1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一学年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一 中、三中六校高三（上）期末数学试卷（文科）中、三中六校高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，满分小题，满分 60 分）分） 1 （5 分）设集合 2 |Mx xx， |0Nx lgx，则(MN ) A0，1 B(0，1 C0，1) D(，1 2 （5 分）设 1 1 zi i ，则| (z ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D2 3 （5 分）已知 3 ( ,) 2 ， 4 cos 5
2、 ，则tan() 4 等于( ) A7 B 1 7 C 1 7 D7 4 （5 分）若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是( ) A若ab，则 22 acbc B若ab，则acbc C若ab，则acbc D若ab，则 11 ab 5 （5 分）设, ,a b c是非零向量，已知命题p：若0,0a bb c，则0a c ；命题q：若 / / ,/ /ab bc，则/ /ac，下列命题中真命题是( ) A()()pq B()pq Cpq Dpq 6 （5 分）已知向量(1,2)a ，( 2,3)b ，(4,5)c ，若()abc，则( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 7 （5 分）ABC
3、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3 C ，7c ，3ba， 则ABC的面积为( ) A 3 3 4 B 23 4 C2 D 23 4 8 （5 分）已知0a ，0b ，并且 1 a ， 1 2 ， 1 b 成等差数列，则4ab的最小值为( ) A2 B4 C5 D9 9 （5 分）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测： 甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 第 2 页（共 18 页） 丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符已知俩 人获奖，则获奖的是( )
4、 A甲和丁 B甲和丙 C乙和丙 D乙和丁 10 （5 分）三棱锥PABC中，PA面ABC，2PA，3ABAC，60BAC， 则该棱锥的外接球的表面积是( ) A12 B8 C8 3 D4 3 11（5 分） 已知 1 F， 2 F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点， 若 12 PFPF， 且 21 60PF F， 则C的离心率为( ) A 3 1 2 B23 C 31 2 D31 12 （5 分）已知函数 32 ( )31f xaxx，若( )f x存在唯一的零点 0 x，且 0 0x ，则a的取 值范围是( ) A(2,) B(, 2) C(1,) D(, 1) 二、填空题（每小题二、填空题
5、（每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卷请将答案填在答题卷相应空格上相应空格上.） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 22 0 1 0 0 xy xy y ，则32zxy的最大值为 14 （5 分）已知直线2ykx与曲线yxlnx相切，则实数k的值为 15 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sincos0bAaB， 则B 16 （5 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30若 SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明
6、，演算步矛或证明过程解答应写出文字说明，演算步矛或证明过程.） 17 （10 分）已知等差数列 n a的前n项和 n S满足 3 0S ， 5 5S ， （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 2121 1 nn aa 的前n项和 第 3 页（共 18 页） 18 （ 12 分 ） 已 知a，b，c分 别 为ABC三 个 内 角A，B，C的 对 边 ， 且 cos(3 )cos0aCcbA （1）求cos A的值； （2）若ABC的面积为2，且2bc，求a的值 19 （12 分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB 平面ABC，VAB为等边三角形， ACBC且2ACBC，O，M分别AB，V
7、A的中点 （）求证：/ /VB平面MOC； （）求三棱锥VABC的体积 20 （12 分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一 次全县成年人安全知识抽样调查已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有 驾驶证，用分层抽样的方法抽取了 100 名成年人，然后对这 100 人进行问卷调查，所得分数 的频率分布直方图如图所示规定分数在 80 以上（含80)的为“安全意识优秀” 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 得分不优秀 25 合计 100 （1）补全上面22的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥 有驾驶证”有关？ （2）若规定参
8、加调查的 100 人中分数在 70 以上（含70)的为“安全意识优良” ，从参加调 查的 100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出 5 人，再从 5 人中随机抽取 3 人，试求抽取的 3 人中恰有一人为“安全意识优良”的概率 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 第 4 页（共 18 页） 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知椭圆 22 22
