1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，2，|4BxN x，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，0，1 D0，1，2 2 （4 分）已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是( ) A2 B 7 3 C 5 2 D3 3 （4 分）已知向量(2,0)a ，(1,
2、1)b ，则下列结论正确的是( ) A1a b B/ /ab C| |ab D()abb 4 （4 分）已知复数z在复平面上对应的点为( ,1)m，若iz为实数，则m的值为( ) A1 B0 C1 D1 或1 5 （4 分）下列函数中，值域为(1,)的是( ) A21 x y B 1 1 y x C 2 log |yx D 2 1yx 6 （4 分）若数列 n a满足： 1 1a ， 1 221(*) nn aanN ，则 1 a与 5 a的等比中项为( ) A2 B2 C3 D3 7 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 1，那么该四棱锥 体积为( ) A4 B1
3、0 C12 D30 第 2 页（共 17 页） 8 （4 分）设, a b为非零向量，则“| |abab”是“a与b不共线”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可 跳动 1 个单位或者 2 个单位的距离， 且每次至少跳动 1 个单位的距离 经过 3 次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为( ) A7 B9 C11 D13 10 （4 分）某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：( )yf t若 0 (0)fy，社 会需求量y的市场饱和水平估计为 500 万
4、件，经研究可得，( )f t的导函数( )f t满足： ( )( )(500( )(f tkf tf tk为正的常数） ，则函数( )f t的图象可能为( ) A B C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）抛物线 2 yx的焦点到其准线的距离等于 12 （5 分）已知( )f x为偶函数，当0x 时，( )f xlnx，则()fe 13 （5 分）在ABC中，若2a ， 2 cos 2 B ，ABC的面积为 1，则b 14（5 分） 圆心在x轴上， 且与双曲线 2 2 1 3 x y的渐近线相切的一个圆的方程可以是 15
5、（5 分）已知0a，函数 2 , ( ) , x x a f x x xa 若0a ，则( )f x的值域为 ；若方程 第 3 页（共 17 页） ( )20f x 恰有一个实根，则a的取值范围是 16 （5 分）小明用数列 n a记录某地区 2019 年 12 月份 31 天中每天是否下过雨，方法为： 当第k天下过雨时，记1 k a ，当第k天没下过雨时，记1(131) k ak 剟；他用数列 n b记 录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记1 k b ，当预报 第k天没有雨时， 记1(131) k bk 剟； 记录完毕后， 小明计算出 1 12231 31 25
6、a ba ba b， 那么该月气象台预报准确的的总天数为 ；若 1 12 2kk a ba ba bm，则气象台预报准 确的天数为 （用m，k表示） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （13 分）已知函数 2 1 ( )3sin sin()sin 22 f xxxx （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间0, 2 上的最大值 18 （13 分）如图是 2019 年 11 月 1 日到 11 月 20 日，某地区甲流疫情新增数据的走势 图 （）从这 20 天中任选 1
7、天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过 100 的概率； （）从新增确诊的人数超过 100 的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过 140 的天数，求X的分布列和数学期望； （）根据这 20 天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势 19（13分） 已知数列 n a为等比数列， 且0 n a ， 数列 n b满足 2 log nn ba 若 1 4b ，23b 第 4 页（共 17 页） （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n bm前n项和为 n S，若当且仅当5n 时， n S取得最大值，求实数m的取 值范围 20 （14 分）如图，在四棱锥CABEF中，平面ABEF 平面A
