1、高三数学试卷 第 1 页(共 5 页)南京师大附中南京师大附中 20222023 学年度学年度高三高三第一学期第一学期 10 月检测月检测 数数 学学 2022.10 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 Mx|x1 或 x1，Nx|3x1，则 MN()Ax|3x1 Bx|3x1 CR Dx|3x1 2若(z1)ii2，则 z()A22i B22i C2i D2i 3顶角为 36的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为514，则最美三角形底角的余弦值为()A514 B512 C514 D512 4在
2、ABC 中，ABAC9，AB3，点 E 满足AE2EC，则ABBE()A6 B3 C3 D6 5如图，在长方形 ABCD 中，AB 3，BC1，点 E 为线段 DC 上一动点现将ADE 沿AE 折起，使点 D 在平面 ABC 内的射影 K 在直线 AE 上当点 E 从 D 运动到 C 时，则点 K所形成轨迹的长度为()A2 33 B32 C2 D3 6已知椭圆长轴 AB 的长为 4，N 为椭圆点，满足|NA|1，NAB60，则椭圆的离心率高三数学试卷 第 2 页(共 5 页)为()A55 B2 55 C2 77 D3 77 7第十三届冬残奥会于 2022 年 3 月 4 日至 3 月 13 日
3、在北京举行现从 4 名男生，2 名女生中选 3 人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有 1 名女生被选中，则不同的选择方案有()A72 种 B84 种 C96 种 D124 种 8若 asin1tan1，b2，cln412，则 a，b，c 的大小关系为()Acba Bcab Cabc Dbca 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9下面关于复数的四个命题正确的有()A若复数 zR，则zR B若复数 z 满足 z2R，则 zR C若复数 z 满1zR，
4、则 zR D若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z1z2 10已知随机事件 A，B 发生的概率分别为 P(A)0.3，P(B)0.6，下列说法正确的有()A若 P(AB)0.18，则 A，B 相互独立 B若 A，B 相互独立，则 P(B|A)0.6 C若 P(B|A)0.4，则 P(AB)0.12 D若 AB，则 P(A|B)0.3 11已知椭圆 C：x24y221上有一点 P，F1，F2分别为其左、右焦点，F1PF2，F1PF2的面积为 S，则下列说法正确的有()AF1PF2的周长为 42 2 B角 的最大值为 90 C若 S 2，则相应的点 P 共有 2 个 D若F1PF2是钝角三角形
5、，则 S 的取值范围(0，2)12 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 BB1的中点，Q 为正方形 BB1C1C高三数学试卷 第 3 页(共 5 页)内一动点含边界)，则下列说法中正确的是()A若 D1Q平面 A1PD，则动点 Q 的轨迹是一条线段 B存在点 Q，使得 D1Q平面 A1PD C当且仅当点 Q 落在棱 CC1上某点处时，三棱锥 QA1PD 的体积最大 D若 D1Q62，则点 Q 的轨迹长度为24 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13有一组样本数据 x1，x2，x3，x4，该样本的平均数和方差均为 m在该组数据中加入一个数
6、 m，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为 14已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，在 C 上有一点 P，|PF|8，则点 P 到 x 轴的距离为 15已知锐角ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 c 3，3tanAtanB 3tanAtanB，则 a2b2的取值范围为 16已知 f(x)x，0 x1ex，x1，若存在 x2x10，使得 f(x2)eg(x1)，则 x1f(x2)的取值范围为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分)设数列an的前项和为 Sn，已知 a1a36，a2a410，