9、1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，短轴的一个端点到右焦点的距离 为 2， （1）试求椭圆M的方程； （2） 若斜率为 1 2 的直线l与椭圆M交于C、D两点， 点 3 (1, ) 2 P为椭圆M上一点， 记直线PC 的斜率为 1 k，直线PD的斜率为 2 k，试问： 12 kk是否为定值？请证明你的结论 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )2 2 f xaxxlnx （）当3a 时，求( )f x的极值； （）若( )f x在区间 1 ,3 2 上是增函数，求实数a的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一学
10、年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一 中、三中六校高三（上）期末数学试卷（文科）中、三中六校高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，满分小题，满分 60 分）分） 1 （5 分）设集合 2 |Mx xx， |0Nx lgx，则(MN ) A0，1 B(0，1 C0，1) D(，1 【解答】解：由 2 | 0Mx xx，1， |0(0Nx lgx，1， 得0MN ，1(0，10，1 故选：A 2 （5 分）设 1 1 zi i ，则| (z ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D2 【解
11、答】解： 1111 1(1)(1)22 i ziii iii 故 112 | 442 z 故选：B 3 （5 分）已知 3 ( ,) 2 ， 4 cos 5 ，则tan() 4 等于( ) A7 B 1 7 C 1 7 D7 【解答】解： 3 ( ,) 2 ， 4 cos 5 ， 2 3 sin1 5 cos ， sin3 tan cos4 ， 则 3 1 1tan1 4 tan() 3 41tan7 1 4 故选：B 4 （5 分）若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是( ) 第 6 页（共 18 页） A若ab，则 22 acbc B若ab，则acbc C若ab，则acbc D若ab，则
12、 11 ab 【解答】解：对于A：若ab，则 22 acbc，当0c 时不成立， 对于B：根据不等式的性质 1，若ab，则acbc，故成立， 对于C：若ab，则acbc，当0c 时不成立， 对于D：若ab，则acbc，当1a ，1b 时不成立， 故选：B 5 （5 分）设, ,a b c是非零向量，已知命题p：若0,0a bb c，则0a c ；命题q：若 / / ,/ /ab bc，则/ /ac，下列命题中真命题是( ) A()()pq B()pq Cpq Dpq 【解答】解：因为, ,a b c是非零向量， 若0a b ，0b c ，则a bb c，即()0ac b，则0a c 不一定成立
13、，故命题p为假 命题， 若/ /ab，/ /bc，则/ /ac，故命题q为真命题， 则pq为真命题，pq，()()pq ，()pq 都为假命题， 故选：C 6 （5 分）已知向量(1,2)a ，( 2,3)b ，(4,5)c ，若()abc，则( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 【解答】解：(1 2 ,32)ab ； 又()abc； ()4(1 2 )5(32)0ab c； 解得2 故选：C 7 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3 C ，7c ，3ba， 则ABC的面积为( ) 第 7 页（共 18 页） A 3 3 4 B 23 4 C2 D 23 4 【
14、解答】解： 3 C ，7c ，3ba， 由余弦定理 222 2coscababC，可得： 222222 7937ababaaaa，解得： 1a ，3b ， 1133 3 sin1 3 2224 ABC SabC 故选：A 8 （5 分）已知0a ，0b ，并且 1 a ， 1 2 ， 1 b 成等差数列，则4ab的最小值为( ) A2 B4 C5 D9 【解答】解： 1 a ， 1 2 ， 1 b 成等差数列， 11 1 ab ， 1144 4(4 )()5529 abab abab abbab a ， 当且仅当2ab即3a ， 3 2 b 时“ “成立， 故选：D 9 （5 分）甲、乙、丙、
15、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测： 甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符已知俩 人获奖，则获奖的是( ) A甲和丁 B甲和丙 C乙和丙 D乙和丁 【解答】解：由题意，可知： 乙、丁的预测是一样的， 乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符 假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾 第 8 页（共 18 页） 故乙、丁的预测不成立， 乙、丁的预测不
16、成立，则甲、丙的预测成立， 甲、丙的预测成立， 丁必获奖 乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， 丙不获奖，乙获奖 从而获奖的是乙和丁 故选：D 10 （5 分）三棱锥PABC中，PA面ABC，2PA，3ABAC，60BAC， 则该棱锥的外接球的表面积是( ) A12 B8 C8 3 D4 3 【解答】解：3ABAC，60BAC， 由余弦定理可得3BC ， 设ABC外接圆的半径为r，则 23 31 32 r ， 1r ， 设球心O到平面ABC的距离为1d ，三棱锥的外接球的半径为R， 2 2R ， 三棱锥PABC的外接球的表面积为 2 48R 故选：B 11（5 分） 已知 1 F， 2 F是椭圆
