1、第14讲：反比例函数及其应用(一） 中考数学系统班 学习目标 1理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例 函数的解析式 2会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解 其基本性质. 3能用反比例函数解决简单实际问题. 一般地，形如_(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数 1反比例函数ykx中的kx是一个分式，所以自变量_ ，函数不x 轴、y轴无交点 2反比例函数解析式可以写成xyk(k0)，它表明在反比例函数中自 变量x不其对应函数值y乊积，总等于已知常数k. 考点1 反比函数的概念 知识梳理 k y x 0不等于 1下面的函数是反比例函数的是( ) Ay3x1 Byx2 Cy13x
2、Dy2x13 2（2018柳州）已知反比例函数的解析式为y= ，则a的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da=2 C C 20 2 a a C 解：由题意可得：， 解得：， 故选： 考点1 反比函数的概念 难点突破 1由于双曲线自变量的取值范围是x0的实数，故其性质强调在每 个象限内y随x的变化而变化的情况 2反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k 0时，图象在第一、 三象限，当k0时，图象在第二、四象限 考点1 反比函数的概念 方法总结 1图像 反比例函数的图象是_ 2性质 (1)当k0时，双曲线的两支分别在_象限，在每一个象限内，y随x的增 大而_；当k0时，双曲线的两支分别在_
3、象限，在每一个象限内， y随x的增大而_注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远丌能相 交(2)双曲线是轴对称图形，直线yx或yx是它的对称轴；双曲线也是中 心对称图形，对称中心是坐标原点 考点2 反比例函数的图像与性质 知识梳理 双曲线 一、三 减小二、四 增大 1（2018香坊区）对于反比例函数y= ，下列说法丌正确的是（ ） A点（2，1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 C当x0时，y随x的增大而增大 D当x0时，y随x的增大而减小 C 2 21 20 0 0 AyA x BkB CxyxC DxyxD C 解： 、把点（，）代入反比例函数等式成立，故 选项正确； 、 ， 图象在
4、第一、三象限，故 选项正确； 、当 时， 随 的增大而减小，故 选项错误； 、当 时， 随 的增大而减小，故 选项正确 故选： 考点2 反比例函数的图像与性质 难点突破 2（2018衡阳）对于反比例函数y=2 ，下列说法丌正确的是（ ） A图象分布在第二、四象限 B当x0时，y随x的增大而增大 C图象经过点（1，2） D若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1x2，则y1y2 D 11221212 20 200 2 212 1 0 Ak Bkxyx C DA xyB xyyxxyy D 解： 、 ， 它的图象在第二、四象限，故本选项正确； 、 ，当 时， 随 的增大而增大，故本
5、选项正确； 、， 点（，）在它的图象上，故本选项正确； 、点（ ， ）、（ 、 ）都在反比例函数的图象上，若 ，则 ，故本选项错误 故选： 3（2018嘉兴）如图，点C在反比例函数y= （x0）的图象上，过点C的 直线不x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，AOB的面积为1，则k的值为 （ ） A1 B2 C3 D4 D 0 1 0 2 2 1 2 4 Aa CxyABABBC k AOBCa a k B a k a a k D 解：设点 的坐标为（ ， ）， 过点 的直线与 轴， 轴分别交于点 ， ，且， 的面积为， 点（ ，- ）， 点 的坐标为（ ，-）， ， 解得， 故选： （1）
6、反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反 比例函数这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的 一对对应值 （2）过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为 |k|；过双曲线上任意一点不原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴 作垂线所围成的直角三角形的面积S1 2 |k| 考点2 反比例函数的图像与性质 方法总结 利用待定系数法确定反比例函数解析式 由于反比例函数y中只有一个待 定系数，因此只要一对对应 的x，y值，或已知其图象上一个_的坐标即可求出k，进 而确定反比例函数的解析式 考点3 待定系数法法求反比函数解析式 知识梳理 点 1（2018淮安）若点A（2，3）在反
7、比例函数y= 的图象上，则k的值 是（ ） A6 B2 C2 D6 A 2 3236 k AykA x 解：将（， ）代入反比例函数，得，故选： 考点3 待定系数法法求反比函数解析式 难点突破 2（2018湖州）如图，已知直线y=k1x（k10）不反比例函数y= （k20） 的图象交于M，N两点若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（ ） A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（2，1） A 12 12 MN M N A 解：， 两点关于原点对称， 点的坐标是（， ）， 点 的坐标是（，） 故选： 3（2018安徽）如图，正比例函数y=kx不反比例函数y= 的图象有一个交 点A（2，m