7、各项均为正数的等比数列bn满足 b1b334，b2b4116(1)求 Sn；(2)设 Tn=niiS1bi，求证：Tn4 高三数学试卷 第 4 页(共 5 页)18(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 3acosCasinC 3b(1)求角 A 的大小；(2)若 a2，求 BC 边上的中线 AD 长度的最小值 19(本小题满分 12 分)某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y与环境平均温度x(C)之间的关系进行研究，他们经过 5 次独立实验，得到如下统计数据：第 n 次 1 2 3 4 5 环境平均温度 x/C 18 19 20 21 22 种
8、子发芽率 y 62%69%71%72%76%(1)若从这 5 次实验中任意抽取 2 次，设种子发芽率超过 70%的次数为，求随机变量 的分布列与数学期望；(2)根据散点图可以发现，变量 y 与 x 之间呈线性相关关系如果在第 6 次实验时将环境平均温度仍然控制在 21C，根据回归方程估计这次实验中该植物种子的发芽率 20(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，平面 PCD平面 ABCD，PCD 是边长为 2 等边三角形，BC 2，点 E 为 CD 的中点，点 M 为 PE 上一点(与点 P，E 不重合)(1)证明：AMBD；(2)当 AM 为何值时，直线 AM 与平面
9、BDM 所成的角最大？高三数学试卷 第 5 页(共 5 页)21(本小题满分 12 分)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，C 的右焦点 F 与点 M(0，2)的连线与 C 的一条渐近线垂直(1)求双曲线 C 的标准方程：(2)经过点 M 且斜率不为零的直线 l 与 C 的两支分别交于点 A，B，若 O 为坐标原点，求OAOB的取值范围：若点 D 是点 B 关于 y 轴的对称点，证明：直线 AD 过定点 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)aexln(x1)lna(1)当 a1 时，讨论 f(x)的单调性：(2)证明：f(x)有唯一极值点 t，且 f(x)
10、1 高三数学试卷第 1 页(共 12 页)南南京京师师大大附附中中 20222023 学学年年度度高高三三第第一一学学期期 10 月月检检测测数数学学2022.10一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 Mx|x1 或 x1，Nx|3x1，则 MN()Ax|3x1Bx|3x1CRDx|3x1【答案】A2若(z1)ii2，则 z()A22iB22iC2iD2i【答案】B3顶角为 36的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为514，则最美三角形底角的余弦值为()A514B512C514D512【答案】A4
11、在ABC 中，ABAC9，AB3，点 E 满足AE2EC，则ABBE()A6B3C3D6【答案】B【解析】ABBEAB(AEAB)AB(23ACAB)23ABACAB22393235如图，在长方形 ABCD 中，AB 3，BC1，点 E 为线段 DC 上一动点现将ADE 沿AE 折起，使点 D 在平面 ABC 内的射影 K 在直线 AE 上当点 E 从 D 运动到 C 时，则点 K所形成轨迹的长度为()A2 33B32C2D3【答案】D高三数学试卷第 2 页(共 12 页)6已知椭圆长轴 AB 的长为 4，N 为椭圆点，满足|NA|1，NAB60，则椭圆的离心率为()A55B2 55C2 77
12、D3 77【答案】C7第十三届冬残奥会于 2022 年 3 月 4 日至 3 月 13 日在北京举行现从 4 名男生，2 名女生中选 3 人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有 1 名女生被选中，则不同的选择方案有()A72 种B84 种C96 种D124 种【答案】C【解析】由题意有一名女生的选法有C12C24A33，没有女生的选法有C34A33，因此至多有 1 名女高三数学试卷第 3 页(共 12 页)生被选中，则不同的选择方案共有C12C24A33C34A3396，故选 C8若 asin1tan1，b2，cln412，则 a，b，c 的大小关系为()AcbaBcabCab
13、cDbca【答案】A二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9下面关于复数的四个命题正确的有()A若复数 zR，则zRB若复数 z 满足 z2R，则 zRC若复数 z 满1zR，则 zRD若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z1z2【答案】AC10已知随机事件 A，B 发生的概率分别为 P(A)0.3，P(B)0.6，下列说法正确的有()A若 P(AB)0.18，则 A，B 相互独立B若 A，B 相互独立，则 P(B|A)0.6C若 P(B|A)0.4，则 P(AB
