1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学数学（文史类）（文史类） 注意事项：注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()sin( 2 1 cossin+= lccS)( 2 1 += 台侧 其中 c 、c分别表示 )sin()sin( 2 1 sincos+= 上、下底面周长，l表示斜高或母
2、线长. )cos()cos( 2 1 coscos+= 球体的体积公式： 3 3 4 RV= 球 ，其中 R )cos()cos( 2 1 sinsin+= 表示球的半径. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 第第卷卷（选择题共 60 分） 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符
3、合要求的 1直线2yxx=关于对称的直线方程为 （ ） （A） 1 2 yx= （B） 1 2 yx= （C）2yx= （D）2yx= 2已知 ,0 2 x ， 5 4 cos=x ，则2tg x = （ ） （A） 24 7 （B） 24 7 （C） 7 24 （D） 7 24 3抛物线 2 yax=的准线方程是2,ya=则的值为 （ ） （A） 1 8 （B） 1 8 （C）8 （D）8 4等差数列 n a中，已知 125 1 ,4,33, 3 n aaaan=+=则为（ ） （A）48 （B）49 （C）50 （D）51 5双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 1212 ,120F F
4、FMF=，则双曲线的离心率为 （ ） （A）3 （B） 6 2 （C） 6 3 （D） 3 3 6设函数 = 2 1 12 )( x xf x 0 0 x x ，若1)( 0 xf，则 0 x的取值范围是 （ ） （A） （1，1） （B） （1，+） （C） （，2）（0，+） （D） （，1）（1，+） 7已知 5 ()lg ,(2)f xxf=则（ ） （A）lg2 （B）lg32 （C） 1 lg 32 （D） 1 lg2 5 8函数sin()(0)yxR=+=是 上的偶函数，则（ ） （A）0 （B） 4 （C） 2 （D） 9已知( ,2)(0): -30aal x ya+ =点到
5、直线的距离为1，则（ ） （A）2 （B）22 （C）21 （D）21+ 10已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，它的内接圆柱的底面半径为 3 4 R，该圆柱的全面积 为（ ） （A） 2 2 R （B） 2 4 9 R （C） 2 3 8 R （D） 2 5 2 R 11已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点 0 P沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 1 P后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上 的点 2 P、 3 P和 4 P（入射角等于反射角） 奎屯 王新敞 新疆若 40 PP与重合，则 tg= （ ） （
6、A） 3 1 （B） 5 2 （C） 2 1 （D）1 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）33 （D）6 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学学（文史类）（文史类） 第第卷卷（非选择题共 90 分） 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 13不等式 2 4xxx的解集是_. 14 92 ) 2 1 ( x x 的展开式中 9 x系数是 _ . 15在平面
7、几何里，有勾股定理： “设 222 ,ABCAB ACABACBC+=的两边互相垂直 则 奎屯 王新敞 新疆” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系， 可以得出的正确结论是： “设三棱锥ABCD的三个侧面ABCACDADB、两两互相 垂直，则_.” 16如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图 着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_ 奎屯 王新敞 新疆（以数字作答） 2 1 5 3 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明，证明过程或或
8、演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知正四棱柱 1111111 12ABCDABC DABAAECCFBD=，点 为中点，点 为点中点 奎屯 王新敞 新疆 （）证明 11 EFBDCC为与的公垂线 （）求点 1 DBDE到面的距离 奎屯 王新敞 新疆 18 （本小题满分 12 分） 已知复数z的辐角为60，且|1|z是| z和|2|z的等比中项，求| z. E D B A C B D C A F M 19 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 11 1,3(2). n nn aaan =+ （）求 23 ,a a； （）证明 3
9、1 2 n n a = 奎屯 王新敞 新疆 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )2sin (sincos )f xxxx=+ 奎屯 王新敞 新疆 （）求函数( )f x的最小正周期和最大值； （）在给出的直角坐标系中，画出函数 ( )yf x=在区间 , 2 2 上的图象 奎屯 王新敞 新疆 y O 2 2 x 21 （本小题满分 12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南 2 (cos) 10 = 方向 300km 的海面 P 处，并 以 20km/h 的速度向西偏北45方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以
