1、 第 1 页(共 19 页) 2019-2020 学年河北省部分重点高中高三 (上) 期末数学试卷 (理学年河北省部分重点高中高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)科) 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知全集 UR,集合 A1,3) ,UB(,1)(4,+) ,则 AB ( ) A (1,1) B (1,3) C1,3) D1,4 2 (5 分)复数( 2 1) 2(其中 i 为虚数单位)的虚部等于( )
2、Ai B1 C1 D0 3 (5 分)已知各项为正数的等比数列an中,a21,a4a664,则公比 q( ) A4 B3 C2 D2 4 (5 分)某校高一年级有甲,乙,丙三位学生,他们前三次月考的物理成绩如表: 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 80 85 90 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是( ) A甲,乙,丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大 5 (5 分)如图是一个几何体的三视图,则
3、该几何体的体积是( ) 第 2 页(共 19 页) A54 B27 C18 D9 6 (5 分)已知 ( 2,)且 sin(+ 2)= 1 3,则 tan(+)( ) A22 B22 C 2 4 D 2 4 7 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)与双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的一个交点,且 AFx 轴,则双曲线的离心率为( ) A2 +2 B5 +1 C3 +1 D2 +1 8 (5 分)下列命题中真命题的个数是( ) ABC 中,B60是ABC 的三内角 A,B,C 成等差数列的充要条件; 若“am2bm2,则 ab”的逆命题为真命题;
4、xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件; lgxlgy 是的充要条件 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 (5 分)将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互不相 同的分配方案共有( ) A252 种 B112 种 C70 种 D56 种 10 (5 分)设 a= 2 ; 2 2( + 4)dx,则二项式(a 1 ) 6 展开式中含 x2项的系数是 ( ) A192 B193 C6 D7 11 (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)+f(x)2xe x,若 f(0)1,则 函数() () 的取值范围为( ) 第 3 页(共 19 页
5、) A2,0 B1,0 C0,1 D0,2 12 (5 分)已知 O 为直角坐标系的坐标原点,双曲线 C: 2 2 2 2 =1(ba0)上有的 一点 P(5,m) , (m0) ,点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点,过点 P 作 双曲线 C 两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为 A,B,若平行四边形 PAOB 的面积为 1,则双曲线的标准方程是( ) A2 2 4 = 1 B 2 2 2 3 = 1 C2 2 6 = 1 D 2 3 2 2 7 2 = 1 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分
6、)设 x,y 满足约束条件 + 2 1 2 + 1 0 ,则 z3x2y 的最小值为 14 (5 分) (理) 2 ; 2 (1+cosx)dx 15 (5 分)已知函数() = ( + )(0,0,0 2)的图象过点(0, 1 2),最 小正周期为2 3 ,且最小值为1若 6 ,f(x)的值域是1, 3 2 ,则 m 的 取值范围是 16 (5 分)数列an是首项 a10,公差为 d 的等差数列,其前 n 和为 Sn,存在非零实数 t, 对任意 nN*有 Snan+(n1)tan恒成立,则 t 的值为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出
7、文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+11,且 a11,数列bn中,b11, b59,2bnbn+1+bn1(n2) (1)求数列an和bn的通项公式: (2)若 cnanbn,求cn的前 n 项的和 Tn 18 (12 分)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形,ADC120,AD 的中点 M 是 顶点 P 的底面
