1、6.4 多边形的内角和与外角和 第六章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 北师大版八年级下册数学教学课件 情境引入 学习目标 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式; (重点) 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. (难点) 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马 行空的想象力结合,创造了这个“abeilles bee pavilion”. 导入新课导入新课 情景引入 思考:你知道正六边形的内角和是多少吗? 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度? 问题1 三角形内角和是多少度? 三角形内角和 是180. 都是360. 问题3
2、 猜想任意四边形的内角和是多少度? 讲授新课讲授新课 多边形的内角和 一 猜想:四边形ABCD的内角和是360. 问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗? 猜想与证明 方法1:如图,连接AC, 四边形被分为两个三角形, 所以四边形ABCD内角和为 1802=360. A B C D A B C D E 方法2:如图,在BC边上任取一点E,连接AE,DE, 所以该四边形被分成三个三角形, 所以四边形ABCD的内角和为 1803-(AEB+AED+CED)=1803- 180=360. 方法3:如图,在四边形ABCD内部取一点E, 连接AE,BE,CE,DE, 把四边形分成四个三角形:AB
3、E,ADE,CDE,CBE. 所以四边形ABCD内角和为: 1804-(AEB+AED+CED+CEB) =1804-360=360. A B C D E A B C D P 方法4:如图,在四边形外任取一点P,连接PA、PB、 PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180 3 180 = 360. 这四种方法都运用 了转化思想,把四 边形分割成三角形, 转化到已经学了的 三角形内角和求解. 结论: 四边形的内角和为360. 例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对 角有什么关系?试说明理由. 解: 如图,四边形ABCD中, A+ C =180.
4、 A+B+C+D=(42) 180 = 360 , BD= 360(AC) = 360 180 =180. A B C D 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角互补. 典例精析 【变式题】如图,在四边形ABCD中,A与C互 补,BE平分ABC,DF平分ADC,若BEDF, 求证:DCF为直角三角形 证明:在四边形ABCD中,A与C互补, ABC+ADC=180, BE平分ABC,DF平分ADC, CDF+EBF=90, BEDF,EBF=CFD, CDF+CFD=90, 故DCF为直角三角形 运用了整体思想 A C D E B A B C D E F 问题5 你能仿照求四边形内角和的方
5、法,选一种方 法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180 3 = 540. 内角和为180 4 = 720. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角 形的个数 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 图形 边数 0 n -3 1 2 3 1 2 3 4 n -2 ( n -2 ) 180 1180 =180 2180 =360 3180 =540 4180 =720 由特殊到一般 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)180 . 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和
6、多 720,并且这个多边形的各内角都相等,这个多 边形的每个内角是多少度? 解:设这个多边形边数为n,则 (n-2)180=360+720, 解得n=8, 这个多边形的每个内角都相等, (8-2)180=1080, 它每一个内角的度数为10808=135 例3 如图,在五边形ABCDE中,C=100, D=75,E=135,AP平分EAB,BP平分 ABC,求P的度数 解析:根据五边形的内角和等于540,由C,D, E的度数可求EAB+ABC的度数,再根据角平 分线的定义可得PAB与PBA的角度和,进一步求 得P的度数 可运用了 整体思想 解:EAB+ABC+C+D+E=540, C=100,
7、D=75,E=135, EAB+ABC=540-C-D-E=230. AP平分EAB, PAB EAB, 同理可得ABP ABC, P+PAB+PBA=180, P=180-PAB-PBA =180 (EAB+ABC)=180 230=65 1 2 1 2 1 2 1 2 多边形的外角和 二 小刚每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少? 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所 组成的角叫做这个多边形的外角. 如图,A的外角是1. E B C D 1 2 3 4 5 A 多边形所有外角的和叫 做这个多边形的外角和. 概念学习 如图,在五边形的每个顶点处 各取一个外角 问题1:任意一个外角和它相邻的