8、BC，ABC是边长为 2 的 等边三角形，/ /ABEF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点 （）求证：/ /EM平面ACF； （）求证：AMCE； （）求二面角EBCF的余弦值 21 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，过焦点且与x轴垂直的直线 被椭圆C截得的线段长为 2 （）求椭圆C的方程； （）已知点(1,0)A，(4,0)B，过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证： | | | |MBNAMANB 22 （14 分）已知函数 2 ( ) x f xx e （）求( )f x的单调区间； （）过点(1,0)P存在几条直
9、线与曲线( )yf x相切，并说明理由； （）若( )(1)f xk x对任意xR恒成立，求实数k的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，2，|4BxN x，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，0，1 D0，1，2 【解答】解：集
10、合 1A ，0，1，2，|40BxN x，1，2，3，则0AB ， 1，2， 故选：D 2 （4 分）已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是( ) A2 B 7 3 C 5 2 D3 【解答】解：数据从小到大排列为 1，2，2，3，3，3， 则这组数据的中位数是 15 (23) 22 故选：C 3 （4 分）已知向量(2,0)a ，(1,1)b ，则下列结论正确的是( ) A1a b B/ /ab C| |ab D()abb 【解答】解：因为(2,0)a ，(1,1)b ， 则2 10 12a b ，A错误；2 10 10 ，故B错误； | 2a ，|2b ，故C错误； (
11、1, 1)ab， 2 ()220b aba bb 故()abb，D正确 故选：D 4 （4 分）已知复数z在复平面上对应的点为( ,1)m，若iz为实数，则m的值为( ) A1 B0 C1 D1 或1 【解答】解：由题意，zmi， 再由()1izi mimi 为实数， 第 6 页（共 17 页） 得0m 故选：B 5 （4 分）下列函数中，值域为(1,)的是( ) A21 x y B 1 1 y x C 2 log |yx D 2 1yx 【解答】解：20 x ， 21 1 x ，即21 x y 的值域为(1,) 故选：A 6 （4 分）若数列 n a满足： 1 1a ， 1 221(*) n
12、n aanN ，则 1 a与 5 a的等比中项为( ) A2 B2 C3 D3 【解答】解：由 1 221 nn aa ，得 1 1 2 nn aa ， 又 1 1a ， 数列 n a是以 1 为首项，以 1 2 为公差的等差数列， 则 51 1 4143 2 aad 1 a与 5 a的等比中项为3 故选：C 7 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 1，那么该四棱锥 体积为( ) A4 B10 C12 D30 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体为四棱锥体： 11 (14)4310 32 V 故选：B 8
13、 （4 分）设, a b为非零向量，则“| |abab”是“a与b不共线”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：a与b不共线，则“| |abab” ，反之不成立，例如反向共线时 “| |abab”是“a与b不共线”的必要不充分条件 故选：B 9 （4 分）动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可 跳动 1 个单位或者 2 个单位的距离， 且每次至少跳动 1 个单位的距离 经过 3 次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为( ) A7 B9 C11 D13 【解答】解：根据题意，分 4 种情况讨论： ，动点
14、M向左跳三次，3 次均为 1 个单位，3 次均为 2 个单位，2 次一个单位，2 次 2 个 单位，故有6，5，4，3， ，动点M向右跳三次，3 次均为 1 个单位，3 次均为 2 个单位，2 次一个单位，2 次 2 个 单位，故有 6，5，4，3， ，动点M向左跳 2 次，向右跳 1 次，故有3，2，1，0，2， ，动点M向左跳 1 次，向右跳 2 次，故有 0，1，2，3， 故M在数轴上可能位置的个数为6，5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5，6 共 有 13 个， 故选：D 第 8 页（共 17 页） 10 （4 分）某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：( )yf t若
15、0 (0)fy，社 会需求量y的市场饱和水平估计为 500 万件，经研究可得，( )f t的导函数( )f t满足： ( )( )(500( )(f tkf tf tk为正的常数） ，则函数( )f t的图象可能为( ) A B C D 【解答】解：因为( )( )(500( )f tkf tf t， 令( )0f t，则( )0f t 或 500，即当( )0f t 或 500 时，曲线的切线斜率接近 0， 由选项可知，只有符合题意， 故选：B 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）抛物线 2 yx的焦点到其准线的距离等于 0.
