1、 第 1 页（共 15 页） 2019-2020 学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科）学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 ）出符合题目要求的一项 ） 1 （5 分）已知集合 2 |4Ax x， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A0，1，2 B0，1 C 1，0，1 D 2，1，0，1， 2 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足1 2 1 i i z ，则| (z ) A 5 2
2、 B 3 2 2 C 10 2 D3 3 （5 分）已知命题p：任意4x，都有 2 log2x；命题:q ab，则有 22 ab则下列命 题为真命题的是( ) Apq B()pq C()()pq D()pq 4 （5 分）某学校有 800 名新生，其中有 500 名男生，300 名女生为了了解学生的身体素 质，现用分层抽样的方法从中抽取 16 人进行检查，则应从男生中抽取( ) A10 名学生 B11 名学生 C12 名学生 D无法确定 5 （5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsinaAbB，则ABC 一定为( ) A等腰三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰
3、直角三角形 6 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大 意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一 天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”问此人第 5 天和第 6 天共走了( ) A24 里 B6 里 C18 里 D12 里 7 （5 分）已知a，b满足| 2 3a ，| 3b ，6a b ，则a在b上的投影为( ) A2 B1 C3 D2 8 （5 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线与圆
4、22 (2)1xy相切，则C的 离心率为( ) 第 2 页（共 15 页） A 2 3 3 B3 C2 D2 9 （5 分）函数 2 2 ( )1 1 x f x x 在区间 4，4附近的图象大致形状是( ) A B C D 10 （5 分）已知 3 log 0.3a ， 0.2 0.3b ， 0.3 0.2c ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 11 （5 分）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行由于燃油 的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 30 升的燃油；第二 种方案，每次加 200 元的燃油，则下列说法正确的是( ) A采
5、用第一种方案划算 B采用第二种方案划算 C两种方案一样 D无法确定 12 （5 分）已知函数 ,1 ( ) 1 1,1 2 lnx x f x xx ，若( )( )f mf n，则|nm的取值范围是( ) Ae，3 B42 2ln，3 C 3 2 42 2,1lne D22 2ln，3 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）函数 2 ( )f xlnxx的图象在点(1，f（1）)处切线方程为 14 （5 分）若 2 sin(15 ) 3 ，则cos(105 ) 15 （5 分）函数( )sin(2) 3
6、 f xx 在区间0, 4 的最小值为 16 （5 分）在半径为 2 的球内有一个内三棱锥PABC，点P，A，B，C都在球面上， 且ABC是边长为 3 的等边三角形，那么三棱锥PABC体积的最大值为 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 第 3 页（共 15 页） 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17 （12 分）已知正项等差数列 n a满足 25 9aa， 34 20a a ，等
7、比数列 n b的前n项和 n S满足2n n Sc，其中c是常数 （1）求c以及数列 n a、 n b的通项公式； （2）设 nnn ca b，求数列 n c的前n项和 n T 18 （12 分）为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得 到的数据统计如图所示： 并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如表所示： 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40 岁以下 600 40 岁以上 800 1000 总计 1200 （1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间； （2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的
8、把握认为“愿意 购买该款手机”与“市民的年龄”有关 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 19 （12 分）如图，四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯形，/ /ABCD，ABBC， 222ABBCCD，SAD为正三角形，点M为线段AB的中点 第 4 页（共 15 页） （1）证明SMAD； （2）当1SM 时，求点B到平面SAD的距离 20 （12 分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆
9、C过(0, 1)A、 1 ( 3, ) 2 B两点， （1）求椭圆C的方程； （2）设直线 1 :,(0) 2 l yxm m与椭圆C交于P，Q两点，求当m取何值时，OPQ的 面积最大 21 （12 分）已知函数( )sinf xaxx，0, 2 x ，其中a为常数 （1）若函数( )f x在0, 2 上是单调函数，求a的取值范围； （2）当1a时，证明： 3 1 ( ) 6 f xx （二）选考题请考生在第（二）选考题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点
10、处，极轴与x轴的非负半轴重合，直 线l的极坐标方程为： 1 sin() 62 ，曲线C的参数方程为： 22cos ( 2sin x y 为参数） （1）写出直线l的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值 23已知( ) |1|3|f xxx （1）解关于x的不等式( ) 4f x ； （2）若 2 ( )f xmm恒成立，求实数m的取值范围 第 5 页（共 15 页） 2019-2020 学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科）学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每
11、小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 ）出符合题目要求的一项 ） 1 （5 分）已知集合 2 |4Ax x， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A0，1，2 B0，1 C 1，0，1 D 2，1，0，1， 2 【解答】解： 2 |4 | 22Ax xxx ， 1B ，0，1，2，3， 则 1AB ，0，1， 故选：C 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足1 2 1 i i z ，则| (z ) A 5 2 B 3 2 2 C 10 2 D3 【解答】解：由1 2 1 i i z ，得 12(1
12、2 )(1)13 1(1)(1)22 iii zi iii ， 22 1310 | |()() 222 zz 故选：C 3 （5 分）已知命题p：任意4x，都有 2 log2x；命题:q ab，则有 22 ab则下列命 题为真命题的是( ) Apq B()pq C()()pq D()pq 【解答】解：命题p：任意4x，都有 2 log2x，为真命题； 命题:q ab，则有 22 ab是假命题， 比如当0ab或者取1a ，2b 时，则 22 ab 不成立 ()Pq 是真命题 故选：B 4 （5 分）某学校有 800 名新生，其中有 500 名男生，300 名女生为了了解学生的身体素 质，现用分层
13、抽样的方法从中抽取 16 人进行检查，则应从男生中抽取( ) 第 6 页（共 15 页） A10 名学生 B11 名学生 C12 名学生 D无法确定 【解答】解：设应抽取男生x人，由分层抽样原理知， 500 16800 x ，解得10x 故选：A 5 （5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsinaAbB，则ABC 一定为( ) A等腰三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰直角三角形 【解答】解：由sinsinaAbB， 结合正弦定理得， 22 ab， 从而ab 故ABC为等腰三角形， 故选：A 6 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十
14、八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大 意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一 天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”问此人第 5 天和第 6 天共走了( ) A24 里 B6 里 C18 里 D12 里 【解答】解：根据题意，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半， 则设此人第六天走了a里，则第五天走了2a里，依次下去，构成一个等比数列，其公 比为 2； 而所有路程之和为 6 (12 ) 378 12 a S ，解可得6a ， 则此人第 5 天和第 6 天共走了218aa里； 故选
15、：C 7 （5 分）已知a，b满足| 2 3a ，| 3b ，6a b ，则a在b上的投影为( ) A2 B1 C3 D2 【解答】解：a在b上的投影为 6 |cos2 3| a b a b 故选：A 第 7 页（共 15 页） 8 （5 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线与圆 22 (2)1xy相切，则C的 离心率为( ) A 2 3 3 B3 C2 D2 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a ，即0 b xy a 根据圆 22 (2)1xy的圆心(2,0)到切线的距离等于半径 1， 可得， 2 2
16、 |0| 1 1( ) b a b a ， 3 3 b a ， 22 2 1 3 ac a ，可得 2 3 3 e 故此双曲线的离心率为： 2 3 3 故选：A 9 （5 分）函数 2 2 ( )1 1 x f x x 在区间 4，4附近的图象大致形状是( ) A B C D 【解答】解： 2 2 ( )1 1 x f x x 过点(1,0)，可排除选项A，D； 又f（2）0，排除C； 故选：B 10 （5 分）已知 3 log 0.3a ， 0.2 0.3b ， 0.3 0.2c ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 【解答】解： 3 log 0.30a ，由幂函数 0.2 y
