1、 2005 年高考年高考文文科数学科数学 福建福建卷卷 试题及答案试题及答案 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷（选择题 共 60 分） 注意事项注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项
2、是符合题目要求的. 1已知集合=xxxP, 1|1|R|，QPNxxQ则,|=等于 （ ） AP BQ C1，2 D0，1，2 2不等式0 13 12 + x x 的解集是 （ ） A 2 1 3 1 |xxx或 B 2 1 3 1 |xx C 2 1 |xx D 3 1 |xx 3已知等差数列 n a中，1,16 497 =+aaa，则 12 a的值是 （ ） A15 B30 C31 D64 4函数xy2cos=在下列哪个区间上是减函数 （ ） A 4 , 4 B 4 3 , 4 C 2 , 0 D, 2 5下列结论正确的是 （ ） A当 2 lg 1 lg,10+ x xxx时且 B 2
3、1 ,0+ x xx时当 C x xx 1 ,2+ 时当的最小值为 2 D当 x xx 1 ,20时无最大值 6函数 bx axf =)(的图象如图，其中 a、b 为常数， 则下列结论正确的是 （ ） A0, 1ba B0, 1ba 1 -1 2 1 x O y C0, 10ba D0, 10ba 7已知直线 m、n 与平面,，给出下列三个命题： 若;/,/,/nmnm则 若;,/mnnm则 若.,/,则mm 其中真命题的个数是 （ ） A0 B1 C2 D3 8已知qpabqap是则, 0:, 0:的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知定点
4、 A、B 且|AB|=4，动点 P 满足|PA|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ） A 2 1 B 2 3 C 2 7 D5 10从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人 游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案 共有 （ ） A300 种 B240 种 C144 种 D96 种 11如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2， AD=1，点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是（ ） A 5 15 arccos B 4 C 5 10
5、arccos D 2 12)(xf是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且0)2(=f， 则方程)(xf=0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A5 B4 C3 D2 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置 奎屯 王新敞 新疆 13 6 ) 1 2( x x 展开式中的常数项是 （用数字作答） 奎屯 王新敞 新疆 14在ABC 中，A=90，kACkAB则),3 , 2(),1 ,(=的值是 奎屯 王新敞 新疆 D1C1 B1 A1 G E D C B F A 15非负实数yx,满足yx yx y
6、x 3 , 03 , 02 + + + 则的最大值为 奎屯 王新敞 新疆 16把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数xxf 2 log3)(+=的图象与)(xg的图象关于 对称，则函数)(xg= 奎屯 王新敞 新疆 （注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知 5 1 cossin, 0 2 =+xxx . （I）求 sinxcosx 的值； （）求 x xx tan1 sin22sin 2 + 的值. 18 （本小题满分 1
7、2 分） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与，投中得 1 分，投不中得 0 分. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19已知 n a是公比为 q 的等比数列，且 231 ,aaa成等差数列. （）求 q 的值； （）设 n b是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n2 时，比 较 Sn与 bn的大小，并说明理由. 20 （本小题满分 12 分） 已知函数daxbxxxf+= 23 )(的图象过点 P（0，2） ，且在点 M（1，f（1） ） 处的切
8、线方程为076=+ yx. （）求函数)(xfy =的解析式； （）求函数)(xfy =的单调区间. 21 （本小题满分 12 分） 如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （）求证 AE平面 BCE； （）求二面角 BACE 的大小； （）求点 D 到平面 ACE 的距离. 22 （本小题满分 14 分） 已知方向向量为 v=(1,3)的直线 l 过点 （0， 23） 和椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上