17、C的两个焦点，P是C上的一点， 若 12 PFPF， 且 21 60PF F， 则C的离心率为( ) A 3 1 2 B23 C 31 2 D31 第 9 页（共 18 页） 【解答】 解： 1 F， 2 F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点， 若 12 PFPF， 且 21 60PF F， 可得椭圆的焦点坐标 2( ,0) F c， 所以 1 (2Pc， 3 ) 2 c可得： 22 22 3 1 44 cc ab ，可得 2 2 13 1 1 4 4(1) e e ，可得 42 840ee， (0,1)e， 解得31e 故选：D 12 （5 分）已知函数 32 ( )31f xaxx，若(
18、)f x存在唯一的零点 0 x，且 0 0x ，则a的取 值范围是( ) A(2,) B(, 2) C(1,) D(, 1) 【解答】解：( ) i当0a 时， 2 ( )31f xx，令( )0f x ， 解得 3 3 x ，函数( )f x有两个零点，舍去 ( )ii当0a 时， 2 2 ( )363()fxaxxax x a ， 令( )0fx，解得0x 或 2 a 当0a 时， 2 0 a ，当 2 x a 或0x 时， ( )0fx，此时函数( )f x单调递减； 当 2 0x a 时，( )0fx， 此时函数( )f x单调递增 第 10 页（共 18 页） 2 a 是函数( )f
19、 x的极小值点，0 是函数( )f x的极大值点 函数 32 ( )31f xaxx存在唯一的零点 0 x，且 0 0x ， 则： 2 0 2 ( )0 a f a ；即： 2 0 4 1 a a ，可得2a 当0a 时， 2 0 a ，当 2 x a 或0x 时，( )0fx，此时函数( )f x单调递增； 当 2 0x a 时，( )0fx，此时函数( )f x单调递减 2 a 是函数( )f x的极小值点，0 是函数( )f x的极大值点 不满足函数 32 ( )31f xaxx存在唯一的零点 0 x，且 0 0x ， 综上可得：实数a的取值范围是(, 2) 故选：B 二、填空题（每小题
20、二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卷相应空格上请将答案填在答题卷相应空格上.） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 22 0 1 0 0 xy xy y ，则32zxy的最大值为 6 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 第 11 页（共 18 页） 由32zxy得 31 22 yxz ， 平移直线 31 22 yxz ， 由图象知当直线 31 22 yxz 经过点(2,0)A时，直线的截距最大，此时z最大， 最大值为326z ， 故答案为：6 14 （5 分）已知直线2ykx与曲线yxlnx相切，则实数k的值为 12ln 【解答】解：设切点为 0 (
21、x， 00) x lnx， 对yxlnx求导数，得1ylnx， 切线的斜率 0 1klnx， 故切线方程为 0000 (1)()yx lnxlnxxx， 整理得 00 (1)ylnxxx， 与直线2ykx比较， 得： 0 0 1 2 klnx x ， 故12kln ， 故答案为：12ln 第 12 页（共 18 页） 15 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sincos0bAaB， 则B 3 4 【解答】解：sincos0bAaB， 由正弦定理可得：sinsinsincos0ABAB， (0, )A，sin0A， 可得：sincos0BB，可得：tan1B ， (0,
22、)B， 3 4 B 故答案为： 3 4 16 （5 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30若 SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为 8 【解答】 解： 圆锥的顶点为S， 母线SA，SB互相垂直，SAB的面积为 8， 可得： 2 1 8 2 SA ， 解得4SA， SA与圆锥底面所成角为30可得圆锥的底面半径为：2 3，圆锥的高为：2， 则该圆锥的体积为： 2 1 (2 3)28 3 V 故答案为：8 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，演算步矛或证明过程解答应写出文字说明，演算步矛或证明过程
23、.） 17 （10 分）已知等差数列 n a的前n项和 n S满足 3 0S ， 5 5S ， （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 2121 1 nn aa 的前n项和 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 前n项和 n S满足 3 0S ， 5 5S ， 1 1 330 5105 ad ad ， 解得 1 1a ，1d 1(1)2 n ann 第 13 页（共 18 页） （2） 2121 11111 () (32 )(12 )2 2321 nn aannnn ， 数列 2121 1 nn aa 的前n项和 111111 ( 1 1)(1)()() 23352321nn
24、 11 ( 1) 221n 12 n n 18 （ 12 分 ） 已 知a，b，c分 别 为ABC三 个 内 角A，B，C的 对 边 ， 且 cos(3 )cos0aCcbA （1）求cos A的值； （2）若ABC的面积为2，且2bc，求a的值 【解答】解： （1）cos(3 )cos0aCcbA， sincos(sin3sin )cos0ACCBA， 即sincossincos3sincosACCABA，可得：sin3sincosBBA， sin0B ， 可得： 1 cos 3 A ； （2） 2 2 2 sin1 3 Acos A， 112 2 sin2 223 SbcAbc，可得：3b
25、c ， 又2bc， 2222 24 2cos()2438 33 abcbcAbcbcbc，解得：2 2a 19 （12 分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB 平面ABC，VAB为等边三角形， ACBC且2ACBC，O，M分别AB，VA的中点 （）求证：/ /VB平面MOC； （）求三棱锥VABC的体积 第 14 页（共 18 页） 【解答】证明： （）因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以/ /OMVB 又因为VB 平面MOC，OM 平面MOC， 所以/ /VB平面MOC（4 分） 解： （）因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB 又因为平面VAB 平面ABC，且OC 平面ABC，所