17、x为(0,)上的增函数可知 0.20.2 0.30.2 又由指数函数0.2xy 为R上的减函数可知 0.20.3 0.20.20， 第 8 页（共 15 页） 所以acb 故选：B 11 （5 分）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行由于燃油 的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 30 升的燃油；第二 种方案，每次加 200 元的燃油，则下列说法正确的是( ) A采用第一种方案划算 B采用第二种方案划算 C两种方案一样 D无法确定 【解答】解：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升 第一种方案的均价： 3030 60
18、2 mnmn mn ； 第二种方案的均价： 4002 200200 mn mn mn mn 所以无论油价如何变化，第二种都更划算 故选：B 12 （5 分）已知函数 ,1 ( ) 1 1,1 2 lnx x f x xx ，若( )( )f mf n，则|nm的取值范围是( ) Ae，3 B42 2ln，3 C 3 2 42 2,1lne D22 2ln，3 【解答】解：不妨设( )( )f mf nt， 由题意可知，函数( )yf x的图象与直线yt有两个交点，其中 3 0 2 t ， 由( )f mt，即 1 1 2 mt ，解得22mt，由( )f nt，即lnnt，解得 t ne， 记
19、( )22 t g tnmet，其中 3 0 2 t ，( )2 t g te， 当02tln 时，( )0g t，函数( )g t单调递减； 当 3 2 2 lnt 时，( )0g t，函数( )g t单调递增 函数( )g t的最小值为 2 ( 2)2 2242 2 ln g lnelnln， 而 0 (0)23ge， 3 2 3 ( )13 2 ge ， 3 2 42 2( )1lng te剟，即 3 2 42 2|1lnnme剟 故选：C 第 9 页（共 15 页） 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （
20、5 分）函数 2 ( )f xlnxx的图象在点(1，f（1）)处切线方程为 320xy 【解答】解：由 2 ( )f xlnxx，得 1 ( )2fxx x ， 则f（1）3，又f（1）1，则切线方程为13(1)yx ， 即320xy 故答案为：320xy 14 （5 分）若 2 sin(15 ) 3 ，则cos(105 ) 2 3 【解答】解： 2 cos(105 )cos(1590 )sin(15 ) 3 故答案为： 2 3 15 （5 分）函数( )sin(2) 3 f xx 在区间0, 4 的最小值为 1 2 【解答】解：0, 4 x ，则 5 2, 336 x ， 1 sin(2)
21、 ,1 32 x ， 可知( )f x的最小值为 51 ( )sin() 62 f x 故答案为： 1 2 16 （5 分）在半径为 2 的球内有一个内三棱锥PABC，点P，A，B，C都在球面上， 且ABC是边长为 3 的等边三角形，那么三棱锥PABC体积的最大值为 9 3 4 【解答】解：如图： 23 33 32 CD 在OCD中， 22 1ODOCCD 三棱锥PABC体积的最大时，最长的高为3ODOP 三棱锥PABC体积的最大值为： 1139 3 3 33 3224 P ABC V 故答案为： 9 3 4 第 10 页（共 15 页） 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、
22、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17 （12 分）已知正项等差数列 n a满足 25 9aa， 34 20a a ，等比数列 n b的前n项和 n S满足2n n Sc，其中c是常数 （1）求c以及数列 n a、 n b的通项公式； （2）设 nnn ca b，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）数列 n a为正项等差数列，公差0d ， 2534 9aaaa，又 34 20a a
23、 ， 3 4a， 4 5a ，可得1d ，即可得1 n an； 2n n Sc 当1n 时， 1 2bc， 当2n时， 1 1 2n n Sc 即可得 1 2n n b ，2n，又 n b为等比数列， 0 1 212bc ，即可得1c ， 1 2n n b ，*nN； （2）由题意得 1 (1)2n n cn ， 011 2 23 2(1) 2n n Tn ， 11 22 22(1) 2 nn n Tnn ， 可得： 1 121 2(12) 2222(1) 22(1) 22 12 n nnnn n Tnnn 2n n Tn 18 （12 分）为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了
24、相应的测试，将得 第 11 页（共 15 页） 到的数据统计如图所示： 并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如表所示： 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40 岁以下 600 40 岁以上 800 1000 总计 1200 （1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间； （2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意 购买该款手机”与“市民的年龄”有关 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.
