1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生湖北湖北卷卷理工类理工类数学试题数学试题 奎屯 王新敞 新疆 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆. 1与直线042=+ yx的平行的抛物线 2 xy =的切线方程是 （ ） A032=+ yx B032= yx C012=+ yx D012= yx 2复数 i i 31 )31( 2 + + 的值是 （ ） A16 B16 C 4 1 Di 4 3 4 1 3已知 )(, 1 1 ) 1 1 ( 2 2 xf x x x x f则 + = + 的
2、解析式可取为 （ ） A 2 1x x + B 2 1 2 x x + C 2 1 2 x x + D 2 1x x + 4已知cba,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,cbcaba= （ ） A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5若0 11 ba ，则下列不等式abba+；|;|ba ba ；2+ b a a b 中，正 确的不等式有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6已知椭圆1 916 22 =+ yx 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2是一 个直
3、角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为 （ ） A 5 9 B3 C 7 79 D 4 9 7函数 1 , 0) 1(log)(在+=xaxf a x 上的最大值和最小值之和为 a， 则 a 的值为（ ） A 4 1 B 2 1 C2 D4 8已知数列 n a的前 n 项和), 2 , 1() 2 1 )(1(2) 2 1 (2 11 =+= nnbaS nn n 其中 a、 b 是非零常数，则存在数列 n x、 n y使得 （ ） A, nnnn xyxa其中+=为等差数列， n y为等比数列 B, nnnn xyxa其中+=和 n y都为等差数列 C, nnnn xyxa其中=为
4、等差数列， n y都为等比数列 D, nnnn xyxa其中=和 n y都为等比数列 9函数1)( 3 +=xaxxf有极值的充要条件是 （ ） A0a B0a C0a D0a 10设集合044|,01| 2 +=mxmxRmQmmP对任意实数 x 恒成立， 则下列关系中成立的是 （ ） AP Q BQ P CP=Q DPQ= 11已知平面与所成的二面角为 80，P 为、外一定点，过点 P 的一条直线与、 所成的角都是 30，则这样的直线有且仅有 （ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 12设)(tfy =是某港口水的深度 y（米）关于时间 t（时）的函数，其中240 t.下表 是该港
5、口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数)(tfy =的图象可以近似地看成函数)sin(+=tAky的图象. 下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ） A24, 0, 6 sin312+=tty B24, 0), 6 sin(312+=tty C24, 0, 12 sin312+=tty D24, 0), 212 sin(312+=tty 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16
6、分.把答案填在题中横线上. 13设随机变量的概率分布为=aka a kP k 则为常数, 2 , 1, 5 )( . 14将标号为 1，2，10 的 10 个球放入标号为 1，2，10 的 10 个盒子内，每个盒内 放一个球，则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答） 15设 A、B 为两个集合，下列四个命题： A B对任意BxAx有, A B=BA A BAB A B存在BxAx使得, 其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上） 16某日中午 12 时整，甲船自 A 处以 16km/h 的速度向正东行驶，乙船自 A 的正北 18km 处以 2
7、4km/h 的速度向正南行驶，则当日 12 时 30 分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知) 3 2sin(, 2 , 0cos2cossinsin6 22 +=+求的值. 18 （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点. （I）试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F； （II）当 D1E平面 AB1F 时，求二面角 C1EFA 的大小（结果用反三角函
8、数值表示）. A B CD A1 B1 C1 D1 E F 19 （本小题满分 12 分） 如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问BCPQ与 的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值. a AB C 20 （本小题满分 12 分） 直线12:1: 22 =+=yxCkxyl与双曲线的右支交于不同的两点 A、B. （I）求实数 k 的取值范围； （II）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求 出 k 的值；若不存在，说明理由. 21 （本小题满分 12 分） 某突发事件，在不采取任何预防措