8、ABCD 的射影,N 是 PC 的中点 ()求证:平面 MPB平面 PBC; ()若 MPMC,求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 第 4 页(共 19 页) 19 (12 分)已知椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为1 2, P 是椭圆 C 上的一个动点,且PFF2面积的最大值为3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设斜率不为零的直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q,且 PQ 的垂直平分线交 y 轴 于点(0, 1 8),求直线 PQ 的斜率 20 (12 分)已知函数 f(x)exax2 (1)若 a1,证明:当 x0 时,f(x
9、)1; (2)若 f(x)在(0,+)有两个零点,求 a 的取值范围 21 (12 分) 11 月, 2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办, 其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮) ,在相同的条件下, 每轮甲乙两人或在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有 1 人命中,命中者得 1 分, 未命中者得1 分;两人都命中或都未命中,两人均得 0 分,设甲每次投球命中的概率为 1 2,乙每次投球命中的概容为 2 3,且各次投球互不影响 (1)经过 1 轮投球,记甲的得分为 X,求 X 的分布列; (2)若经过 n 轮投球,用 pi表示经过第 i 轮投
10、球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的 概率 求 p1,p2,p3; 规定 p00,经过计算机计算可估计得 piapi+1+bpi+cpi1(b1) ,请根据中 p1, p2,p3的值分别写出 a,c 关于 b 的表达式,并由此求出数列pn的通项公式 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 ( 为参数)
11、 , 直线 C2的方程为 = 3 3 ,以 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 第 5 页(共 19 页) (1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程; (2)若直线 C1与曲线 C2交于 P,Q 两点,求|OP|OQ|的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 a0,b0,a+2b3证明: (1)2+ 2 9 5; (2)3 + 43 81 16 第 6 页(共 19 页) 2019-2020 学年河北省部分重点高中高三 (上) 期末数学试卷 (理学年河北省部分重点高中高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本
12、题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知全集 UR,集合 A1,3) ,UB(,1)(4,+) ,则 AB ( ) A (1,1) B (1,3) C1,3) D1,4 【解答】解:全集 UR,UB(,1)(4,+) , B1,4, A1,3) , AB1,3) 故选:C 2 (5 分)复数( 2 1) 2(其中 i 为虚数单位)的虚部等于( ) Ai B1 C1 D0 【解答】解:由于 ( 2 1) 2 = 22 (1)2
13、= 22 2 = ,所以虚部为1, 故选:B 3 (5 分)已知各项为正数的等比数列an中,a21,a4a664,则公比 q( ) A4 B3 C2 D2 【解答】解:各项为正数的等比数列an中,a21,a4a664, 1 = 1 13 15= 64,且 q0, 解得1= 1 2,q2, 公比 q2 故选:C 4 (5 分)某校高一年级有甲,乙,丙三位学生,他们前三次月考的物理成绩如表: 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 80 85 90 第 7 页(共 19 页) 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是( ) A甲,乙,丙第三
14、次月考物理成绩的平均数为 86 B在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大 【解答】解:由表中数据知,甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为 1 3 (90+85+82)= 257 3 86,A 错误; 这三次月考物理成绩中,丙的成绩平均分最高, 为1 3 (90+86+82)86,B 错误; 这三次月考物理成绩中,乙的成绩波动性最小,最稳定,C 正确; 这三次月考物理成绩中,甲的成绩波动性最大,方差最大,D 错误 故选:C 5 (5 分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( ) A54 B27
