1、27.1.2 圆的对称性（2）1.进一步认识圆，了解圆的对称性.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题引入垂径定理做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？OABDP互动探究线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD 理由如下：把圆
2、沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合 OABDPC想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？OABDCP试一试已知：在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD，垂足为P.求证：AP=BP，AC=BC,AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即AOB是等腰三角形.ABCD，AP=BP.又CP=CP，RtAPCRtBPC，AC=BC，AC=BC.（同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）AD=BD.由此易得u垂径定理OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.CD是直径，CDAB，AP=B
3、P,AC=BC,AD=BD.归纳总结u推导格式：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOCOABDCP1.已知：在O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.求证：ABCD，AC=BC,AD=BD.试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即AOB是等腰三角形.P是AB的中点，ABCD.即AP=BP，CD是直径，CDAB，AC=BC,AD=BD.（垂径定理）OABDCP2.已知：在O
4、中，CD是直径，AB是弦，求证：CD垂直平分AB.AC=BC,证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即AOB是等腰三角形.AC=BC,AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦相等.）OC=OC，AOCBOC，AOC=BOC，即OC是AOB的角平分线.CD垂直平分AB.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.
5、OABE解析：连接OA，OEAB，AB=2AE=16cm.16垂径定理及其推论的计算22221068AEOAOEcm.典例精析例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，1184(cm)22ADAB 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点
6、，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 222OAADOD 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.64C DCBOADOAB图a图b2cm或12cm 练 习 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC
7、 DOhrd2a2222ard d+h=r OABC1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2.O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=.10 3 cm3.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm当堂练习当堂练习 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF,CDOE 11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.两 条 辅 助 线：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形小小 结结