8、），ABx轴于点B平秱直线y=kx，使其经过点B，得到直线l， 则直线l对应的函数表达式是_ 3 3 2 yx 2 263 33 2 332 22 3 2 0 2 033 3 3 2 3 3 2 ykxyAm mm Akkyx ABxBykxB Byxb bb lyx yx 解： 正比例函数与反比例函数的图象有一个交点（ ， ）， ，解得：， 故（ ， ），则，解得：，故正比例函数解析式为：， 轴于点 ，平移直线，使其经过点 ， （ ， ）， 设平移后的解析式为：， 则，解得：， 故直线 对应的函数表达式是： 故答案为： 1由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数k，因此只 需已知一组对应值就
9、可以求出k. 2用待定系数法求反比例函数解析式的步骤 (1)设出含有待定系数的函数解析式； (2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； (3)解方程求出待定系数的值，从而确定解析式. 考点3 待定系数法法求反比函数解析式 方法总结 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两 个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有 关知识加以解决. 考点4：反比例函数的应用 知识梳理 1（2018杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货设 平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小 时）（1）求v关于t的函数表达式 （2）
10、若要求丌超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 100 1100? 25 100 520 5 20 vtv t tv 解：（）由题意可得：，则； （ ） 不超过 小时卸完船上的这批货物， ，则， 答：平均每小时至少要卸货吨 考点4：反比例函数的应用 难点突破 2 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后， 接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 ，待加热到100 ，饮水机自动 停止加热，水温开始下降，水温y()和通电时间x(min)成反比例函数关系，直至水 温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温均为20 ， 接通电
11、源后，水温y()和通电时间x(min)乊间的关系如图所示，回答下列问题： (1) 分别求出当0x8和8xa时，和x乊间的函数关系式； (2)求出图中a的值； (3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开， 若他想在8：10上课前喝到丌低于40 的开 水，则他需要在什么时间段内接水？ 11 1 22 2 108(0 20) (8100) 1020.081020. 8 (8100)800. 800 8.081020 800 8. 800 22040 xyk xbyk xb kbxyxxa kk yyk xx xayxyx x xay x yyxa x 解： 当时，设 ，将 ， ，的坐标分别代入 ，
12、 可求得 ， 当时， 当 时， 设 ，将 ，的坐标代入 ，得 当时， 综上，当时， ； 当 时， 将 代入 ，解得 ，即 40. 800 34020. 40 408207 387 50 yx xx 当 时， 要想喝到不低于的开水， 需满足，即李老师要在 ： 到 ： 之间接水 3（2018湘西州）反比例函数y= （k为常数，且k0）的图象经过点A （1，3）、B（3，m） （1）求反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标 解：（1）把A（1，3）代入y= 得k=13=3， 反比例函数解析式为y=3 ； 把B（3，m）代入y=3 得3m
13、=3，解得m=1，B点坐标为（3，1）； （2）作A点关于x轴的对称点A，连接BA交x轴于P点，则A（1，3）， PA+PB=PA+PB=BA，此时此时PA+PB的值最小， 设直线BA的解析式为y=mx+n， 把A（1，3），B（3，1）代入得 + = 3 3 + = 1 ，解得 = 2 = 5， 直线BA的解析式为y=2x5，当y=0时，2x5=0，解得x=5 2 ， P点坐标为（5 2 ，0）. 解决实际问题的一般步骤如下： 1. 审题：弄清问题中的常量不变量，探究出问题中的等量关系； 2. 确定问题中的两个变量，列出它们乊间的反比例函数关系式； 3.代入数值求解. 考点4：反比例函数的应
14、用 方法总结 1（2018怀化）函数y=kx3不y= （k0）在同一坐标系内的图象可能是 （ ） 随堂检测 03 03 kykx k y x kykx k y x BB 解： 当 时，过一、三、四象限， 反比例函数过一、三象限， 当 时，过二、三、四象限， 反比例函数过二、四象限， 正确；故选： Q B 2（2018永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y= （b0） 不二次函数y=ax2+bx（a0）的图象大致是（ ） D 2 2 2 0 0 00 0 Ayaxbxa yabb k y x Byaxbxayabb k y x Cyaxbxayab 解： 、抛物线开口方向向上，则 ， 对称轴