15、 C18 D9 【解答】解:由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥, 且底面为矩形,长 6,宽 3;体高为 3 则 = 1 3 = 1 3 6 3 3 =18 故选:C 6 (5 分)已知 ( 2,)且 sin(+ 2)= 1 3,则 tan(+)( ) 第 8 页(共 19 页) A22 B22 C 2 4 D 2 4 【解答】 解: 已知 ( 2, ) 且 sin (+ 2) cos= 1 3, sin= 1 2 = 22 3 , tan= = 22,则 tan(+)tan22, 故选:A 7 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)与双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)有相同的焦点
16、F,点 A 是两曲线的一个交点,且 AFx 轴,则双曲线的离心率为( ) A2 +2 B5 +1 C3 +1 D2 +1 【解答】解:抛物线的焦点坐标为( 2,0) ;双曲线的焦点坐标为(c,0) , p2c, 点 A 是两曲线的一个交点,且 AFx 轴, 将 xc 代入双曲线方程得到 A(c, 2 ) , 将 A 的坐标代入抛物线方程得到 4 2 =2pc,即 4a4+4a2b2b40 解得 =2 + 22, 2 2 = 2;2 2 = 2 + 22,解得: =2 + 1 故选:D 8 (5 分)下列命题中真命题的个数是( ) ABC 中,B60是ABC 的三内角 A,B,C 成等差数列的充
17、要条件; 若“am2bm2,则 ab”的逆命题为真命题; xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件; lgxlgy 是的充要条件 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】 解: ABC 中, B60ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 故正确; 若“am2bm2,则 ab”的逆命题“若 ab,则 am2bm2” , 当 m0 时不成立,故若“am2bm2,则 ab”的逆命题为假命题,故错误; xy6 是 x2 或 y3 的逆否命题是: 第 9 页(共 19 页) 若 x2 且 x3,则 xy6,真命题, xy6x2 或 y3, xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件,故
18、正确; f(x)lgx 在定义域 x0 范围内是单增函数:lgxlgy 可得到 xy0 g(x)= 在定义域 x0 范围内是单增函数:可得到 xy0 可见,lgxlgy,但是当 y0 时,推不出 lgxlgy, lg0 不存在,lgxlgy 是的充分不必要条件,故错误 故选:B 9 (5 分)将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互不相 同的分配方案共有( ) A252 种 B112 种 C70 种 D56 种 【解答】解:由题意知将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学 生 包括甲、乙每屋住 4 人、3 人或 5 人、2 人, 当甲和
19、乙两个屋子住 4 人、3 人,共有 C73A22 当甲和乙两个屋子住 5 人、2 人,共有 C72A22 根据分类计数原理得到共有 C73A22+C72A22352+212112(种) 故选:B 10 (5 分)设 a= 2 ; 2 2( + 4)dx,则二项式(a 1 ) 6 展开式中含 x2项的系数是 ( ) A192 B193 C6 D7 【解答】解:由于 a= 2 ; 2 2( + 4)dx= 2sin(x+ 4)|; 2 2 = 2 ( 2 2 )( 2 2 ) 2, 二项式(a 1 ) 6(2 1 ) 6,它的展开式的通项公式为 Tr+1= 6 (1)r26 rx3r, 令 3r2
20、, 可得 r1, 故二项式 (a 1 ) 6 展开式中含 x2项的系数是6 125192, 故选:A 第 10 页(共 19 页) 11 (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)+f(x)2xe x,若 f(0)1,则 函数() () 的取值范围为( ) A2,0 B1,0 C0,1 D0,2 【解答】解:由 f(x)+f(x)2xe x, 得():() = 2,即 exf(x)+exf(x)2x, 令 g(x)exf(x) ,则 g(x)exf(x)+exf(x)2x, g(x)x2+c(其中 c 为常数) , f(x)= 2+ , 又 f(0)1, c1,则 f(x)= 2