9、. （）求椭圆 C 的方程； （） 是否存在过点 E （2， 0） 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N， 满足6 3 4 =ONOMcot MON0（O 为原点）.若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由. E x O y F E DC B A 2005 年高考年高考文文科数学科数学 福建福建卷卷 试题及答案试题及答案 参考答案参考答案 1 D 2 A 3 A4 C 5 B 6 D 7 C8 B 9 C10 B 11 D 2 12 B 13 240 奎屯 王新敞 新疆14 3 2 奎屯 王新敞 新疆15 9 奎屯 王新敞 新疆 16 x轴 , 2 3log x 奎屯 王新敞 新疆y
10、轴 , 2 3log () x+ 奎屯 王新敞 新疆 原点 , 2 3 log () x 奎屯 王新敞 新疆 yx=直线 , 3 2x 奎屯 王新敞 新疆 17 （本小题满分 12 分） 已知 5 1 cossin, 0 2 =+xxx . （I）求 sinxcosx 的值； （）求 x xx tan1 sin22sin 2 + 的值. 本题主要考查三角函数的基本公式、 三角恒等变换、 各个象限内三角函数符号的特点等基本 知识，以及推理和运算能力 奎屯 王新敞 新疆 解法一： （）由, 25 1 coscossin2sin, 5 1 cossin 22 =+=+xxxxxx平方得 即 . 25
11、 49 cossin21)cos(sin. 25 24 cossin2 2 =xxxxxx 又, 0cossin, 0cos, 0sin, 0 2 xxxxx 故 . 5 7 cossin=xx 解法二： （）联立方程 =+ =+ . 1cossin , 5 1 cossin 22 x xx 由得,cos 5 1 sinxx=将其代入，整理得, 012cos5cos25 2 =xx = = = . 5 4 cos , 5 3 sin , 0 2 . 5 4 cos 5 3 cos x x xxx 或 故 . 5 7 cossin=xx () 24 175 II 18 （本小题满分 12 分）
12、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与，投中得 1 分，投不中得 0 分. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）依题意，记“甲投一次命中”为事件 A， “乙投一次命中”为事件 B，则 ( ) 1 , 2 P A =( ) 2 5 P B =，( ) 11 1, 22 P A = =( ) 23 1 55 P B = = 恰好命中一次的概率为P(A)P(B)+P(A)P(B)=
13、1 2 （） “甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙 两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件 C 的对立事件， 而( ) 0202 02 22 11239 2255100 P CCC = 奎屯 王新敞 新疆 甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为( ) 91 1 100 P C= 奎屯 王新敞 新疆 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为 91 100 奎屯 王新敞 新疆 另法： （II） “甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、 乙两人在罚球线各投球二次，这四次
14、投球均未命中”的事件 C 的对立事件， 而( ) 0202 02 22 11239 2255100 P CCC = 奎屯 王新敞 新疆 甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为( ) 91 1 100 P C= 奎屯 王新敞 新疆 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为 91 100 奎屯 王新敞 新疆 19已知 n a是公比为 q 的等比数列，且 231 ,aaa成等差数列. （）求 q 的值； （）设 n b是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n2 时，比 较 Sn与 bn的大小，并说明理由. 本题主要考查等
15、差数列、等比数列及不等式的基本知识，考察利用分类讨论的思想分析和 解决问题的能力 （1） 由题意可知， 22 312111 1 2,2,210,1 2 aaaa qaa qqqqq=+=+ = 即或； （II） ()()13 12, 22 n nn n qn + =+= n 时，S ()() 1 12 2,0 2 nnn nn nSbS + = 当2 nn nSb时， ()91 , 24 n n n qS = =若则 ()()110 4 nn nn Sb =同理 29,10,11. nnnnnn nSb nSb nSb =时，时，时， 20 （本小题满分 12 分） 已知函数daxbxxxf+
16、= 23 )(的图象过点 P（0，2） ，且在点 M（1，f（1） ） 处的切线方程为076=+ yx. （）求函数)(xfy =的解析式； （）求函数)(xfy =的单调区间. 本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能 力 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）由函数的图像经过点（0，2）可知，( ) 32 2f xxbxcx=+， ( ) 2 32fxxbxc=+，( )f x在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为076=+ yx. ()1211 3 326 bcf bc bc += = += 解得，( ) 32 332f xxxx=+ （II）( )
