1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生北京卷北京卷文史文史类类数学试题数学试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第 I 卷 1 至 2 页 奎屯 王新敞 新疆第 II 卷 3 至 9 页 奎屯 王新敞 新疆 共 150 分 奎屯 王新敞 新疆考试时间 120 分钟 奎屯 王新敞 新疆 第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 40 分）分） 注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干
2、净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 三角函数的积化和差公式 sincossin()sin()=+ 1 2 cossinsin()sin()=+ 1 2 coscoscos()cos()=+ 1 2 sinsincos()cos()= + 1 2 正棱台、圆台的侧面积公式 Sc c l 台侧 =+ 1 2 ( ) 其中 c，c 分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 球体的表面积公式SR 球 = 4 2 其中 R 表示球的半径 一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
3、 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 （1）设Mxx= |22，Nx x= |1，则MN等于 A. |xx12 B. |xx 21 C. |xx12 D. |xx 21 （2）满足条件| | |zi= +34的复数z在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 （3）设 m、n 是两条不同的直线， , ,是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若m，n/ /，则m n 若/ /，/ /，m，则m 若m/ /，n/ /，则mn/ / 若 ， ，则/ / 其中正确命题的序号是 A. 和 B. 和 C. 和 D.
4、 和 （4）已知 a、b、c 满足cba，且ac 0，那么下列选项中一定成立的是 A. abac B. c ba() 0 C. cbab 22 D. ac ac() 0 （5）从长度分别为 1，2，3，4 的四条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种，在这些 取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为 m，则 m n 等于 A. 0 B. 1 4 C. 1 2 D. 3 4 （6）如图，在正方体ABCDA B C D 1111中，P 是侧面BB C C11 内一动点，若 P 到直 线 BC 与直线C D 11的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 AB C D A1 B1 C1 D
5、1 P A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 （7）函数f xxax( ) = 2 23在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是 A. a (, 1 B. a + ,)2 C. a +(, ,)12 D. a , 12 （8）函数f x x xP x xM ( ) , , = ，其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定 f Py yf x xP( ) |( ),=，f My yf x xM() |( ),=，给出下列四个判断： 若PM= ，则f Pf M( )()= 若PM ，则f Pf M( )() 若PMR=，则f Pf MR( )()= 若PMR，则f Pf MR(
6、 )() 其中正确判断有 A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中的横线上 奎屯 王新敞 新疆 （9）函数f xxx( )sin cos=的最小正周期是_ （10）方程lg()lglgxx 2 23+=+的解是_ （11） 圆xy 22 11+=()的圆心坐标是_， 如果直线xya+= 0与该 圆有公共点，那么实数 a 的取值范围是_ （12）某地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是_cm， 表面积是_cm2 （13）在函数f xaxbxc( ) =+ 2 中，若 a
7、，b，c 成等比数列且f ( )04= ，则f x( ) 有最_值（填“大”或“小” ） ，且该值为_ （14）定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常 数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 奎屯 王新敞 新疆 已知数列an是等和数列，且a12=，公和为 5，那么a18的值为_，且 这个数列的前 21 项和S21的值为_ 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （15） （本小题满分 14 分） 在ABC中，sincosAA+= 2 2 ，AC = 2，AB
8、= 3，求tgA的值和ABC的面积 （16） （本小题满分 14 分） 如图，在正三棱柱ABCA B C 111中，AB2，AA1 2=，由顶点 B 沿棱柱侧面经过 棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为 M，求： （I）三棱柱的侧面展开图的对角线长 （II）该最短路线的长及 A M AM 1 的值 （III）平面C MB 1 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小 A B C A1 B1 C1 M （17） （本小题满分 14 分） 如图， 抛物线关于 x 轴对称， 它的顶点在坐标原点， 点 P （1， 2） ， A （xy 11 ,） ， B （xy 22 ,） 均在抛物线上 奎
9、屯 王新敞 新疆 （I）写出该抛物线的方程及其准线方程 （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求yy 12 +的值及直线 AB 的斜率 y P O x A B （18） （本小题满分 14 分） 函数f x( )定义在0，1上，满足f xf x ( )( )= 2 2 且f ( ) 11=，在每个区间(, 1 2 1 2 1ii （i =1，2）上，yf x=( )的图象都是平行于 x 轴的直线的一部分 奎屯 王新敞 新疆 （I）求f ( )0及f ( ) 1 2 ，f ( ) 1 4 的值，并归纳出fi i ()(, ,) 1 2 12=的表达式 （II） 设直线x i =
10、1 2 ，x i = 1 2 1 ， x 轴及yf x=( )的图象围成的矩形的面积为ai（i =1， 2） ，求a a 12 ,及lim() n n aaa + 12 的值 （19） （本小题满分 12 分） 某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行时刻表上， 规定列车 8 时整从 A 站发车，8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 C 站，在 实际运行中， 假设列车从 A 站正点发车， 在 B 站停留 1 分钟， 并在行驶时以同一速度vkm h/ 匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车
11、在该站 的运行误差 奎屯 王新敞 新疆 （I）分别写出列车在 B、C 两站的运行误差 （II）若要求列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求v的取值范围 （20） （本小题满分 12 分） 给定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和 L1275 奎屯 王新敞 新疆现将这些数按下列要 求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是： 首先， 从这些数中选择这样一些数构成第一组， 使得 150 与这组数之和的差r1与所有可 能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差； 然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时 的余差为r2；如