21、+1 , f(x)= 221 , () () = 2;2;1 2:1 = 1 + 2 2:1, 当 x0 时,() () = 1, 当 x0 时,() () = 1 + 2 :1 , + 1 (, 2 2,+ ), () () 2,0 故选:A 12 (5 分)已知 O 为直角坐标系的坐标原点,双曲线 C: 2 2 2 2 =1(ba0)上有的 一点 P(5,m) , (m0) ,点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点,过点 P 作 双曲线 C 两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为 A,B,若平行四边形 PAOB 的面积为 1,则双曲线的标准方程是( ) A2 2 4 =
22、 1 B 2 2 2 3 = 1 C2 2 6 = 1 D 2 3 2 2 7 2 = 1 【解答】解:由题意可知:在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点,即 c= 5, 由双曲线方程可得渐近线方程 bxay0, 第 11 页(共 19 页) 由(5,)(m0) ,设过 P 平行于 bx+ay0 的直线为 l, 则 l 的方程为:bx+ayb5 am0,l 与渐近线 bxay0 交点为 A, 则 A(5: 2 ,5: 2 ) ,|OA|5: 2 | 2+2 22 , P 点到 OA 的距离是:d= 丨5丨 2+2 , |OA|d1,|5: 2 | 2+2 22 丨5;丨 2:2 =1,
23、5b2a2m22ab, 由 P 在双曲线上,5b2a2m2a2b2, 且 a2+b25, b2,a1, 双曲线的方程为2 2 4 = 1, 故选:A 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)设 x,y 满足约束条件 + 2 1 2 + 1 0 ,则 z3x2y 的最小值为 5 【解答】解:由 x,y 满足约束条件 + 2 1 2 + 1 0 作出可行域如图, 由图可知,目标函数的最优解为 A, 联立 + 2 = 1 2 + = 1,解得 A(1,1) z3x2y 的最小值为31215 故答案为:5 第 12 页(共 19
24、页) 14 (5 分) (理) 2 ; 2 (1+cosx)dx 【解答】解: 2 ; 2 (1 + ) =(x+sinx)|; 2 2 = 2 +1( 2 1)+2, 故答案为 +2 15 (5 分)已知函数() = ( + )(0,0,0 2)的图象过点(0, 1 2),最 小正周期为2 3 ,且最小值为1若 6 ,f(x)的值域是1, 3 2 ,则 m 的 取值范围是 2 9 , 5 18 【解答】 解: 由题意可得 A1, T= 2 = 2 3 , 所以 3, 又过 (0, 1 2) , 即 cos (30+) = 1 2,0 2,所以 = 3, 所以 f(x)cos(3x+ 3) ;
25、 因为 6 ,所以 3x+ 3 5 6 ,3m+ 3,令 t3x+ 3,t 5 6 ,3m+ 3,所以 f(t) cost,t5 6 ,3m+ 3, 第 13 页(共 19 页) 由 f(x)的值域是1, 3 2 ,即 f(t)的值域是1, 3 2 ,如图所示,t= 5 6或 7 6 , f(t)= 3 2 ,这时 3m+ 3 = 7 6 ,解得 m= 5 18 , 当 t3m+ 3 =,即 m= 2 9 ,f(t)1, 所以 m 的取值范围为:2 9 , 5 18 故答案为:2 9 , 5 18 16 (5 分)数列an是首项 a10,公差为 d 的等差数列,其前 n 和为 Sn,存在非零实
26、数 t, 对任意 nN*有 Snan+(n1)tan恒成立,则 t 的值为 1 或1 2 【解答】解:对任意 nN*有 Snan+(n1)tan恒成立, Sn1(n1)tan(n2)恒成立, 又数列an是首项 a10,公差为 d 的等差数列, (1:1)(;1) 2 =(n1)tan(n2)恒成立,即1:1 2 =tan(n2)恒成立, 当 n2 时,1:1 2 =a1ta2t(a1+d) 当 n3 时,1:2 2 = 21: 2 =t(a1+2d) 联立得:d2a1d, d0 或 da1, 当 d0 时,t1; 当 da1时,t= 1 2 故答案为:1 或1 2 三、解答题:共三、解答题:共
27、 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+11,且 a11,数列bn中,b11, b59,2bnbn+1+bn1(n2) (1)求数列an和bn的通项公式: (2)若 cnanbn,求cn的前 n 项的和 Tn 【解答】解: (1)由题意,可知: 第 14 页(共 19
