1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生湖南湖南卷理工农医类卷理工农医类数学试题数学试题 第卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求的. 1复数 4 ) 1 1 ( i +的值是 （ ） Ai 4 Bi 4 C4 D4 2如果双曲线1 1213 22 = yx 上一点 P 到右焦点的距离等于13，那么点 P 到右准线的距离 是 （ ） A 5 13 B13 C5 D 13 5 3设)( 1 xf 是函数) 1(log)( 2 +=xxf的反函数，若8)(1)(1 11 =+ bfaf，则 )(
2、baf+的值为 （ ） A1 B2 C3 D3log2 4把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当 A、B C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时， 直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为 （ ） A90 B60 C45 D30 5某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点 奎屯 王新敞 新疆公司为 了调查产品销售的情况， 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本， 记这项调 查为；在丙地区中有 20 个特大型销售点，要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等 情况，记这项调查为 奎屯 王新敞 新疆则完成、这两项调查宜采用的抽
3、样方法依次是 （ ） A分层抽样法，系统抽样法 B分层抽样法，简单随机抽样法 C系统抽样法，分层抽样法 D简单随机抽样法，分层抽样法 6设函数 , 2)2(),0()4( .0, 2 , 0, )( 2 = + =fff x xcbxx xf若 则关于 x 的方程 xxf=)(解的个数为 （ ） A1 B2 C3 D4 7设, 0, 0ba则以下不等式中不恒成立 的是 （ ） A4) 11 )(+ ba ba B 233 2abba+ Cbaba222 22 + Dbaba| 8数列 =+=+= + + )(lim*, 5 6 , 5 1 , 21 1 11n nx n nnn aaaNnaa
4、aa则中 （ ） A 5 2 B 7 2 C 4 1 D 25 4 9设集合0| ),(,02| ),(,| ),(+=+=nyxyxBmyxyxARyRxyxU， 那么点 P（2，3） A（ U C B）的充要条件是 （ ） A5, 1nm B5, 1nm C5, 1nm D5, 1nm 10从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ） A56 B52 C48 D40 11 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成 奎屯 王新敞 新疆2003年某地区农民人均收入为3150元(其 中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元), 预计该地区自 2004
5、年起的 5 年内，农 民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长， 其它收入每年增加160元 奎屯 王新敞 新疆根据以上数据， 2008 年该地区农民人均收入介于 （ ） A4200 元4400 元 B4400 元4600 元 C4600 元4800 元 D4800 元5000 元 12 设)(),(xgxf分 别 是 定 义 在R上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当0x时 ， , 0)()()()(+xgxfxgxf 且, 0)3(=g则不等式0)()(xgxf的解集是 （ ） A), 3()0 , 3(+ B) 3 , 0()0 , 3( C), 3() 3,(+ D) 3 , 0()
6、 3,( 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题、填空题：本大题 共共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 13已知向量 a=)sin,(cos，向量 b=) 1, 3(，则|2ab|的最大值是 . 14同时抛物线两枚相同的均匀硬币，随机变量=1 表示结果中有正面向上，=0 表示结 果中没有正面向上，则 E= . 15若 n xx x) 1 ( 3 +的展开式中的常数项为 84，则 n= . 16设 F 是椭圆1 67 22 =+ yx 的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi（i=1，
7、2，3，） ， 使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为 d 的等差数列，则 d 的取值范围为 . 三、解答题：本大题三、解答题：本大题 共共 6 小题，共小题，共 74 分分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知1cottansin2), 2 , 4 (, 4 1 )2 4 sin()2 4 sin( 2 +=+ 求的值. 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙 机床加工的零件不是一等品的概率为 4 1 ,乙机床加工的零
8、件是一等品而丙机床加工的零件不 是一等品的概率为 12 1 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 9 2 . （）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； （）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 19 （本小题满分 12 分） 如图，在底面是菱形的四棱锥 PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2, 点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1. （I）证明 PA平面 ABCD； （II）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角的大小； （）在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF/平面 AEC？证明你的结论. B