17、2 363fxxx= ( )( )01212,01212fxxxfxx + +由得到或由得到 ( )-1212,12)f x +在（，），（+，）内是增函数，在(1- 2内是减函数。 21 （本小题满分 12 分） 如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （）求证 AE平面 BCE； （）求二面角 BACE 的大小； （）求点 D 到平面 ACE 的距离. 本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识， 考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力 奎屯 王新敞 新疆 F E DC B A （I）
18、,BFACEBFAE平面 D-AB-EABCDABE二面角为直二面角， 平面平面， BCABBCABEBC,AE又，平面， BFBCEBFBC=BBCEAE又平面，平面。 （II）连结 AC、BD 交于 G，连结 FG，ABCD为正方形，BDAC，BF平面 ACE， FGAC，FGB 为二面角 B-AC-E 的平面角，由（I）可知，AE平面 BCE，AEEB， 又 AE=EB，AB=2，AE=BE=2， 在直角三角形 BCE 中，CE= 22 2 22 6, 63 BC BE BCBEBF CE += 在 正 方 形 中 ， BG=2， 在 直 角 三 角 形BFG中 ， 2 6 3 sin
19、3 2 BF FGB BG = 二面角 B-AC-E 为 6 arcsin 3 奎屯 王新敞 新疆 （III） 由 （II） 可知， 在正方形 ABCD 中， BG=DG， D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离，BF平面 ACE，线段 BF 的 长度就是点 B 到平面 ACE 的距离，即为 D 到平面 ACE 的距离 奎屯 王新敞 新疆所以 D 到平面的距离为 22 3 3 3 = 奎屯 王新敞 新疆 另法：过点 E 作ABEO 交 AB 于点 O. OE=1. 二面角 DABE 为直二面角，EO平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h，, ACDEACED
20、 VV = . 3 1 3 1 EOShS ACDACB = AE平面 BCE，.ECAE . 3 32 62 2 1 122 2 1 2 1 2 1 = = = ECAE EODCAD h 点 D 到平面 ACE 的距离为. 3 32 解法二： （）同解法一. （）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O G F E DC B A O 点平行于 AD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图. AE面 BCE，BE面 BCE， BEAE ， 在ABOABAEBRt为中, 2,=的中点， ).2 , 1 , 0(),0 , 0 ,
21、1 (),0 , 1, 0(. 1CEAOE= ).2 , 2 , 0(),0 , 1 , 1 (=ACAE 设平面 AEC 的一个法向量为),(zyxn =， 则 =+ =+ = = . 022 , 0 , 0 , 0 xy yx nAC nAE 即 解得 = = , , xz xy 令, 1=x得) 1 , 1, 1 ( =n是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为)0 , 0 , 1 (=m， . 3 3 3 1 | , ),cos(= = nm nm nm 二面角 BACE 的大小为. 3 3 arccos （III）AD/z 轴，AD=2，)2 , 0 , 0(
22、=AD， 点 D 到平面 ACE 的距离. 3 3 2 3 2 | | ,cos|= = n nAD nADADd 22 （本小题满分 14 分） 已知方向向量为 v=(1,3)的直线 l 过点 （0， 23） 和椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. （）求椭圆 C 的方程； （） 是否存在过点 E （2， 0） 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N， 满足6 3 4 =ONOMcot MON0（O 为原点）.若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由. 本题考查直线、椭圆及平面向量的基
23、本知识，平面解析 几何的基本方法和综合解题能力 （I）解法一：直线323:=xyl， M F E DC B A y x O z E x O y 过原点垂直l的直线方程为xy 3 3 =， 解得. 2 3 =x 椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆 C 的右准线上， . 3 2 3 2 2 = c a 直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. . 2, 6, 2 22 =bac 故椭圆 C 的方程为. 1 26 22 =+ yx 解法二：直线333:=xyl. 设原点关于直线l对称点为（p，q） ，则 = = . 13 32 2 3 2 p q pq 解得 p=3. 椭圆中心（0，0）关