28、页) 对于数列an: 当 n1 时,a11 当 n2 时,anSnSn1(an+11)(an1)an+1an an+12an 数列an是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 an2n 1 对于数列bn: 2bnbn+1+bn1(n2) 根据等差中项判别法,可知:数列bn是等差数列 又公差 d= 51 51 = 91 4 = 2 数列bn是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 bn1+(n1)22n1 (2)由(1) ,可知: cnanbn,(2n1) 2n 1 Tnc1+c2+cn 11+321+522+(2n1) 2n 1, 2= 1 21+ 3 22+ + (2 3) 2;1+(2n1)
29、2n, ,可得: = 1 + 2 21+ 2 22+ +22n 1(2n1) 2n 1+4 (1+2+22+2n 2)(2n1) 2n 1+41;2 1 1;2 (2n1) 2n 1+4 (2n 11)(2n1) 2n (32n) 2n3 Tn(2n3) 2n+3 18 (12 分)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形,ADC120,AD 的中点 M 是 顶点 P 的底面 ABCD 的射影,N 是 PC 的中点 ()求证:平面 MPB平面 PBC; ()若 MPMC,求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 第 15 页(共 19 页) 【解答】 ()证明:在菱形 ABCD 中
30、,设 AB2a,M 是 AD 的中点, MB2AM2+AB22AMABcos603a2,MC2DM2+DC22DMDCcos1207a2 又BC24a2,MB2+BC2MC2,MBBC, 又P 在底面 ABCD 的射影 M 是 AD 的中点,PM平面 ABCD, 又BC平面 ABCD,PMBC, 而 PMMBM,PM,MB平面 PMB,BC平面 PMB, 又 BC平面 PBC,平面 MPB平面 PBC ()解:过 B 作 BHMC,连接 HN, PM平面 ABCD,BC平面 ABCD,BHPM, 又PM,MC平面 PMC,PMMCM,BH平面 PMC, HN 为直线 BN 在平面 PMC 上的
31、射影, 故BNH 为直线 BN 与平面 PMC 所成的角, 在MBC 中, = 23 7 = 221 7 由()知 BC平面 PMB,PB平面 PMB,PBBC = 1 2 = 14 2 , = = 221 7 14 2 = 26 7 19 (12 分)已知椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为1 2, 第 16 页(共 19 页) P 是椭圆 C 上的一个动点,且PFF2面积的最大值为3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设斜率不为零的直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q,且 PQ 的垂直平分线交 y 轴 于点(0, 1 8),求直线 PQ 的
32、斜率 【解答】解: (1)因为椭圆离心率为1 2,当 P 为 C 的短轴顶点时,PF1F2 的面积有最大 值3, 所以 = 1 2 2= 2+ 2 1 2 2 = 3 ,所以 = 2 = 3 = 1 ,故椭圆 C 的方程为: 2 4 + 2 3 =1 (2)设直线 PQ 的方程为 yk(x1) , 当 k0 时,yk(x1)代入 2 4 + 2 3 =1, 得: (3+4k2)x28k2x+4k2120, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y 2) ,线段 PQ 的中点为 N(x0,y0) , x0= 1+2 2 = 42 3+42,y0= 1+2 2 =k(x01)= 3 3+42,即 N(
33、 42 3:42, ;3 3:42) 因为 TNPQ,则 kTNkPQ1,所以 3 3+42; 1 8 42 3+42 k1, 化简得 4k28k+30,解得 k= 1 2或 k= 3 2 20 (12 分)已知函数 f(x)exax2 (1)若 a1,证明:当 x0 时,f(x)1; (2)若 f(x)在(0,+)有两个零点,求 a 的取值范围 【解答】 (1)证明:当 a1 时,函数 f(x)exx2,则 f(x)ex2x 令 g(x)ex2x,则 g(x)ex2,令 g(x)0,得 xln2 当 x(0,ln2)时,g(x)0,当 x(ln2,+)时,g(x)0, g(x)g(ln2)e
34、ln22ln222ln20, f(x)在0,+)上单调递增, f(x)f(0)1; (2)解:f(x)在(0,+)有两个零点方程 exax20 在(0,+)有两个根, = 2在(0,+)有两个根, 第 17 页(共 19 页) 即函数 ya 与 G(x)= 2 的图象在(0,+)有两个交点 G(x)= (2) 3 , 当 x(0,2)时,G(x)0,G(x)在(0,2)递增, 当 x(2,+)时,G(x)0,G(x)在(2,+)递增, G(x)最小值为 G(2)= 2 4 , 当 x0 时,G(x)+,当 x+时,G(x)+, f(x)在(0,+)有两个零点时,a 的取值范围是( 2 4 ,+