12、此继续构成第三组（余差为r3） 、第四组（余差为r4） 、，直至第 N 组 （余差为rN）把这些数全部分完为止 奎屯 王新敞 新疆 （I）判断r rrN 12 ,的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数 （II）当构成第 n（nN）组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明 r nL n n 1 150 1 （III）对任何满足条件 T 的有限个正数，证明：N 11 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生北京卷北京卷文史文史类类数学试题数学试题 参考答案 一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分，满分 40 分 奎屯 王新敞 新疆
13、 （1）D （2）C （3）A （4）A （5）B （6）D （7）C （8）B 二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分，满分 30 分 奎屯 王新敞 新疆 （9） （10）xx 12 12=, （11） （0，-1） ，1212 +a （12）4 3 192 （13）大 -3 （14）3 52 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力 奎屯 王新敞 新疆满 分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 解
14、法一： sincoscos() cos() AAA A += = 245 2 2 45 1 2 又0180 A = =+= + = AA tgAtg 4560105 4560 13 13 23 , () sinsinsin()sincoscossinA =+=+= + 105456045604560 26 4 SACABA ABC = + =+ 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin() 解法二： sincosAA+= 2 2 （1） += = (sincos) sincos ,sin,cos AA AA AAA 2 1 2 2 1 2 018000 (sincos )sincos
15、AAAA= = 2 12 3 2 =sincosAA 6 2 （2） （1）+（2）得：sin A = +26 4 （1）（2）得：cosA = 26 4 = + = tgA A A sin cos 26 4 4 26 23 （以下同解法一） （16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）正三棱柱ABCA B C 111的侧面展开图是长为 6，宽为 2 的矩形 其对角线长为622 10 22 += （II）如图，将侧面AA B B 11 绕棱AA1旋转120使其与侧面AA
16、 C C 11 在同一平面上，点 B 运动到点 D 的位置， 连接DC1交AA1于 M， 则DC1就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱AA1 到顶点 C1的最短路线，其长为 DCCC 2 1 222 422 5+=+= DMAC MA 11， =AMA M 1 故 A M AM 1 1= A B C A1 B1 C1 D M （III）连接 DB，C B 1 ，则 DB 就是平面C MB 1 与平面 ABC 的交线 在DCB中 = +=+= DBCCBAABD CB DB 603090 又C CCBD 1 平面 由三垂线定理得C B DB 1 C BC 1 就是平面C MB 1 与平面 ABC 所
17、成二面角的平面角（锐角） 侧面C B BC 11 是正方形 =C BC 1 45 故平面C MB 1 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）为45 （17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和 解决问题的能力，满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）由已知条件，可设抛物线的方程为ypx 2 2= y P O x A B 点 P（1，2）在抛物线上 =221 2 p，得p = 2 故所求抛物线的方程是yx 2 4= 准线方程是x = 1 （II）设直线 PA 的斜率为kPA，直线 PB 的斜率为kPB 则k y x x PA = 1 1 1 2 2 1()
18、，k y x x PB = 2 2 2 2 1 1() PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 = kk PAPB 由 A（xy 11 ,） ，B（xy 22 ,）在抛物线上，得 yx 1 2 1 4= （1） yx 2 2 2 4= （2） = += + += y y y y yy yy 1 1 2 2 2 2 12 12 2 1 4 1 2 1 4 1 22 4 () 由（1）-（2）得直线 AB 的斜率 k yy xxyy xx AB = = + = = 21 2112 12 44 4 1() （18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满
19、分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）由ff( )( )020=，得f ( )00= 由ff( )( )12 1 2 =及f ( ) 11=，得ff( )( ) 1 2 1 2 1 1 2 = 同理，ff( )( ) 1 4 1 2 1 24 = 归纳得fi ii ()(, ,) 1 2 1 2 12= （II）当 1 2 1 2 1ii x 时，f x i ( ) = 1 2 1 a1 2 = a2 1 8 = ai i iiii = 1 2 1 2 1 2 1 2 12 111 ()(,) 所以an是首项为 1 2 ，公比为 1 4 的等比数列 所以lim() n n aaa +=
20、 = 12 1 2 1 1 4 2 3 （19） 本小题主要考查解不等式等基本知识， 考查应用数学知识分析问题和解决问题的 能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）列车在 B，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 | 300 7 v 和| 480 11 v （II）由于列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，所以 | | 300 7 480 112 vv + （*） 当0 300 7 v时， （*）式变形为 300 7 480 112 vv + 解得39 300 7 v 当 300 7 480 11 v时， （*）式变形为7 300480 112+
21、 vv 解得 300 7 480 11 v 当v 480 11 时， （*）式变形为7 00 11 480 2 + vv 解得 480 11 195 4 v 综上所述，v的取值范围是39， 195 4 （20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决 问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）rrrN 12 奎屯 王新敞 新疆除第 N 组外的每组至少含有 150 50 3=个数 （II）当第 n 组形成后，因为nN，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余 差rn，余下数之和也大于第 n 组的余差rn，即 Lrrrr nn +
22、()()()150150150 12 由此可得rrrnL n121 150+ 因为()nrrrr nn + 1 1121 ，所以r nL n n 1 150 1 （III）用反证法证明结论，假设N 11，即第 11 组形成后，还有数没分完，由（I） 和（II）可知，余下的每个数都大于第 11 组的余差r11，且rr 1110 故余下的每个数 =rr 1110 15011 1275 10 375 . （*） 因为第 11 组数中至少含有 3 个数，所以第 11 组数之和大于37531125= 此时第 11 组的余差r11150150112537511=第组数之和 这与（*）式中r11375.矛盾，所以N 11 新疆奎屯市第一高级中学