14、)0.12D若 AB，则 P(A|B)0.3【答案】ABC高三数学试卷第 4 页(共 12 页)11已知椭圆 C：x24y221上有一点 P，F1，F2分别为其左、右焦点，F1PF2，F1PF2的面积为 S，则下列说法正确的有()AF1PF2的周长为 42 2B角的最大值为 90C若 S 2，则相应的点 P 共有 2 个D若F1PF2是钝角三角形，则 S 的取值范围(0，2)【答案】ABD高三数学试卷第 5 页(共 12 页)12 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 BB1的中点，Q 为正方形 BB1C1C内一动点含边界)，则下列说法中正确的是()A若 D1Q平
15、面 A1PD，则动点 Q 的轨迹是一条线段B存在点 Q，使得 D1Q平面 A1PDC当且仅当点 Q 落在棱 CC1上某点处时，三棱锥 QA1PD 的体积最大D若 D1Q62，则点 Q 的轨迹长度为24【答案】ACD高三数学试卷第 6 页(共 12 页)三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13有一组样本数据 x1，x2，x3，x4，该样本的平均数和方差均为 m在该组数据中加入一个数 m，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为【答案】45m【解析】样本数据 x1，x2，x3，x4，该样本的平均数和方差均为 m，在该组数据中加入 1 个数 m，则新样本数据的平均数x15(4m
16、m)m，方差为s2154m(mm)245m.14已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，在 C 上有一点 P，|PF|8，则点 P 到 x 轴的距离为【答案】4 3【解析】由抛物线的定义，可 PFxp28，所以 xp6，代入 y28x，可得 yp248，所以 yp4 315已知锐角ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 c 3，3tanAtanB 3tanAtanB，则 a2b2的取值范围为高三数学试卷第 7 页(共 12 页)16已知 f(x)x，0 x1ex，x1，若存在 x2x10，使得 f(x2)eg(x1)，则 x1f(x2)的取值范围为四、解答题：本题共 6
17、 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分)设数列an的前项和为 Sn，已知 a1a36，a2a410，各项均为正数的等比数列bn满足 b1b334，b2b4116(1)求 Sn；(2)设 TnniiS1bi，求证：Tn4高三数学试卷第 8 页(共 12 页)18(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知3acosCasinC 3b(1)求角 A 的大小；(2)若 a2，求 BC 边上的中线 AD 长度的最小值19(本小题满分 12 分)某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y与环境平均温度x(C)之间的关
18、系进行研究，他们经过 5 次独立实验，得到如下统计数据：第 n 次12345环境平均温度 x/C1819202122种子发芽率 y62%69%71%72%76%(1)若从这 5 次实验中任意抽取 2 次，设种子发芽率超过 70%的次数为，求随机变量的分布列与数学期望；(2)根据散点图可以发现，变量 y 与 x 之间呈线性相关关系 如果在第 6 次实验时将环境平均温度仍然控制在 21C，根据回归方程估计这次实验中该植物种子的发芽率高三数学试卷第 9 页(共 12 页)20(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，平面 PCD平面 ABCD，PCD 是边长为 2等边三角形，B
19、C 2，点 E 为 CD 的中点，点 M 为 PE 上一点(与点 P，E 不重合)(1)证明：AMBD；(2)当 AM 为何值时，直线 AM 与平面 BDM 所成的角最大？高三数学试卷第 10 页(共 12 页)21(本小题满分 12 分)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，C 的右焦点 F 与点 M(0，2)的连线与 C 的一条渐近线垂直(1)求双曲线 C 的标准方程：(2)经过点 M 且斜率不为零的直线 l 与 C 的两支分别交于点 A，B，若 O 为坐标原点，求OAOB的取值范围：若点 D 是点 B 关于 y 轴的对称点，证明：直线 AD 过定点高三数学试卷第 11 页(共 12 页)22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)aexln(x1)lna(1)当 a1 时，讨论 f(x)的单调性：(2)证明：f(x)有唯一极值点 t，且 f(x)1高三数学试卷第 12 页(共 12 页)
