1、第八章第八章 数学建模简介数学建模简介n8.1 数学建模教育的发展 n8.2 数学建模过程及实例n8.3 大学生数学建模竞赛的由来 n8.4 优秀参赛论文与评述n8.5 竞赛题选 8.1 数学建模教育的发展数学建模教育的发展 六十多年来，计算机的迅速发展，对各行各业都产生了巨大的影响.今天，几乎没有哪个部门、哪一个行业不再使用计算机，四个现代化从某种意义上来说就是计算机化.而衡量一个国家经济发达的重要标志之一，就是计算机的普及和应用程度.同样地，伴随着计算机的发展，数学科学也取得了飞速的发展，新的数学分支层出不穷，大量的新兴数学方法在科学研究和生产管理各种领域中被成功地应用，现代数学已不再仅仅
2、是其他科学的基础，而是直接发挥着第一生产力的作用.随着计算机及数学软件的普及，数学建模活动的广泛开展，已有越来越多的人认识到数学教学不仅要注重演绎思维、归纳思维和创造思维等基本能力的培养，而且要注意运用数学方法和计算机技术解决实际问题能力的培养.将数学软件和数学建模融入数学教学的全过程是值得深入研究和大力实践的重要课题.数学模型（Mathematical Modelling）并不是新东西，尽管过去很长时间很少用这一术语，但确实在很久以前就建立了不少数学模型.例如，欧几里得几何，牛顿、莱布尼兹发明的微积分都是很好的数学模型.什么叫数学模型呢？可以说有了数学就要用数学去解决实际问题，用数学的语言、
3、方法去近似地刻画实际问题，而这种刻画的数学表达就是一个数学模型.其过程就是数学建模的过程.数学模型的建立要有实际应用才可能得到迅速的发展.由于以前没有必要的计算手段，这些模型往往不能实用，因此发展缓慢，也停留在理论上.正是由于计算机的飞速发展，解决了计算推理、计算速度等问题，数学建模才有了如今的快速发展.大约20世纪70年代末80年代初，英国著名的剑桥大学专门为研究生开设了数学建模课程，差不多同时，在欧洲、美国等工业发达国家也开始把数学建模的内容正式列入研究生、大学生以至中学生的教学计划中去，并于1983年开始举行两年一次的“数学建模和应用数学国际会议”，进行定期的交流.竞赛促进了数学建模教育
4、，许多学校都开设了数学建模的必修课和选修课，数学建模的教材也很快地发展起来.数学建模教育的意义有以下几点：（i）数学建模本身就是将数学应用于实际，是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具.顾名思义，Modelling一词在英文中有塑造艺术的意思，可以理解从不同的侧面、角度去考察问题就会有不尽相同的模型；而数学模型的创造又带有一定的艺术特点，特别是现在的数学建模竞赛题往往要给予学生有更多的想象和发挥的余地.（ii）数学建模竞赛推动了数学建模教育的发展，数学建模教育能提高学生理论联系实际的能力，能提高学生综合应用数学工具，特别是计算机应用的能力.目
5、前，集体协作的团队精神在现代管理和科研中都有十分重要的意义，建模竞赛是三人组队，互相协作，共同完成论文.因此，建模竞赛对提高学生的团队合作能力是一个很好的锻炼和培养.（iii）任何学科由低级到高级的发展无不与数学紧密相连，理工科的不说了，就是文科、管理类也经常需要利用数学模型来刻画和分析问题.事实上有许多数学建模课题都是管理方面的内容，比如2003年的竞赛题B露天矿生产的车辆调度优化问题.8.2 数学建模过程及实例数学建模过程及实例 数学建模，如果一定要给出一个定义的话，可以说它是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示.