16、5 【解答】解：抛物线 2 yx中21p ，0.5p 抛物线 2 yx的焦点和准线的距离等于 0.5 故答案为：0.5 12 （5 分）已知( )f x为偶函数，当0x 时，( )f xlnx，则()fe 1 【解答】解：( )f x是偶函数，且0x 时，( )f xlnx， ()fef（e）1lne 故答案为：1 13 （5 分）在ABC中，若2a ， 2 cos 2 B ，ABC的面积为 1，则b 10 第 9 页（共 17 页） 【解答】解：由 2 cos 2 B 可得 2 sin 2 B ， 因为 112 sin21 222 ABC SacBc ， 所以2c ， 由余弦定理可得 2 2
17、42 cos 24 2 b B ， 解可得，10b 故答案为：10 14 （5 分）圆心在x轴上，且与双曲线 2 2 1 3 x y的渐近线相切的一个圆的方程可以是 满 足方程： 222 (2 )xmym的任意(0)m m 均可 （答案不唯一） 【解答】解：双曲线的渐近线方程为： 3 3 yx ，设圆的圆心为(2 ,0)m，0m ， 则圆的半径为： 2 3 | 3 | 1 1 3 m m ， 所以所求圆的方程为： 222 (2 )xmym，0m ， 故答案为：满足方程： 222 (2 )xmym的任意(0)m m 均可 15 （5 分）已知0a，函数 2 , ( ) , x x a f x x
18、 xa 若0a ，则( )f x的值域为 (0,) ；若方 程( )20f x 恰有一个实根，则a的取值范围是 【解答】解：当0a 时， 2 ,0 ( ) ,0 x x f x x x ，当0x时，( )2(0 x f x ，1， 当0x 时，( )0f xx， 故0a 时，( )f x的值域为(0,)； 当方程( )20f x 恰有一个实根即函数( )f x与2y 图象只有一个交点， 如图： 由图可知， 0, 22 a a ，解之得01a，故a的取值范围是0，1)， 故答案为(0,)，0，1) 第 10 页（共 17 页） 16 （5 分）小明用数列 n a记录某地区 2019 年 12 月
19、份 31 天中每天是否下过雨，方法为： 当第k天下过雨时，记1 k a ，当第k天没下过雨时，记1(131) k ak 剟；他用数列 n b记 录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记1 k b ，当预报 第k天没有雨时， 记1(131) k bk 剟； 记录完毕后， 小明计算出 1 12231 31 25a ba ba b， 那么该月气象台预报准确的的总天数为 28 ；若 1 12 2kk a ba ba bm，则气象台预报 准确的天数为 （用m，k表示） 【解答】解：依题意，若1(131) kk a bk剟，则表示第k天预报正确，若1(131) kk a bk 剟
20、， 则表示第k天预报错误， 若 1 122kk a ba ba bm， 假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个 1，()kx个1，则()xkxm，解得 2 mk x ，即气象台预报准确的天数为 2 mk ； 于是若 1 12231 31 25a ba ba b，则气象台预报准确的天数为 3125 28 2 故答案为：28， 2 mk 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （13 分）已知函数 2 1 ( )3sin sin()sin 22 f xxxx （）求( )f x的最小正周期；
21、第 11 页（共 17 页） （）求( )f x在区间0, 2 上的最大值 【解答】解： （）因为 2 11cos21 ( )3sin sin()sin3sin cos 2222 x f xxxxxx ， 31 sin2cos2sin(2) 226 xxx ， 所以( )f x的最小正周期为T， （）因为 1 0 2 x剟， 所以 5 2 666 x 剟， 于是，当 1 2 62 x 即 1 3 x时，函数取得最大值 1 18 （13 分）如图是 2019 年 11 月 1 日到 11 月 20 日，某地区甲流疫情新增数据的走势 图 （）从这 20 天中任选 1 天，求新增确诊和新增疑似的人数
22、都超过 100 的概率； （）从新增确诊的人数超过 100 的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过 140 的天数，求X的分布列和数学期望； （）根据这 20 天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势 【解答】解： （）由图知，在统计出的 20 天中， 新增确诊和新增疑似人数超过 100 人的有 3 天， 设事件A为“从这 20 天中任取 1 天，新增确诊和新增疑似的人数都超过 100” ， 则P（A） 3 20 （）由图知，新增确诊的日期中人数超过 100 的有 6 天中，有 2 天人数超过 140， 第 12 页（共 17 页） 所以X的所有可能值为 0，1，2 所以 2 4 2