35、 ) 21 (12 分) 11 月, 2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办, 其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮) ,在相同的条件下, 每轮甲乙两人或在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有 1 人命中,命中者得 1 分, 未命中者得1 分;两人都命中或都未命中,两人均得 0 分,设甲每次投球命中的概率为 1 2,乙每次投球命中的概容为 2 3,且各次投球互不影响 (1)经过 1 轮投球,记甲的得分为 X,求 X 的分布列; (2)若经过 n 轮投球,用 pi表示经过第 i 轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的 概率 求 p1,p2,p3
36、; 规定 p00,经过计算机计算可估计得 piapi+1+bpi+cpi1(b1) ,请根据中 p1, p2,p3的值分别写出 a,c 关于 b 的表达式,并由此求出数列pn的通项公式 【解答】解: (1)X 的可能取值为1,0,1, P(X1)= (1 1 2) 2 3 = 1 3, P(X0)= 1 2 2 3 + (1 1 2) (1 2 3) = 1 2, P(X1)= 1 2 (1 2 3) = 1 6, X 的分布列为: X 1 0 1 P 1 3 1 2 1 6 (2)由(1)知 p1= 1 6, 第 18 页(共 19 页) 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况: 一是两轮甲各
37、得 1 分,二是两轮中有一轮甲得 0 分,有一轮甲得 1 分, p2= 1 6 1 6 + 2 1(1 2)( 1 6) = 7 36 经过三轮投球,甲的累计得分高有四种情况: 一是三轮甲各得 1 分,二是三轮中有两轮甲各得 1 分,一轮得 0 分,三是三轮中有一轮 甲得 1 分,两轮各得 0 分,四是两轮各得 1 分,1 轮得1 分, p3= (1 6) 3 + 3 2(1 6) 2(1 2) + 3 1(1 6)( 1 2) 2 + 3 2(1 6) 2(1 3) = 43 216 p00,piapi+1+bpi+cpi1(b1) , = 1 :1+ 1;1, 将0= 0,1= 1 6 ,
38、2= 7 36 ,3= 43 216代入,解得 1; = 6 7, 1; = 1 7, = 6 7 (1 ), = 1 7 (1 ), = 6 7 :1+ 1 7 ;1,:1= 7 6 1 6 ;1, pi+1pi= 1 6(pipi1) , p1p0= 1 6,pnpn1是首项与公比都是 1 6的等比数列, pnpn1= 1 6, pnp0+(p1p0)+(p2p1)+(pnpn1)= 1 6(1 1 6) 11 6 = 1 5(1 1 6) (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则
39、按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 ( 为参数) , 直线 C2的方程为 = 3 3 ,以 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程; (2)若直线 C1与曲线 C2交于 P,Q 两点,求|OP|OQ|的值 【解答】解: (1)曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 ( 为参数) , 转化为普通方程:( 3)2+ ( 2)2= 4, 即2+ 2 23 4 + 3 = 0, 第
40、19 页(共 19 页) 则 C1的极坐标方程为2 23 4 + 3 = 0,(3 分) 直线 C2的方程为 = 3 3 , 直线 C2的极坐标方程 = 6 ( )(5 分) (2)设 P(1,1) ,Q(2,2) , 将 = 6 ( )代入2 23 4 + 3 = 0, 得:25+30, 123, |OP|OQ|123(10 分) 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 a0,b0,a+2b3证明: (1)2+ 2 9 5; (2)3 + 43 81 16 【解答】证明: (1)已知 a0,b0,a+2b3,则 a32b0,b(0,3 2) , 所以 a2+b2(32b)2+b25b212b+95(b 6 5) 2+9 5 9 5, 当 b= 6 5时,a32b= 3 5时,取等号, 故结论成立; (2)已知 a0,b0,a+2b3 22, 故 0ab 9 8,当且仅当 a2b= 3 2取等号, 所以 a3b+4ab3ab(a2+4b2)ab(a+2b)24abab(94ab)4(ab) 2+9ab=81 16 4( 9 8) 2, 当且仅当 ab= 9 8时,取等号, 故命题成立