6、”从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具.数学建模的创造带有一定的艺术的特点.而数学建模最重要的特点是要接受实践的检验、有一个多次修改模型渐趋完善的过程.建模示例之一建模示例之一 问题问题椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？本例讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了，这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？模型假设模型假设：对椅子和地面需要先作
7、一些必要的假设.（i）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈长方形.（ii）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.（iii）对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.模型建立模型建立：关键是要用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来.首先要用变量表示椅子的位置.注意到椅脚连线呈长方形，以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置，在图8.2中椅脚连线为长方形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子绕中心
8、点O旋转角度后，长方形ABCD转至ABCD的位置，所以对角线AC与x轴的夹角表示了椅子的位置其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数.虽然椅子有四只脚，故有四个距离.但由于长方形的中心对称性，所以只要设两个距离函数就行了.记A、D两脚与地面距离之和为f()，B、C两脚与地面距离之和为g()，且f()，g()0，由假设（2）可知，f和g都是连续函数.由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，f()和g()中至少有一个为零.当0时，不
9、妨设g()0，f()0，这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：命题：已知f()和g()是的连续函数，对任意，f()g()0，且g()0，f(0)0，则在(00)内存在0，使f(0)g(0)0.模型求解：将椅子旋转180()，边AD和BC互换.由g(0)0和f(0)0可知g()0和f()0.令h()f()g()，则h(0)0和h()0.则由f和g的连续性知h也是连续函数.根据连续函数的基本性质，必存在0(00，使h(0)0，即f(0)g(0)最后，因为f(0)g(0)0，所以f(0)g(0)0.建模示例之二建模示例之二 问题问题商人们怎样安全过河？商人们怎样安全过河？
10、三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行.随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人抢货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，试问商人们怎样才能安全渡河呢？建模示例之三建模示例之三 问题问题传染病传播规律传染病传播规律 数学建模的这种反复迭代性质正反映了人们运用这种方法逐步逼近、真正认识、掌握实际问题的过程，从而达到预测、预报或指导实践以至指导生产的目的.今天，在某种意义下讲，数学建模已经发展成一个相对独立的数学分支，而且不断向应用数学和纯粹数学提供大量的挑战性问题，从而推进了数学科学的发展.8.3 大学生数学建模竞赛的由来大学生数学建模竞赛的由来
11、1985年以前，美国只有一种大学生数学竞赛The William Lowell Putnam mathematical Competition，简称Putnam（普特南）数学竞赛，这是由美国数学协会（MAAMathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每试6题，每试各为3小时.近年来在次年的美国数学月刊（The American Mathematical Monthly）上刊出竞赛小结、奖励名单、试题及部分题解.这是一个历史悠久、影响很大的全美大学生数学竞赛，自1948年举行第一届竞赛以来已经55届了.主要考核基础知识
12、、逻辑推理及证明的能力、思维敏捷、计算能力等.试题中很少有应用题，完全不能用计算机，是闭卷考试的.1 9 8 5 年 开 始 了 第 一 届 美 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛（Mathematical Contest in Modelling，简称MCM），形式是通讯比赛，每年一届，一般在2月份的一个周末（周五至周日）举行.竞赛的主持者是美国数学及其应用联合会（Consortium for Mathematics and Its Applications，简称COMAP），也会得到一些其他的单位或学校的协助.2003年的协助单位有美国运筹及工业和应用数学协会（INFORMS）、美国工
13、业与应用数学学会（SIAM）、美国数学协会（MAA）MCM的宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种结构鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程.每个参赛队（3人）有一名指导教师，他（或她）在比赛开始前负责对队员的训练和战术指导，并接受考题，然后即由学生自行参赛，指导教师不得参赛.比赛于每年2月或3月的某个周末（大约）进行，共有三天时间.每次只有两个考题（一般是连续和离散各一题），每队只需任选一题.我国大学生于1989年开始参加美国MCM（北京理工大学叶其孝教授于1988年访问美国时，应当时MCM负责人BAFusaro教授之邀访问他所在学校时，
14、商定了中国大学生组队参赛的有关事宜），到2003年已有国内近80所大学300队参赛.历年来都取得了较好的成绩.在我国不少高校教师也萌发了组织我国自己的大学生数学建模竞赛的想法.上海市率先于1990年12月79日举办了“上海市大学生（数学类）数学模型竞赛”于1991年6月79日举办了“上海市大学生（非数学类）数学模型竞赛”.西安也于1992年4月6日举办了“西安市第一届大学生数学模型竞赛”由中国工业与应用数学学会（CSIAM）举办的“1992年全国大学生数学模型联赛”也于1992年11月2729日举行，全国有74所大学的314个队参加.全国大学生数学建模竞赛简况全国大学生数学建模竞赛简况参 赛
15、校 数参 赛 队 数年份19961997199819992000200120021996199719981999200020012002总计3373734004605175295721683187421032657(416)3210(608)3887(780)4448(914)8.4 优秀参赛论文与评述优秀参赛论文与评述 19941994年全国大学生数学建模竞赛题目年全国大学生数学建模竞赛题目 A A题题 逢山开路逢山开路 要在一山上修建公路，首先测得一地点的高程，数据见表8.3（平面区域0 x5600，0 x4800，表中数据为坐标点的高程，单位：m）数据显示：在y3200处有一东西走向的山
16、峰；从坐标(2400，2400)到(4800，0)有一西北东南走向山谷；在(2400，2800)附近有一山口湖，其最高水位略高于1350m，雨季在山谷中形成一溪流，经调查知，雨量最大时溪流水面宽度W与（溪流最深处的）x坐标的关系可近似表示为 公路从山脚(0，800)处开始，经居民点(4000，2000)至矿区(2000，4000)已知路段工程成本及对路段坡度（上升高程与水平距离之比）的限制如表所示.)000 4400 2(52400 2)(4/3xxxW 试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线路位置（含桥梁、隧道）并估算该方案的总成本.如果居民点改为3600 x4000，2000