9、C D A P E 20 （本小题满分 12 分） 已知函数eaexxf ax , 0,)( 2 =其中为自然对数的底数. （）讨论函数)(xf的单调性； （）求函数)(xf在区间0，1上的最大值. 21 （本小题满分 12 分） 如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于 A，B 两 点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点. （I）设点 P 分有向线段AB所成的比为，证明: )(QBQAQP ； （II）设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0，过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同 的切线，求圆 C 的方程. 22 （本小题满分 1
10、4 分） 如图，直线 2 1 2 1 :) 2 1 , 0(1: 21 +=+=xylkkkkxyl与相交于点 P.直线 l1与 x 轴交于点 P1，过点 P1作 x 轴的垂线交直线 l2于点 Q1，过点 Q1作 y 轴的垂线交直线 l1于点 P2，过点 P2作 x 轴的垂线交直线 l2于点 Q2，这样一直作下去，可得到一系列点 P1、Q1、 P2、Q2，点 Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列 . n x （）证明*),1( 2 1 1 1 Nnx k x nn = + ； （）求数列 n x的通项公式； （）比较5|4|2 2 1 22 +PPkPPn与的大小. B C D A P E G
11、 H 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生湖南湖南卷理工农医类卷理工农医类数学试题数学试题 参考答案参考答案 1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C 11.B 12.D 134 140.75 159 16 10 1 , 0()0 , 10 1 17解：由)2 4 cos()2 4 sin()2 4 sin()2 4 sin( +=+ , 4 1 4cos 2 1 )4 2 sin( 2 1 =+= 得 . 2 1 4cos= 又. 12 5 ), 2 , 4 ( =所以 于是 2sin 2cos2 2cos cossin cossin 2co
12、s1cottansin2 22 2 += +=+ . 3 2 5 )32 2 3 () 6 5 cot2 6 5 (cos)2cot22(cos=+=+= 18解： （）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 由题设条件有 = = = = = = . 9 2 )()( , 12 1 )(1 ()( , 4 1 )(1 ()( . 9 2 )( , 12 1 )( , 4 1 )( CPAP CPBP BPAP CAP CBP BAP 即 由、得)( 8 9 1)(CPBP= 代入得 27P(C)251P(C)+22=0. 解得 9 11 3 2 )(或=CP（舍
13、去）. 将 3 2 )(=CP 分别代入 、 可得 . 4 1 )(, 3 1 )(=BPAP 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是. 3 2 , 4 1 , 3 1 （）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则 . 6 5 3 1 4 3 3 2 1)(1)(1)(1 (1)(1)(=CPBPAPDPDP 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为. 6 5 19 （）证明 因为底面 ABCD 是菱形，ABC=60， 所以 AB=AD=AC=a， 在PAB 中， 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PAAB. 同理
14、，PAAD，所以 PA平面 ABCD. （）解 作 EG/PA 交 AD 于 G， 由 PA平面 ABCD. 知 EG平面 ABCD.作 GHAC 于 H，连结 EH， z y x B C D A P E F O B C D A P E F M 则 EHAC，EHG 即为二面角的平面角. 又 PE : ED=2 : 1，所以 . 3 3 60sin, 3 2 , 3 1 aAGGHaAGaEG= 从而 , 3 3 tan= GH EG .30= （）解法一 以 A 为坐标原点，直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设
15、条件，相关各点的坐标分别为 ).0 , 2 1 , 2 3 (),0 , 2 1 , 2 3 (),0 , 0 , 0(aaCaaBA ). 3 1 , 3 2 , 0(), 0 , 0(),0 , 0(aaEaPaD 所以 ).0 , 2 1 , 2 3 (), 3 1 , 3 2 , 0(aaACaaAE= )., 2 1 , 2 3 (), 0 , 0(aaaPCaAP= )., 2 1 , 2 3 (aaaBP= 设点 F 是棱 PC 上的点，, 10), 2 1 , 2 3 (=其中aaaPCPF则 ), 2 1 , 2 3 (), 2 1 , 2 3 (aaaaaaPFBPBF+=
16、+= ).1 (),1 ( 2 1 ),1( 2 3 (+=aaa 令 AEACBF 21 += 得 = +=+ = = +=+ = . 3 1 1 , 3 4 1 ,1 . 3 1 )1 ( , 3 2 2 1 )1 ( 2 1 , 2 3 ) 1( 2 3 2 21 1 2 21 1 即 aa aaa aa 解得 . 2 3 , 2 1 , 2 1 21 = 即 2 1 =时，. 2 3 2 1 AEACBF+= 亦即，F 是 PC 的中点时，BF、AC、AE共面. 又 BF平面 AEC，所以当 F 是棱 PC 的中点时，BF/平面 AEC. 解法二 当 F 是棱 PC 的中点时，BF/平
17、面 AEC，证明如下， 证法一 取 PE 的中点 M，连结 FM，则 FM/CE. 由 , 2 1 EDPEEM= 知 E 是 MD 的中点. 连结 BM、BD，设 BDAC=O，则 O 为 BD 的中点. 所以 BM/OE. 由、知，平面 BFM/平面 AEC. 又 BF平面 BFM，所以 BF/平面 AEC. 证法二 因为 )( 2 1 2 1 DPCDADCPBCBF+=+= . 2 1 2 3 )( 2 3 )( 2 1 2 3 2 1 ACAE ADAEACADADDECDAD = +=+= 所以 BF、AE、AC共面. 又 BF平面 ABC，从而 BF/平面 AEC. 20解： （
18、）.)2()( ax eaxxxf+= （i）当 a=0 时，令 . 0, 0)(=xxf得 若), 0()(, 0)(, 0+在从而则xfxfx上单调递增； 若)0 ,()(, 0)(, 0在从而则xfxfx上单调递减. （ii）当 a1+9=10. 而此时 . 5|4|2.10218|2, 1| 2 1 |0 2 1 222 +=+PPkPPPP k nn 故所以 （ii）当) 2 1 , 0()0 , 2 1 (, 2 1 |0kk即时，5|4 2 1 2 +PPk1+9=10. 而此时 . 5|4|2.10218|2, 1| 2 1 | 2 1 222 +=+PPkPPPP k nn 故所以
