1、-1-习题课导数的综合应用课标阐释思维脉络1.掌握利用导数研究方程的根或函数零点的一般方法;2.掌握利用导数解决不等式恒成立问题的基本方法;3.掌握利用导数研究函数综合问题的方法.课前篇自主预习1.利用导数研究方程的根或函数零点(1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标;(2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与直线y=a交点的横坐标;(3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标.【思考】(1)对于函数y=f(x),xa,b,若f(x)c,
2、或f(x)c恒成立,则c满足的条件是什么?(2)对于函数y=f(x),xa,b,若存在x0a,b,使得f(x)c,或f(x)c成立,则c满足的条件是什么?提示:(1)cf(x)min或cf(x)max.(2)cf(x)max或cf(x)min.课前篇自主预习2.利用导数解决不等式恒成立问题(1)不等式f(x)恒成立,则f(x)max;(2)不等式f(x)恒成立,则f(x)min.【做一做1】方程x3-3x2-2=0实根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:令f(x)=x3-3x2-2,则f(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以f(x)有极大值f(0)=-2,极小值f(2)=-6,结合函
3、数图象可知其与x轴有一个交点,因此方程只有一个实数根.答案:B课前篇自主预习【做一做2】已知函数f(x)=x3-x2-2x+5,若当x-1,2时,f(x)7,即实数m的取值范围为(7,+).答案:B课前篇自主预习解析:函数定义域为(0,+),由f(x)=0得x=4,因此f(x)在(0,4)内单调递减,在(4,+)内单调递增,所以f(x)有唯一极小值f(4)=m-2ln 2+1,要使函数没有零点,须有m-2ln 2+10,解得m2ln 2-1.答案:(2ln 2-1,+)习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课前篇自主预习【做
4、一做4】设函数f(x)=x2ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x-2,2时,不等式f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课前篇自主预习习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用导数研究方程的根或函数的零点利用导数研究方程的根或函数的零点例1已知函数f(x)=x3-x2-x+a,g(x)=x3-2x-ln x+3,其中aR.(1)若方程f(x)=0只有一个实数根,
5、求实数a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数a的取值范围.分析(1)方程f(x)=0只有一个实数根,就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解;(2)函数h(x)有两个零点,就是其图象与x轴有两个交点.习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课堂篇探究学习探究一探究二探究
6、三思维辨析当堂检测x(0,1)1(1,+)h(x)+0-h(x)单调递增极大值单调递减因此h(x)在x=1取得极大值h(1)=a-3,即为函数h(x)的最大值.要使函数h(x)有两个零点,其图象与x轴应有两个交点,因此极大值h(1)=a-30.解得a3.故a的取值范围为(3,+)习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数
7、研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知函数f(x)=x2-aln x(aR),当x=1时f(x)取得极值.(1)求a的值;(2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(kR)的图象的交点个数.解:(1)函数f(x)定义域为(0,+),f(x)=2x-.因为当x=1时,f(x)取得极值,所以f(1)=2-a=0,即a=2.习题课导数的综合应用
8、人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2ln x+x2-2x-k=2x2-2ln x-2x-k,因为x0,所以2x+10.令F(x)=0,则x=1,当x(0,1)时,F(x)0.因此函数F(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.所以F(x)min=F(1)=-k.当-k0,即k0时,两图象交点个数为0;当-k=0,即k=0时,两图象交点个数为1;当-k0时,两图象交点个数为2.习题课导数的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件习题课导数
9、的综合应用人教A版高中数学选修11PPT课件课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用导数解决不等式恒成立问题利用导数解决不等式恒成立问题例2已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意x(0,+),2f(x)g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.分析对于(1)可通过解不等式f(x)0和f(x)0得到单调区间;对于(2),应先将不等式进行参数分离,把欲求范围的参数a移至不等式的一边,然后利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)函数f(x)=xln x的定
10、义域为(0,+),f(x)=ln x+1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:当x=1时,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2,若ah(x)在x(0,+)内恒成立,则ah(x)max=-2,即a-2,故a的取值范围是-2,+).x(0,1)1(1,+)h(x)+0-h(x)单调递增极大值单调递减课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟不等式恒成立问题的求解策略有关不等式的恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题,求解时,要确定这个函数,看哪一个变量的范围已
