 2 1 1 = + += + kk k xx x 然后用反证法 奎屯 王新敞 新疆若当 3 4 lg 3 lg a n 时，有, 3 1 +k x则由第 1 小题知 . 3 121 +nn xxxx 因此，由上面证明的结论及 x1=a可得 ,) 4 3 (3 1 2 3 1 2 11 n n n n a x x x x x x xx= + + 即 3 4 lg 3 lg a n ，这与假
19、设矛盾 奎屯 王新敞 新疆所以本小题的结论成立 奎屯 王新敞 新疆 九 （附加题，本题满分九 （附加题，本题满分 1010 分，不计入总分）分，不计入总分） 如图，已知圆心为 O、半径为 1 的圆与直线 L 相切于点 A，一动 点 P 自切点 A 沿直线 L 向右移动时，取弧 AC 的长为AP 3 2 ，直线 PC 与直线 AO 交于点 M 奎屯 王新敞 新疆又知当 AP= 4 3 时，点 P 的速度为 V 奎屯 王新敞 新疆求这时点 M 的 速度 奎屯 王新敞 新疆 解：作 CDAM，并设 AP=x， AM=y，COD= 奎屯 王新敞 新疆由假设， AC 的长为xAP 3 2 3 2 =，
20、半径 OC=1，可知x 3 2 = 奎屯 王新敞 新疆 考虑), 0(x APMDCM， DC DM AP AM = 而 . )43( )843(2 , 4 3 ) 3 2 sin( ) 3 2 cos 3 2 1)( 3 2 cos1 () 3 2 sin 3 2 3 2 cos1)( 3 2 sin( / . 3 2 sin ) 3 2 cos1 ( . 3 2 sin ) 3 2 cos1 ( , 3 2 sin), 3 2 cos1 ( 2 2 2 v dt dy Mv dt dx x dt dx xx xxxxxxxx dtdy xx xx y x xy x y xDCxyDM = = = + = = = 点的速度代入上式得时当 解得 （有资料表明八四年试题为历年来最难的一次） M O 1 D C A P L