26、以OC 平面VAB 在等腰直角三角形ACB中，2ACBC，所以2AB ，1OC 所以等边三角形VAB的面积3 VAB S又因为OC 平面VAB， 所以三棱锥CVAB的体积等于 3 3 又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等， 所以三棱锥VABC的体积为 3 3 （12 分） 20 （12 分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一 次全县成年人安全知识抽样调查已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有 驾驶证，用分层抽样的方法抽取了 100 名成年人，然后对这 100 人进行问卷调查，所得分数 的频率分布直方图如图所示规定分数在 80 以上（
27、含80)的为“安全意识优秀” 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 得分不优秀 25 合计 100 （1）补全上面22的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥 有驾驶证”有关？ （2）若规定参加调查的 100 人中分数在 70 以上（含70)的为“安全意识优良” ，从参加调 第 15 页（共 18 页） 查的 100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出 5 人，再从 5 人中随机抽取 3 人，试求抽取的 3 人中恰有一人为“安全意识优良”的概率 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 (
28、)P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）列联表为 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 15 5 20 得分不优秀 25 55 80 合计 40 60 100 2 2 100 (15 5525 5)1225 1210.828 40 60 20 8096 K ， 所以有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关 （2） 由频率分布直方图可求得 70 以上 （含70)的人数为100 (0.0200.0150.005) 104
29、0， 所以按分层抽样的方法抽出 5 人时， “安全意识优良”的有 2 人记“安全意识优良”的为 1，2； 其余的 3 人记为a，b，c，从中随机抽取 3 人，基本事件有(1，2，)a，(1，2，)b，(1， 2，)c，(1，a，)b，(1，a，)c，(1，b，)c，(2，a，)b，(2，a，)c，(2，b，)c， (a，b，)c共 10 个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有 6 个，所以恰有一人为“安全 第 16 页（共 18 页） 意识优良”的概率 63 105 P 21 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，短轴的一个端点到右焦点的距离 为
30、2， （1）试求椭圆M的方程； （2） 若斜率为 1 2 的直线l与椭圆M交于C、D两点， 点 3 (1, ) 2 P为椭圆M上一点， 记直线PC 的斜率为 1 k，直线PD的斜率为 2 k，试问： 12 kk是否为定值？请证明你的结论 【解答】解：椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，短轴的一个端点到右焦点的距离 为 2， 2a，1c ，3b ， 椭圆M的方程为 22 1 43 xy （2）设直线l的方程为： 1 2 yxb， 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 联立直线l的方程与椭圆方程，得： 22 1 , 2 1, 43 yxb xy 代
31、入，得： 22 1 34()12 2 xxb， 化简，得： 22 30xbxb， 当0时，即 22 4(3)0bb， 即| 2b 时，直线l与椭圆有两交点， 由韦达定理，得： 12 2 12 3 xxb x xb ， 11 1 11 313 222 11 yxb k xx ， 22 2 22 313 222 11 yxb k xx ， 第 17 页（共 18 页） 12 12 12 1313 2222 11 xbxb kk xx 1212 12 (2)()32 (1)(1) x xbxxb xx 2 12 3(2)()32 0 (1)(1) bbbb xx ， 12 kk为定值 22 （12
32、分）已知函数 2 1 ( )2 2 f xaxxlnx （）当3a 时，求( )f x的极值； （）若( )f x在区间 1 ,3 2 上是增函数，求实数a的取值范围 【 解 答 】 解 ：( ) I根 据 题 意 ， 当3a 时 ， 2 3 ()2 2 fxxxl n x， 则 2 1321 ()32(0 ) xx fxxx xx ， 令( )0fx，有 2 1 3210(0) 3 xxxx ， ( )f x，( )fx随x的变化情况如下表： x 1 (0, ) 3 1 3 1 ( ,) 3 ( )g x 负 0 正 ( )g x 减函数 极小 增函数 由上表易知，函数y在 1 3 x 时取
33、得极小值 11215 ( )3 36336 flnln，无极大值； ()II由 2 1 ( )2 2 f xaxxlnx，有 1 ( )2(0)fxaxx x ， 由题设( )f x在区间 1 ,3 2 上是增函数，可知 11 ( )20 (3) 2 fxaxx x 厔?恒成立， 故 2 12 1 (3) 2 ax xx 厔?恒成立， 设 2 12 1 ( )(3) 2 g xx xx 剟，则有( )maxa g x， 323 222(1) ( ) x g x xxx ，令( )0g x，有1x ， ( )g x，( )g x随x的变化情况如下表： x 1 2 1 (,1) 2 1 (1,3) 3 第 18 页（共 18 页） ( )g x 负 0 正 ( )g x 0 减函数 极小 增函数 5 9 又 1 ( )0 2 g， 5 (3) 9 g ，故 1 ( )( )0 2 max g xg， 故0a， 实数a的取值范围为0，)