11、知,即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数研究其最值,最后求得参数的取值范围.一般地,f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知函数f(x)=x3-2x2+ax+b(a,bR),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l与直线y=x+3垂直.(1)求实数a的值;(2)若方程f(x)=0有3个不同的实数根,求实数b的取值范围.解:(1)因为f(x)=x3-2x2+ax+b,所以f(x)=x2-4x+a.直线y=x+3的斜率等于1,依题意知在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l的斜
12、率等于-1,故方程x2-4x+a=-1有且只有一个实数根,于是=16-4(a+1)=0,解得a=3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)由(1)知f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0得x1=1,x2=3,当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:要使方程f(x)=0有3个不同的实数根,应使函数y=f(x)的图象与x轴有3个不同的交点,x(-,1)1(1,3)3(3,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值b+单调递减极小值b单调递增课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测函数的极值、最值与导数函数的极值、最值与导数例3已知函数f(x)=x3+ax2+b的
13、图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间0,t(0t3)上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f(x)=3x2-6x.由f(x)=0,得x=0或x=2.当0t2时,在区间0,t上,f(x)0,f(x)在0,t上是减函数,所以f(x)max=f
14、(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.当2t3时,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)0,所以f(x)max=f(0)=2.x0(0,2)2(2,t)tf(x)0-0+f(x)2-2t3-3t2+2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用导数求函数极值与最值的解题策略(1)求极值时一般需确定f(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点.
15、(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究 在本例条件不变的情况下,若关于x的方程f(x)=c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围.解:令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,则g(x)=3x2-6x=3x(x-2).在x1,2)内,g(x)0.要使g(x)=0在1,3上恰有两个相异的实根,故实数c的取值范围为(-2,0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用导数解决参数的综合问题典例已知函数f(x)=x2-2(a+2)ln x+
16、ax,aR.(1)当a=-1时,求函数f(x)的最小值;(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,都有 恒成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.分析(1)将a的值代入,先求极值,再得到最值;(2)将所给不等式进行转化,化为f(x2)-ax2f(x1)-ax1,从而可构造函数g(x)=f(x)-ax,通过g(x)的单调性,利用导数转化为不等式恒成立问题即可求得.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因此当x(0,2)时,f(x)0,所以f(x)在x=2时取得极小值也就是最小值,故函数最小值为f(2)=-2ln 2.即f(x2)-f(x1)a(x2-x
17、1),f(x2)-ax2f(x1)-ax1,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛 通过阅卷统计分析,失分主要出现在第二问,造成失分的原因是:(1)不能将所给不等式转化,为构造新函数奠定基础;(2)虽能对不等式转化,但不能将转化后的不等式合理变形,从而构造新函数;(3)构造新函数后,无法根据题意推出其单调性;(4)在得到新函数的单调性后,无法利用导数转化为恒成立问题求解;(5)分离参数后无法准确求得函数最值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练设函数f(x)=-kln x(k0).(1)求f(x)的单调区间和
18、极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.若不等式2x+cos x-m2x+cos x,令f(x)=2x+cos x,则f(x)=2-sin x0,即f(x)在-,0上单调递增,故其最大值为f(0)=1,故实数m的取值范围是(1,+).答案:C2.方程x3-6x2+9x-4=0实根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:利用导数,求出函数的极大值为0,极小值为-4,再结合函数的单调性,通过数形结合可得.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.函数f(x)=x3-3x在0,3上的最小值为.解析:依题意f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故函数f(x)在0,1上单调递减,在1,3上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得最小值,即f(x)min=f(1)=-2.故函数在区间0,3上的最小值为-2.答案:-2课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.设函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x3时,f(x)af(x)恒成立,求实数a的取值范围.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