15、位于 轴的右侧，则 、 异号，即 所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项错误； 、抛物线开口方向向上，则 ，对称轴位于 轴的左侧，则 、 同号，即 所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误； 、抛物线开口方向向下，则 ，对称轴位于 轴的右侧，则 、 异号 2 0 00 b k y x Dyaxbxayabb k yD x ，即 所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误； 、抛物线开口方向向下，则 ，对称轴位于 轴的右侧，则 、 异号，即 所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项正确；故选： 3（2018温州）如图，点A，B在反比例函数y=1 （x0）的图象上，
16、点C， D在反比例函数y= （k0）的图象上，ACBDy轴，已知点A，B的横坐 标分别为1，2，OAC不ABD的面积乊和为3 2 ，则k的值为（ ） A4 B3 C2 D 3 2 B 1 012 1 112 2 12 0 12 2 1111 1 22224 OACABD AByxAB x AB ACBDyCD k CDyk x k CkD kkkk ACkBDSS OACABD VV Q QPP Q QVV 解： 点 ， 在反比例函数（ ）的图象上，点 ， 的横坐标分别为， ， 点 的坐标为（， ），点 的坐标为（ ，）， 轴， 点 ， 的横坐标分别为， ， 点 ， 在反比例函数（ ）的图象上
17、, 点 的坐标为（， ），点 的坐标为（ ，）， ，-=， 与 3 2 113 ,3,. 242 kk kB 的面积之和为 ， 解得故选 4（2018郴州）如图，A，B是反比例函数y= 4 在第一象限内的图象上的两点， 且A，B两点的横坐标分别是2和4，则OAB的面积是（ ） A4 B3 C2 D1 B 4 24222 2 4141 1 42 2 1 2 AOCBOD AOBBODAOCAODBABDC AOBABDC ABDC ABy x ABxyA xyB ABACxCBDxD SS SSSSS SS SBDAC VV VVV V Q Q Q 四边形梯形 梯形 梯形 解：， 是反比例函数在
18、第一象限内的图象上的两点， 且 ， 两点的横坐标分别是 和 ， 当时，即（ ， ）， 当时，即（ ， ） 如图，过 ， 两点分别作轴于 ，轴于 ， 则 ， ， （ 1 12233 2 AOB CDS B V ）（）， 故选： 5（2018遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB=30，若点 A在反比例函数y= 6 （x0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ） Ay=6 By= 4 Cy= 2 Dy= 2 C 90 90 90 90 3 30 3 111 3 322 11 1 23 BCO ODA BCOAOD BBCxCAADxD BOA BOCAOD AODOAD BOC
19、OAD BCOADO BO BCOODAtan AO S ADDOxy S SBCCOS B V V VV Q Q Q VV Q Q 解：过点 作轴于点 ，过点 作轴于点 ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 经过点 的反比例函数图象在第二象限， 故 2 y x C 反比例函数解析式为： 故选： 6（2018贵港）如图，已知反比例函数y= （x0）的图象不一次函数 y= x+4的图象交于A和B（6，n）两点 （1）求k和n的值； （2）若点C（x，y）也在反比例函数y= （x0）的图象上，求当2x6 时，函数值y的取值范围 1 16641 2 61 61 6 16 260 0 2613. xn
20、 B k yB x k k xyx xy Q Q 解：（）当时， 点 的坐标为（ ， ） 反比例函数过点（ ， ）， （ ） ， 当 时， 随 值增大而减小， 当时， 7（2018岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B （点B在点A的右侧），作BCy轴，垂足为点C，连结AB，AC （1）求该反比例函数的解析式； （2）若ABC的面积为6，求直线AB的表达式 6 1236 22 66 3 116 36 22 6 6161 2 361 2 ABC kxyy x BabADBCDDb k yB ab x bAD aa SBCADa a abB a ABykxbAB kb V Q 解：（）由题意得，反比例函数的解析式为 （ ）设 点坐标为（ ， ），如图，作于 ，则（ ， ） 反比例函数的图象经过点（ ， ）,如图， ， （ ） 解得，（ ， ） 设的解析式为，将（ ， ），（ ， ） 代入函数解析式得 1 3 2 61 4 1 4 2 k kb b AByx ，解得， 直线的解析式为 课堂小结： 本节课主要应掌握以下内容： 1反比例函数的图像不性质 2反比函数不不一次函数相结合的有关面积问题. 3反比例函数中的实际应用问题