17、y2400的居民区，公路只需经过居民区即可，那么你的方案有什么改变.工程种类工程种类一般一般路线路线桥桥 梁梁隧隧 道道工程成本工程成本（元（元/m/m）3003002 2 0000001 1 500(500(长度长度300300 m)m)；3 3 000(000(长度长度300300 m)m)对坡度对坡度a a的的限制限制 0.1250.125 0 0 0.1000.100 摘摘 要要 本文讨论的是在山区修建公路的路线选择问题.针对问题，本文阐述了局部优化的原理，并根据这个原理提出了对山区的具体情形设置控制点的方法.这种设置控制点局部优化的方法对一般修路问题都适用.结合具体实例，详细说明具体
18、的设置控制点局部优化方法.利用计算机进行计算并配以图形处理显示，说明这种方法.对其他方法进行一些比较和讨论，考虑各种方法对本类问题的适用性.8.5 竞赛题选竞赛题选 19961996年全国大学生数学建模竞赛题目年全国大学生数学建模竞赛题目 A A题题 最优捕鱼策略最优捕鱼策略 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度.一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g），各年龄组鱼的自然死
19、亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.09105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵.产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.221011/(1.221011n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42 1.渔业上称这种方式为固定
20、努力量捕捞.建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122109，29.7109，10.1109，3.29109条，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.19961996年全国大学生数学建模竞赛题目年全国大学生数学建模竞赛题目B B题题 节水洗衣机节水洗衣机 我国淡水资源有限，节约用水人人有责.洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣
21、机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂流脱水加水漂洗脱水加水漂洗脱水（称“加水漂洗脱水”为运行一轮）请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少，选用适量的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果做出评价.20032003年全国大学生数学建模竞赛题目年全国大学生数学建模竞赛题目 B B题题 露天矿生产的车辆安排露天矿生产的车辆安排 钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地.许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡
22、车）运输来完成.提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务.露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石.一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石.每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的.每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5min.卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求.从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%1%，称为品位限制
23、）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8h）内满足品位限制即可.从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变.卡车的平均卸车时间为3min.所用卡车载重量为154t，平均时速28km/h.卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1t柴油.发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次.卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况.电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务.卡车每次都是满载运输.每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60m的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的.一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲
24、，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法.针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量.19891989 年美国数学建模竞赛题目年美国数学建模
25、竞赛题目 问题问题B B 飞机排队飞机排队 机场通常都是用“先来后到”的原则来分配飞机跑道，即当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入等候跑道的队伍.假设控制搭可以从快速联机数据库中得到每架飞机的如下信息：预定离开登机口的时间；实际离开登机口的时间；机上乘客人数；预定在下一站转机的人数和转机的时间；到达下一站的预定时间.又设共有七种飞机，载客量从100人起以50人递增，载客最多的一种是400人.试开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型.2003年美国数学建模竞赛题.PROBLEM A:The Stunt Person PROBLEM A:The Stunt Perso
26、n An exciting action scene in a movie is going to be filmed,and you are the stunt coordinator!A stunt person on a motorcycle will jump over an elephant and land in a pile of cardboard boxes to cushion their fall.You need to protect the stunt person,and also use relatively few cardboard boxes(lower c
27、ost,not seen by camera,etc.).Your job is to:determine what size boxes to use.determine how many boxes to use.determine how the boxes will be stacked.determine if any modifications to the boxes would help.generalize to different combined weights(stunt person&motorcycle)and different jump heights.Note that,in Tomorrow Never Dies,the James Bond character on a motorcycle jumps over a helicopter.