10、 10km/h 的速度不断增大，问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 22 （本小题满分 14 分） 已知常数0a，在矩形 ABCD 中，4=AB，aBC4=，O 为 AB 的中点，点 E、F、 G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且 DA DC CD CF BC BE = ，P 为 GE 与 OF 的交点（如图） ，问是 否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值； 若不存在，请说明理由 奎屯 王新敞 新疆 O P A G D F E C B x y O 北 东 y 线 岸 O x P r(t) P 45 海 20032003 年普通高等学校招生全
11、国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文）参考解答及评分标准数学试题（文）参考解答及评分标准 说明：说明： 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则 二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四. 只给整数分数选择题和填空题不给中间分
12、一、选择题：本题考查基本知识和基本运算一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. . 每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分. . 1C 2D 3B 4C 5B 6D 7D 8C 9C 10B 11C 12A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. .每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 1616 分分. . 134 , 2( 14 2 21 15 2222 BCDADBACDABC SSSS =+ 1672 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解
13、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17 （I）证明：取 BD 中点 M，连结 MC，FM， F 为 BD1中点， FMD1D 且 FM= 2 1 D1D 又 EC= 2 1 CC1，且 ECMC， 四边形 EFMC 是矩形 EFCC1 又 CM面 DBD1 EF面 DBD1 BD1面 DBD1， EFBD1 故 EF 为 BD1与 CC1的公垂线 （II）解：连结 ED1，有 V 由（I）知 EF面 DBD1，设点 D1到面 BDE 的距离为 d， 则 SDBCd=SDCD1EF. AA1=2AB=1. 2 2 ,2=EFEDBEBD 2 3 )2( 2 3 2 1 ,222 2 1
14、 2 1 = DBCDBD SS 故点 D1到平面 BDE 的距离为 3 32 . 18解：设 z= 2 ),60sin60(cos r zir的实邻为则复数 + 2 ,rzzrzz=+ 由题设|2|1| 2 =zzz 即)2)(2(|) 1)(1(=zzzzz 421 22 +=+rrrrr 1212012 2 =+rrrr解得（舍去） 即|z|=12 19 （I）解1343, 413, 1 2 321 =+=+=aaa （II）证明：由已知故,3 1 1 = n nn aa 112211 )()()(aaaaaaaa nnnnn += =. 2 13 1333 21 =+ n nn 所以
15、2 13 = n n a 20解（I）xxxxxxf2sin2cos1cossin2sin2)( 2 +=+= ) 4 2sin(21) 4 sin2cos 4 cos2(sin21 +=+=xxx 所以函数)(xf的最小正周期为，最大值为21+. （）由（）知 x 8 3 8 8 8 3 8 5 y 1 21 1 21+ 1 故函数)(xfy =在区 间 2 , 2 上的图象是 21解：如图建立坐标系：以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向. 在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为 += = . 2 2 20 10 27 300 , 2 2 20 10 2 300 ty tx 此时台风
16、侵袭的区域是 222 )()()(tryyxx+，其中10)(=trt+60， 若在 t 时，该城市 O 受到台风的侵袭，则有 ,)6010()0()0( 222 +tyx 即,)6010() 2 2 20 10 27 300() 2 2 20 10 2 300( 222 +ttt 即028836 2 +tt， 解得2412t. 答：12 小时后该城市开始受到台风气侵袭 22解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得 点 P 到定点距离的和为定值. 按题意有 A（2，0） ，B（2，0） ，C（2，4a） ，D（2，4a） 设) 10(=kk DA DC
17、CD CF BC BE ， 由此有 E（2，4ak） ，F（24k，4a） ，G（2，4a4ak）. 直线 OF 的方程为：0) 12(2=+ykax， 直线 GE 的方程为：02) 12(=+ayxka. 从，消去参数 k，得点 P（x，y）坐标满足方程022 222 =+ayyxa， 整理得 1 )( 2 1 2 22 = + a ayx . 当 2 1 2 =a时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当 2 1 2 a时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当 2 1 2 a时，点 P 到椭圆两个焦点), 2 1 (), 2 1 ( 22 aaaa 的距离之和为定值2. 当 2 1 2 a时，点 P 到椭圆两个焦点) 2 1 0 2 1 , 0( 22 +aaaa，），（的距离之和为 定值a2.