25、010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 根 据 题 意 ， 由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ： 40.05240.09640.07 1040.03 1440.01 187.76x 故该款手机的平均使用时间为 7.76 年 （2）根据题意，分析可得： 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40 岁以下 400 600 1000 40 岁以上 800 200 1000 总计 1200 800 2000 第 12 页（共 15 页） 2 2 2000(400200600 800) 333.310.828 1200
26、800 1000 1000 K 可知有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关 19 （12 分）如图，四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯形，/ /ABCD，ABBC， 222ABBCCD，SAD为正三角形，点M为线段AB的中点 （1）证明SMAD； （2）当1SM 时，求点B到平面SAD的距离 【解答】 （1）证明：取AD的中点P，连接SP、MP， 由题意可知：1AMDM，MPAD SAD为正三角形，SPAD 又SPMPP，SP，MP 面SMP，AD面SMP SM 面SMP，SMAD； （2）解：由题意可知DMAB，且1AMDM，2AD ， 又SAD为正三角形，2SA
27、 又1SMAM， 222 SMAMSA，得SMAM 由（1）知SMAD，且ADAMA，AD，AM 面ABCD，SM面ABCD， 三棱锥SABD的体积为 11 33 SABDABD VSSM ， 设点B到平面SAD的距离为h， 则 11 161 2 33 223 B SADSAD VShh ， 得 2 3 3 h ， 即点B到平面SAD的距离为 2 3 3 第 13 页（共 15 页） 20 （12 分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过(0, 1)A、 1 ( 3, ) 2 B两点， （1）求椭圆C的方程； （2）设直线 1 :,(0) 2 l yxm m与椭圆C交于P，Q两点，求当m取
28、何值时，OPQ的 面积最大 【解答】解： （1）由题意可设椭圆C的方程为 22 22 1 xy mn ，代入(0, 1)A、 1 ( 3, ) 2 B两点， 得 22 22 2 2 22 0( 1) 1 1 ( ) 3 2 1 mn mn 解得 2 1n ， 2 4m 得椭圆 2 2 :1 4 x Cy （2）将直线 1 :,(0) 2 l yxm m代入 2 2 1 4 x y得： 22 1 4()4 2 xxm 整理得： 22 2220xmxm 222 (2 )4(22)840mmm 得22m 由韦达定理得 12 2xxm ， 2 1 2 22x xm 2222242 12121212 1
29、 |()444(22)84|22 2 OPQ xxxxx xmmm Sm xxmmmm 由二次函数可知当 2 1m 即1m 时，OPQ的面积的最大 21 （12 分）已知函数( )sinf xaxx，0, 2 x ，其中a为常数 （1）若函数( )f x在0, 2 上是单调函数，求a的取值范围； （2）当1a时，证明： 3 1 ( ) 6 f xx 【解答】解： （1）求导得( )cosfxax，0, 2 x ， 当( )f x在0, 2 上为单调递减函数时，即( )cos0fxax恒成立， 第 14 页（共 15 页） 又cos0x，1，(cos )0 min ax 当( )f x在0, 2
30、 上为单调递增函数时，即( )cos0fxax恒成立， 又cos0x，1，(cos )1 max ax； 综上所述：( )f x在0, 2 上为单调递减函数时，0a； ( )f x在0, 2 上为单调递增函数时，1a （2）证明：要证 3 1 ( ) 6 f xx，只需证 3 1 sin0 6 axxx恒成立， 令 3 1 ( )sin 6 g xaxxx，0, 2 x ，则 2 1 ( )cos 2 g xaxx， 令 2 1 ( )cos 2 h xaxx，0, 2 x ，则( )sinh xxx， 易证当0, 2 x 时，sinx x， ( )0h x，即( )h x在0, 2 上递减，
31、 ( )(0)1 0h xha剟，即( ) 0g x，( )g x在0, 2 上递减， ( )(0)0g xg即 3 1 sin0 6 axxx，命题得证 （二）选考题请考生在第（二）选考题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，直 线l的极坐标方程为： 1 sin() 62 ，曲线C的参数方程为： 22cos ( 2sin x y 为参数） （1）写出直线l的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值 【解答】解
32、： （1）直线l的极坐标方程为： 1 sin() 62 ， 311 (sincos ) 222 ， 311 222 yx， 310xy （2）根据曲线C的参数方程为： 22cos ( 2sin x y 为参数） 得 第 15 页（共 15 页） 22 (2)4xy， 它表示一个以(2,0)为圆心，以 2 为半径的圆， 圆心到直线的距离为： 3 2 d ， 曲线C上的点到直线l的距离的最大值 37 2 22 23已知( ) |1|3|f xxx （1）解关于x的不等式( ) 4f x ； （2）若 2 ( )f xmm恒成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （1） 24,3 ( )2, 13 24,1 xx f xx xx ，由( ) 4f x 可得 24 4 3 x x ，或13x，或 424 1 x x ； 解求得34x剟；解求得01x 把的解集取并集，可得原不等式的解集为 |04xx剟 （2）由（1）知( )f x的最小值为 2， 2 ( )f xmm恒成立，等价于 2 2mm， 即 2 20mm，21m