23、 6 2 (0) 5 C P X C ， 11 24 2 6 8 (1) 15 C C P X C ， 2 2 2 6 1 (2) 15 C P X C 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 所以X的数学期望为 2812 ()012 515153 E X （）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少 预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当 预测三：该地区甲流疫情趋于减缓 预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发 （答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分） 19（13分） 已知数列 n a为等比数列， 且0 n a ， 数列 n b满足 2 log
24、nn ba 若 1 4b ，23b （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n bm前n项和为 n S，若当且仅当5n 时， n S取得最大值，求实数m的取 值范围 【解答】解： （）由题意，设等比数列 n a的公比为q，则 121 log4ba，即 4 1 216a 222 log3ba，即 3 2 28a 2 1 81 162 a q a 数列 n a的通项公式为 15 1 16 ( )2 2 nn n a ，*nN （）由（）知， 2 log 2 n b 5 5 n n 第 13 页（共 17 页） 故5 n bmnm 数列 n bm是等差数列 当且仅当5n 时，数列 n bm的前n
25、项和 n S取得最大值， 5 6 0 0 bm bm ，即 550 560 m m 解得01m 实数m的取值范围是(0,1) 20 （14 分）如图，在四棱锥CABEF中，平面ABEF 平面ABC，ABC是边长为 2 的 等边三角形，/ /ABEF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点 （）求证：/ /EM平面ACF； （）求证：AMCE； （）求二面角EBCF的余弦值 【解答】解： （）证明：取AC中点D，连结DM，DF， 在三角形ABC中，/ /DMAB且 1 2 DMAB， 又因为21ABEF， 所以 1 2 EFAB，又因为/ /EFAB 所以DMEF为平行四边形， 所以/ /EM
26、FD， 又因为EM 平面ACF，DF 平面ACF， 所以/ /EM平面ACF； （）证明：取AB中点O，连结OC，OF， 因为三角形ABC是等边三角形 所以2AB ，COAB， 因为四边形ABEF满足/ /ABEF，90ABE，1EFBF， 第 14 页（共 17 页） 所以2FBFA，FOAB， 又因为平面ABEF 平面ABC， 所以OF 平面ABC， 以OC，OB，OF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则(0A，1，0)， 3 1 (,0) 22 M，( 3C， 0，0)，(0E， 1，1)， 3 3 (,0) 22 AM ，(3,1,1)CE 所以0AM CE 所以AMCE；
27、 （）由（）知，AMCE， 由已知可得AMBC， 所以AM 平面BCE， 所以AM是平面BCE的法向量， 又( 3, 1,0),(0, 1,1)BCBF， 设平面BCF的法向量为( , , )mx y z， 则 0 0 m BC m BF ，即 30 0 xy yz ， 令1x ，得(1, 3, 3)m ， 由 33 13 2 7 22 cos, 737 AM m ， 又因为二面角EBCF为锐二面角， 所以二面角EBCF的余弦值为 2 7 7 21 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，过焦点且与x轴垂直的直线 被椭圆C截得的线段长为 2 第
28、15 页（共 17 页） （）求椭圆C的方程； （）已知点(1,0)A，(4,0)B，过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证： | | | |MBNAMANB 【解答】解： （）因为 22 22 1 xy ab ，令xc，得 4 2 2 b y a ， 由已知 2 1 b a ， 又 2 2 c a ， 222 abc， 解得2a ，2b ， 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy （）要证明| | | |MBNAMANB，只需证明 | | MAMB NANB ， 过M，N分别作x轴的垂线段MM， NN ，易得： | | MAMM NANN ， 所以只需证明 | | MBMM NB