9、施的情况下发生的概率为 0.3，一旦发生，将造成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为 45 万元和 30 万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防 方案使总费用最少. （总费用 =采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22 （本小题满分 14 分） 已知., 2 , 1, 1 , 0 11 =+= + n a aaaaaa n nn 满足数列 （I）已知数列 n a极限存在且大于零，求 n n aA = li
10、m（将 A 用 a 表示） ； （II）设; )( :, 2 , 1, 1 AbA b bnAab n n nnn + = + 证明 （III）若, 2 , 1 2 1 |=nb n n 对都成立，求 a 的取值范围. 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生湖北湖北卷卷理工类理工类数学试题数学试题 参考答案 一、选择题 1D 2A 3C 4B 5B 6D 7B 8C 9C 10A 11D 12A 二、填空题 134 14240 15 （4） 161.6 三、解答题 17本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能， 满分 12 分. 解法一：由已知得：0)
11、cossin2)(cos2sin3(=+ 0cossin20cos2sin3=+或 由已知条件可知)., 2 (, 2 , 0cos 即所以 . 3 2 tan, 0tan=于是 3 sin2cos 3 cos2sin) 3 2sin( +=+ . tan1 tan1 2 3 tan1 tan sincos sincos 2 3 sincos cossin )sin(cos 2 3 cossin 2 2 2 22 22 22 22 + + + = + + + = += 代入上式得将 3 2 tan= 3 26 5 13 6 ) 3 2 (1 ) 3 2 (1 2 3 ) 3 2 (1 ) 3
12、2 ( ) 3 2sin( 2 2 2 即为所求+= + + + =+ 解法二：由已知条件可知所以原式可化为则, 2 , 0cos A B CD A1 B1 C1 D1 E F . . 3 2 tan . 0 tan), 2 ( . 0 ) 1tan2)(2tan3( . 02tantan6 2 下同解法一 又 即 = =+ =+ 18本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满 分 12 分. 解法一： （I）连结 A1B，则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A；内的射 影 AB1A1B，D1EAB1， 于是 D1E平面 AB1FD1EAF. 连结 DE，则
13、 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影. D1EAFDEAF. ABCD 是正方形，E 是 BC 的中点. 当且仅当 F 是 CD 的中点时，DEAF， 即当点 F 是 CD 的中点时，D1E平面 AB1F.6 分 （II）当 D1E平面 AB1F 时，由（I）知点 F 是 CD 的中点. 又已知点 E 是 BC 的中点，连结 EF，则 EFBD. 连结 AC， 设 AC 与 EF 交于点 H，则 CHEF，连结 C1H，则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影. C1HEF，即C1HC 是二面角 C1EFC 的平面角. 在 RtC1CH 中，C1C=1，CH= 4 1 AC=
14、 4 2 ， tanC1HC=22 4 2 1 1 = CH CC . C1HC=arctan22，从而AHC1=22arctan. 故二面角 C1EFA 的大小为22arctan. 解法二：以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设 DF=x，则 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，D（0，1，0） ， A1（0，0，1） ，B（1，0，1） ，D1（0，1，1） ，E)0 , 2 1 , 1 (，F（x，1，0） a AB C Q P FABEDCDFx xAFEDAFEDFABED ABEDABED xAFABED 11 1111 1111 11 ,. 2 1 0 2
15、 1 0 , 011 )0 , 1 ,(),1 , 0 , 1 (),1, 2 1 , 1 ( 平面的中点时是故当点即 平面于是 即 = = = = （1）当 D1E平面 AB1F 时，F 是 CD 的中点，又 E 是 BC 的中点，连结 EF，则 EF BD. 连结 AC，设 AC 与 EF 交于点 H，则 AHEF. 连结 C1H，则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影. C1HEF，即AHC1是二面角 C1EFA 的平面角. 3 1 8 9 8 9 8 3 | cos ).0 , 4 3 , 4 3 (),1 , 4 1 , 4 1 ( ),0 , 4 3 , 4 3 (),1
16、 , 1 , 1 ( 1 1 1 1 1 = = = = HCHA HCHA AHC HAHC HC . 3 1 arccos . 3 1 arccos) 3 1 arccos( 1 1 = 的大小为故二面角 即 AEFC AHC 19本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力， 满分 12 分. )()( , . 0,: ACAQABAPCQBP ACAQCQABAPBPAQAP ACABACAB = = = 解法一 .cos 2 1 2 1 )( 22 2 2 2 2 aa BCPQa BCPQa ACABAPa APABACAPa ACABAQABACAP