8、内角有什么关系? 问题2:五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少? E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5180=900 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 = =5个平角 五边形内角和 = =5180 (52) 180 结论:五边形的外角和等于360. 问题3:这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系? 在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和 叫做n边形的外角和 n边形外角和 n边形的外角和等于360. (n2) 180 =360 =n个平角-n边形内角和 = n180 An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考:n边形的
9、外角和又是多少呢? 与边数无关 问题4:回想正多边形的性质,你知道正多边形的每 个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么? 每个内角的度数是 每个外角的度数是 (2) 180 , n n 360 . n 练一练:(1)若一个正多边形的内角是120 ,那么这是 正_边形. (2)已知多边形的每个外角都是45,则这个多边形是 _边形. 六 正八 正多边 形边数 内角 3 4 5 6 8 n 60 90 120 (2) 180n n 练一练 完成下面的表格: 108 135 例4 已知一个多边形,它的内角和等于外角和的 2倍,求这个多边形的边数. 解: 设多边形的边数为n. 它的内角和等于 (n2)18
10、0, 多边形外角和等于360, (n2)180=2 360 . 解得 n=6. 这个多边形的边数为6. 例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2,求这个多边形的边数. 解法一:设这个多边形的内角为7x ,外角为 2x, 根据题意得 7x+2x=180, 解得 x=20. 即每个内角是140 ,每个外角是40 . 360 40 =9. 答:这个多边形是九边形. 还有其他 解法吗? 解法二:设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答:这个多边形是九边形. 18027 , 3602 n 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60,求这个多边形的每个内角的度数及边数 解
11、:设该正多边形的内角是x,外角是y, 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360, 则该正多边形的边数为360120=3, 故这个多边形的每个内角的度数是60,边数是三 条 60, 180, yx xy 60, 120. x y 例6 如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,求 BED的度数 解:由题意得 AB=AE,所以AEB= (180-A)=36, 所以BED=AED-AEB=108-36=72. 52180 =108 5 AAED , 1 2 当堂练习当堂练习 1.判断 (1)当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时,它的外角和也随着增加.(
12、 ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等 ( ) 2.一个正多边形的内角和为720,则这个正多边形 的每一个内角等于_ 120 3.如图所示,小华从点A出发,沿直线前进10米后左 转24,再沿直线前进10米,又向左转24, 照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,走的 路程一共是_米 150 4.一个多边形的内角和不可能是( ) A.1800 B.540 C.720 D.810 D 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形 内角和等于( ) A.360 B.540 C.720 D.900 C 6. 一个多边形的内角和为1800,截去一个角 后,求得到的多边形的内角和. 解:18
13、0018010, 原多边形边数为10212. 一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能 不变,也可能加1, 新多边形的边数可能是11,12,13, 新多边形的内角和可能是1620,1800,1980. 能力提升:如图,求12345 67的度数. 解:如图, 3489, 1234567 1289567 五边形的内角和540. 8 9 课堂小结课堂小结 多边形 的内角 和 内角和计 算 公 式 (n-2) 180 (n 3的整数) 外角 和 多边形的外角和等于360 特别注意:与边数无关. 正多 边形 内角= ,外角= (2) 180n n 360 n “部编本”语文教材解读 “部编本”语文教
14、材的编写背景。 (一)教材要体现国家意识、主流意识形态、党的认同,体现立德树人从娃娃抓起。 (二)体现核心素养,中国学生发展核心素养包括社会责任,国家认同、国际理解、人文底蕴、科学精神、审美情趣、学会学习、身心健康、实践创新。 (三)语文、道德与法制、历史三个学科教材统编是大趋势。 (四)“一标多本”教材质量参差不齐,“部编本”力图起到示范作用。 二、“部编本”教材的编写理念: (一)体现核心价值观,做到“整体规划,有机渗透”。 (二)接地气,满足一线需要,对教学弊病起纠偏作用。提倡全民阅读,注重两个延伸:往课外阅读延伸,往语文生活延伸。 (三)加强了教材编写的科学性,编研结合。 (四)贴近当代学生生活,体现时代性。 “部编本”语文教材的七个创新点: (一)选文创新:课文总数减少,减少汉语拼音的难度。 (二)单元结构创新更加灵活的单元结构体制,综合性更强。 (三)重视语文核心素养,重建语文知识体系。 (四)三位一体,区分不同课型。“教读”、“自读”和“课外阅读”三位一体,整体提高学生的语文素养。 (五)把课外阅读纳入教材体制。 (六)识字写字教学更加讲究科学性。 (七)提高写作教学的效果。 新教材注重了六个意识。 、国家意识。 、目标意识。 、文体意识,非常突出文学素养的培养。 、读书意识。 、主体意识。 、科研意识。 小结:好教,但教好不易。