29、NN ， 所以只需证明MBANBA ，只需证明0 MBNB kk 当直线l的斜率不存在时，易得| | | |MBNAMANB 当直线l的斜率存在时，不妨设其为k，则直线l的方程为(1)yk x， 联立 22 1 42 (1) xy yk x 消去y，得 2222 (21)4240kxk xk， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 24 21 k x x k ， 直线MB的斜率 1 1 (1) 4 MB k x k x ，直线NB的斜率 2 2 (1) 4 NB k x k x ， 121221 1212 (1)(
30、1)(1)(4)(1)(4) 44(4)(4) MBNB k xk xk xxk xx kk xxxx 22 22 1212 1212 244 (258) 25()8 2121 0 (4)(4)(4)(4) kk k kx xxx kk xxxx 综上所述，| | | |MBNAMANB 22 （14 分）已知函数 2 ( ) x f xx e （）求( )f x的单调区间； 第 16 页（共 17 页） （）过点(1,0)P存在几条直线与曲线( )yf x相切，并说明理由； （）若( )(1)f xk x对任意xR恒成立，求实数k的取值范围 【解答】 （共 14 分） 解： （） 2 ( )
31、(2 )(2) xx f xxx ex xe（1 分） ( )0fx得，2x 或0x ； ( )0fx得，20x ；（2 分） 所以( )f x的单调增区间为(, 2) ，(0,)；单调减区间为( 2,0)（3 分） （）过(1,0)点可做( )f x的三条切线；理由如下：（1 分） 设切点坐标为 0 (x， 0 2 0 ) x x e，过切点的切线方程为 00 22 0000 (2)() xx yx exx exx（2 分） 切线过(1,0)点，代入得 00 22 0000 (2)(1) xx x exx ex， 化简得 0 000 (2)(2)0 x x xxe，（3 分） 方程有三个解，
32、 0 0x ， 0 2x ， 0 2x ，即三个切点横坐标，（4 分） 所以过(1,0)点可做( )f x的三条切线 （）设 2 ( )(1) x g xx ek x，（1 分） 方法 1 10k 时， 2 (1) x x ek x成立；（1 分） 20k 时，若x，(0)0(0 1)fk不成立， 所以0k 不合题意（2 分） 30k 时，1x时，( )0h x 显然成立，只需考虑1x 时情况； 转化为 2 1 x x e k x 对任意(1,)x恒成立（3 分） 令 2 ( )(1) 1 x x e h xx x ， 22 22 (2 )(1)(2)(2) ( ) (1)(1) xxx xx
33、 exx ex xxe h x xx ，（3 分） 当12x时，( )0h x，)h x 单调减； 当2x 时，( )0h x，( )h x单调增； 第 17 页（共 17 页） 所以 2 2 2 ( )( 2)(22 2) 21 min e h xhek ，（4 分） 所以 2 (22 2)ke 综上，k的取值范围是0， 2 (22 2)e（7 分） 方法 2：不用讨论k，只讨论x 11x ，成立；（1 分） 21x 转化为 2 1 x x e k x 对任意(1,)x恒成立（2 分） 令 2 ( )(1) 1 x x e h xx x ， 22 22 (2 )(1)(2)(2) ( ) (
34、1)(1) xxx xx exx ex xxe h x xx ，（3 分） 当12x时，( )0h x，( )h x单调减； 当2x 时，( )0h x，( )h x单调增； 所以 2 2 2 ( )( 2)(22 2) 21 min e h xhek ，（4 分） 所以 2 (22 2)ke 3当1x 时转化为 2 1 x x e k x 对任意(,1)x 恒成立（5 分） 同2，令 2 ( )(1) 1 x x e h xx x ， 2 (2)(2) ( ) (1) x x xxe h x x ，列下表 x (,2) 2 (2，0) 0 (0,1) ( )h x 0 0 ( )h x 减 极小值 增 极大值 减 当1x 时，易得 2 ( )0 1 x x e h x x ， (0)0h，所以(0)0 max hhk ；即0k，（6 分） 综上，k的取值范围是0， 2 (22 2)e（7 分）