17、AQAP += += += = += += a x y AB C Q P . 0.,)(0, 1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ= 解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面 直角坐标系. .)( )()( ).2,2(),( ),(),( ).,(),( .| ,2| ), 0(),0 ,(),0 , 0(,| 22 bycxyx byyxcxCQBP yxPQbcBC byxCQycxBP yxQyxP aBCaPQ bCcBAbACcAB += += = = = = 则的坐标为设点 且 则设 . 0,)(0, 1cos .cos
18、.cos . | cos 22 2 2 其最大值为最大时方向相同与即故当CQBCBCPQ aaCQBP abycx a bycx BCPQ BCPQ = += = = = 20本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力， 满分 12 分. 解： （）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,121 22 =+=yxCkxyl . 022)2( 22 =+kxxk 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故 . 22 . 0 2 2 0 2 2 , 0)2(8)2( , 02 2 2 22 2 = kk k k k kk k 的取值范围是解得 （）设 A、
19、B 两点的坐标分别为),( 11 yx、),( 22 yx，则由式得 = =+ . 2 2 , 2 2 2 22 2 21 k xx k k xx 假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（c,0）. 则由 FAFB 得： . 0) 1)(1()( . 0)( 2121 2121 =+ =+ kxkxcxcx yycxcx 即 整理得 . 01)() 1( 2 2121 2 =+cxxckxxk 把式及 2 6 =c代入式化简得 . 06625 2 =+kk 解得)(2, 2( 5 66 5 66 舍去或 = + =kk 可知 5 66+ =k使得以线段 AB
20、 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 21 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力， 满分 12 分. 解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为 4000.3=120（万元） ； 若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45 万元，发生突发事件的概率为 10.9=0.1，损失期望值为 4000.1=40（万元） ，所以总费用为 45+40=85（万元） 若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为 30 万元，发生突发事件的概率为 1 0.85=0.15，损失期望值为 4000.15=60（万元） ，所以总费用为 30+60=90（万元） ； 若联合采取甲、乙两种预防措
21、施，则预防措施费用为 45+30=75（万元） ，发生突发事 件的概率为（10.9） （10.85）=0.015，损失期望值为 4000.015=6（万元） ，所以总 费用为 75+6=81（万元）. 综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使 总费用最少. 22本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题 和解决问题的能力，满分 14 分. 解： （I）由两边取极限得对且存在 n nn n n n a aaAaAa 1 ),0(lim,lim 1 += + . 2 4 , 0. 2 4 , 1 22 + = + =+= aa AA aa
22、A A aA又解得 （II）. 11 , 11 Ab aAb a aaAba n n n nnn + +=+=+= + 得由 都成立对即, 2 , 1 )( . )( 111 1 1 = + = + = + += + += + + n AbA b b AbA b AbAAb Aab n n n n n nn n （III）. 2 1 | )4( 2 1 |, 2 1 | 2 1 +aaab得令 ., 2 , 1 2 1 | , 2 3 . 2 3 , 14 . 2 1 | )4( 2 1 | 2 2 都成立对时现证明当 解得 = + + nba aaa aa n n （i）当 n=1 时结论成
23、立（已验证）. （ii）假设当那么即时结论成立, 2 1 |,) 1( k k bkkn= k kk k k AbAAbA b b 2 1 | 1 | )(| | | 1 + + = + 故只须证明. 2 3 2|, 2 1 | 1 成立对即证+ + aAbA AbA k k . 2 1 2 1 2 1 | , 2 3 . 2|, 1 2 1 2| . 2, 14, 2 3 , 4 2 2 4 1 1 2 2 2 + + = + + + = + = kk k k k kk ba AbAbAAb Aaaa aa aa A 时故当 即 时而当 由于 即 n=k+1 时结论成立. 根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立. 故)., 2 3 , 2 , 1 2 1 |+=的取值范围为都成立的对anb n n
