1、2020 届江苏省百校联考高三年级第四次试卷 数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知集合 A2，5，B3，5，则 AB 2已知复数 z 满足1 2i i z （i 为虚数单位） ，则复数 z 的实部为 3A，B，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为 160，240，400，为 了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在 B 学校抽取的数学成绩的份数为 30，则抽取的样本容量为 4根据如图所示的伪代码，若输入的 x 的值为 2，
2、则输出的 y 的值 为 5某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 6已知数列 n a满足 1 1a ，且 11 30 nnnn aaaa 恒成立，则 6 a的值为 第 4 题 7已知函数( )Asin()f xx(A0，0， 2 )的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 第 11 题 第 12 题 第 7 题 8在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的焦距为 2c，若过右焦点且 与 x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为 c2，则双曲线的
3、离心率为 9已知 m，n 为正实数，且 mnmn，则 m2n 的最小值为 10已知函数( )4f xx x，则不等式(2)(3)f af的解集为 11如图，在一个倒置的高为 2 的圆锥形容器中，装有深度为 h 的水，再放入一 个半径为 1 的不锈钢制的实心半球后， 半球的大圆面、 水面均与容器口相平， 则 h 的值为 12如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC2，AD4，E，F 分别是 BC，CD 的中 点，若AE DE1 ，则AF CD的值为 13 函数( )f x满足( )(4)f xf x， 当 x2， 2)时， 32 23 2 ( ) 1, 2 xxaxa f x x ax ,
4、 ， 若函数( )f x在0，2020)上有 1515 个零点，则实数 a 的范围为 14已知圆 O： 22 4xy，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，A(2，2)，若 AP2AQ240， 则弦 PQ 的长度的最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 如图，已知在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，E，F，G 分别为 AC，PA，PB 的中 点，且 AC2BE （1）求证：PBBC； （2）设平面 EFG 与 BC 交于点 H，求证：H 为 BC 的中点 16 （
5、本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若m(a，bc)，n(sinA sinB，sinBsinC)，p(1，2)，且mn （1）求角 C 的值； （2）求n p的最大值 17 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的左顶点为 A， 左右焦点分别为 F1， F2， 离心率为 1 2 ， P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合） ，且PF1F2的周长为 6，点 P 关于原点的对 称点为 Q，直线 AP，QF2交于点 M （1）求椭圆方程； （2）若直线 PF2与椭圆交于另一点 N，且 22 AF MAF N
6、4SS ，求点 P 的坐标 18 （本小题满分 16 分） 管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具， 现欲用清洁棒清洁一个 如图 1 所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图 2 所示，一根长度为 L crn 的清洁棒在弯 头内恰好处于 AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，(0， 2 )） （1）请用角表示清洁棒的长 L； （2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长 度 19 （本小题满分 16 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 n S， n T， 且 11 22ba， 23 54b
7、S ， 22 11aT （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求 1 12 23 3nn n Maba ba ba b； （3）是否存在正整数 m，使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项？若存在，求 出所有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 4 ( )(1)exf x x ，( )1 a g x x (aR) （e 是自然对数的底数， e2.718） （1）求函数( )f x的图像在 x1 处的切线方程； （2）若函数 ( ) ( ) f x y g x 在区间4，5上单调递增，求实数 a 的取值范围； （
8、3）若函数( )( )( )h xf xg x在区间(0，)上有两个极值点 1 x， 2 x( 1 x 2 x)，且 1 ( )h xm恒成立， 求满足条件的m的最小值 （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 M 1 4 a b (a， bR)不存在逆矩阵， 且非零特征值对应的一个特征向量 1 1 ，求 a，b 的值 B选修 44：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系 xOy 的
9、原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 且在两种坐标系中取相 同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线 C1：sin()2 4 ，曲线 C2： cos2 sin x y （为参数） ，求曲线 C1，C2交点的直角坐标 C选修 45：不等式选讲 已知凸 n 边形 A1A2A3An的面积为 1， 边长 AiAi1 i a(i1， 2， ， n1)， AnA1 n a， 其内部一点 P 到边 AiAi1 i a(i1，2，n1)的距离分别为 d1，d2，d3，dn求证： 2 12 12 12 222 () n n n n aaa n a aa ddd 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10
10、 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，且 AD/ BC，ABBC，AB BC2AD2，侧面 PAB 为等边三角形，且平面 PAB平面 ABCD （1）求平面 PAB 与平面 PDC 所成的锐二面角的大小； （2）若CQCP(01)，且直线 BQ 与平面 PDC 所成角为 3 ，求的值 23 （本小题满分 10 分） 如图，正方形 AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿 灯之间的距离相等，AI 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯 30 秒，再左 转绿灯 30 秒，然后是红灯 1 分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行小明上学 需沿街道从 I 处骑行到 A 处（不考虑 A，I 处的红绿灯） ，出发时的两条路线(IF，IH) 等可能选择，且总是走最近路线 （1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？ （2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好 经过 E 处，且全程不等红绿灯的概率； （3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学 路线，且应尽量避开哪条路线？ 备用图 参考答案