24、于直线l的对称点在椭圆 C 的右准线上， . 3 2 = c a 直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. . 2, 6, 2 22 =bac 故椭圆 C 的方程为. 1 26 22 =+ yx （II）解法一：设 M（ 11, y x） ，N（ 22, y x）. 当直线 m 不垂直x轴时， 直线)2(:+=xkym代入， 整 理得 , 061212) 13( 2222 =+kxkxk , 13 612 , 13 12 2 2 21 2 2 21 + = + =+ k k xx k k xx , 13 )1 (62 13 612 4) 13 12 (14)(1| 2 2 2 2 2 2 2
25、 2 21 2 21 2 + + = + + +=+= k k k k k k kxxxxkMN 点 O 到直线 MN 的距离 2 1 |2| k k d + = ,cot6 3 4 MONONOM=即 , 0 sin cos 6 3 4 cos| = MON MON MONONOM N M E x O ,6 3 4 |. 6 3 2 ,6 3 4 sin|= dMNSMONONOM OMN 即).13(6 3 4 1|64 22 +=+kkk 整理得. 3 3 , 3 1 2 =kk 当直线 m 垂直 x 轴时，也满足6 3 2 = OMN S. 故直线 m 的方程为, 3 32 3 3 +
26、=xy 或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 经检验上述直线均满足0ONOM. 所以所求直线方程为, 3 32 3 3 +=xy或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 解法二：设 M（ 11, y x） ，N（ 22, y x）. 当直线 m 不垂直x轴时，直线)2(:+=xkm代入，整理得 , 061212) 13( 2222 =+kxkxk , 13 12 2 2 21 + =+ k k xx E（2，0）是椭圆 C 的左焦点， |MN|=|ME|+|NE| = . 13 ) 1(62 62) 13 12 ( 6 2 2)()()( 2 2 2 2 212 2 1 2 + + =
27、+ + =+=+ k k k k axx a c x c a ex c a e 以下与解法一相同. 解法三：设 M（ 11, y x） ，N（ 22, y x）. 设直线2:= tyxm，代入，整理得. 024)3( 22 =+tyyt , 3 2 , 3 4 2 21 2 21 + = + =+ t yy t t yy . ) 3( 2424 3 8 ) 3 4 (4)(| 22 2 2 2 2 212121 + + = + + + =+= t t tt t yyyyyy ,cot6 3 4 MONONOM=即 , 0 sin cos 6 3 4 cos| = MON MON MONONOM
28、 N M Ex O y . 6 3 2 ,6 3 4 sin|= OMN SMONONOM =+= | 2 1 21 yyOESSS OENOEMOMN . )3( 2424 22 2 + + t t 22 2 )3( 2424 + + t t =6 3 2 ，整理得.3 24 tt = 解得, 3=t或. 0=t 故直线 m 的方程为, 3 32 3 3 +=xy或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 经检验上述直线方程为. 0ONOM 所以所求直线方程为, 3 32 3 3 +=xy或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 22 （本小题满分 14 分） 已知数列an满足 a1=a,
29、 an+1=1+ n a 1 我们知道当 a 取不同的值时，得到不同的数列，如 当 a=1 时，得到无穷数列：. 0 , 1, 2 1 :, 2 1 ;, 3 5 , 2 3 , 2 , 1=得到有穷数列时当a （）求当 a 为何值时 a4=0； （） 设数列bn满足 b1=1, bn+1=)( 1 1 + Nn bn ， 求证 a 取数列bn中的任一个数， 都可以得到一个有穷数列an； （）若)4(2 2 3 nan，求 a 的取值范围. 本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆 （I）解法 1： 14321 1 1112 1,0,1,
30、; 123 nn nn aaaaaaa aa + + = += = = 解法 2： 112344 1121322 ,1,.,0, 113 n n aaa aa aaaaaa aaaa + + = += + （II） 1 1 11 ,1, , 1 nnnnn nn bbabbab bb + + =+= 若 取数列的一个数即, 132 121 1111 11,11, nn nn bab abab = += += += += 2 则a 11 1 1 1,10 nn n aba a = = += 所以数列 n a只能有 n 项为有穷数列 奎屯 王新敞 新疆 （III） ()()()() 1 1 1 1 1 31 1212 233 245525 3 222 3 22 2 n n nn n n a a annnan a a + 所以() 4 22332 24220 33221 n a anaa a + + 这就是所求的取值范 围 奎屯 王新敞 新疆
