1、北师大版中考数学模拟试卷含答案 一选择题（每小题 2 分，共 20 分） 1. 在-1，0， 3 1 ，- 2 1 这四个数中，最小的数是 （ ） A. -1 B.0 C. 3 1 D.- 2 1 2.华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的 5G国产手机，它采用的麒麟 990 5G芯片在指甲盖大小 的尺寸上集成了 103 亿个晶体管，将 103 亿用科学记数法表示为（ ） A1.0310 9 B10.3109 C1.0310 10 D1.031011 3下列计算正确的是（ ） Aa 2a3a6 B （a+b）2a2+b2 C （2b 2）36b6 D （a+b） （ba）a2b2 4.如
2、图是由 5 个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方， 则它的（ ） A左视图会发生改变 B俯视图会发生改变 C主视图会发生改变 D三种视图都会发生改变 5不等式 3x+22x+3 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 6.如图，在菱形ABCD中，AB2，BAD60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值为（ ） A1 B C2 D 7如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则 sinA的值为（ ） A. 2 1 B. 5 5 C. 10 10 D. 5 52 第 4 题 第 6 题 第 7 题 8.某幢建筑物，从 10 米
3、高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙 面垂直） ， （如图）如果抛物线的最高点M离墙 1 米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是 （ ） A2 米 B3 米 C4 米 D5 米 9.如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC：BD=3:4，AECD 于点 E,则 AE 的长是（ ） A.4 B. 5 24 C. 5 D. 5 12 第 8 题 第 9 题图 10. 将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知A（1，0） ，B（1，1） ， C（0，1） ，若绕点D（0，0）顺时针旋转这个正方形，旋转角为 135，则旋转后
4、点B的坐标B 为（ ） A（1，1） B （2，0） C （，0） D （1，1） 二填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11.分解因式： （ab） 24b2 12.分式方程: 0 的解是 13.如图， 在同一坐标系中， 反比例函数y和y分别与一个正比例函数在第一象限相交于A、 B两点，则OA：OB 14.如图，在ABCD中，AD2，AB4，A30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点 E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留） 第 13 题 第 14 题 15.如图，正方形ABCD中，AB4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AEDF，连接DE，CF交于点 P，过点P作PKBC
5、，且PK2，若CBK的度数最大时，则BK长为 16.二次函数yax 2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 其对称轴为直线x1， 与x轴的交点为 （x1， 0） 、 （x2，0） ，其中 0x11，有下列结论：c0；3x22；a+b+c0；b 24ac0； 已知图象上点A（4，y1） ，B（1，y2） ，则y1y2其中，正确结论的是 第 15 题 第 16 题 二解答题（第 17 小题 6 分，第 18，19 小题各 8 分，共 22 分） 17计算： （） 1+|1 |2sin60+（2017） 0 18.老师和小明同学玩数学游戏， 老师取出一个不透明的口袋， 口袋中装有三张分别标有数字
6、1， 2， 3 的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机从口袋中各抽取一张卡片，第一 次抽取卡片记录数字后将卡片放回口袋中，再继续抽取第二张卡片 （1）小明同学第一次抽取的卡片上数字为 3 的概率为 （2）用画树状图或列表格的方法求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率 19.在菱形ABCD中， ABC60， 点P是对角线BD上一动点， 将线段CP绕点C顺时针旋转 120 到CQ，连接DQ （1）如图 1，求证：BCPDCQ； （2）如图 2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N若MN的最小值为 2，直接写出菱 形ABCD的面积为 四 （每小题 8 分，共 16 分
7、） 20.为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，国家每年都要对中学生进行一次体能 测试，测试结果分“优秀” 、 “良好” 、 “及格” 、 “不及格”四个等级，某学校从九年级学生中随 机抽取部分学生的体能测试结果进行分析，并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请 根据这两幅统计图中的信息回答下列问题 （1）本次抽样调查共抽取多少名学生？ （2）补全条形统计图 （3）在扇形统计图中，求测试结果为“良好”等级所对应圆心角的度数 （4）若该学校九年级共有 600 名学生，请你估计该学校九年级学生中测试结果为“不及格”等 级的学生有多少名？ 21.如图，四边形 OABC 是平行四边形，
8、以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于 D，延长 AO 交O 于 E，连接 CD，CE，若 CE 是O 的切线， （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 BC3，AB4，求平行四边形 OABC 的面积 五 （本题 10 分） 22.某超市准备进一批每个进价为40元的小家电,经市场调查预测,售价定为50元时可售出400个； 定价每增加 1 元,销售量将减少 10 个 （1）设每个定价增加x元,此时的销售量是 (用含x的代数式表示) （2）超市若准备获得利润 6000 元,并且使进货量较少,则每个应定价为多少元？ （3）超市若要获得最大利润,则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 六
9、 （本题 10 分） 23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+3（k0）与x轴交于点A，与双曲线y（m 0）的一个交点为B（1，4） （1）求直线与双曲线的表达式； （2） 过点B作BCx轴于点C， 若点P在双曲线y上， 且PAC的面积为 4， 求点P的坐标 七 （本题 12 分） 24.发现探究 在ABC中，ABAC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与BAC相等 的角度，得到线段AQ，连接BQ （1）如图 1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ； （2）如图 2，如果点P为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证
10、明；若不成立，请说明理由请仅以图 2 所示的位置关系加以证明（或说明） ； （3）如图 3，在DEF中，DE8，EDF60，DEF75，P是线段EF上的任意一点，连 接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转 60，得到线段DQ，连接EQ请直接写出线段EQ长 度的最小值 八 （本题 12 分） 25.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yax 2+bx+3（a0）与 x轴分别交于A（3，0） ，B两 点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（1，4） ，对称轴交x轴于点F （1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式； （2）连接AC、AE、CE，判断ACE的形状，并说明理由； （3）如图 2
11、，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且3m1，过点D作DKx轴于 点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H在点D的运动过程中， DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由； 在的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论 参考答案 一选择题 1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 解：连接 DE、BD， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得 B、D 关于 AC 对称，连接 PB则 PDPB， PE+PBPE+PDDE， 即 DE 就是 PE+PB 的最小值， BAD60，ADAB， ABD 是等边三角形， AEBE， DEAB（等腰三角形三
12、线合一的性质） ， 在 RtADE 中，DE 故选：B 7.B 解：如图所示：连接 DC， 由网格可得出CDA90， 则 DC，AC， 故 sinA 故选：B 8.B 解：设抛物线解析式：ya（x1）2+， 把点 A（0，10）代入抛物线解析式得： a， 抛物线解析式： y（x1）2+ 当 y0 时，x11（舍去） ，x23 OB3 米 故选：B 9.B 10.C 二填空题 11. （a+b） （a-3b） 12. x= 4 3 13. ：3 或 3 3 解：分别过 A、B 作 x 轴的垂线 AE、BF，垂足分别为 E、F， 设 A（a，） ，B（b，） （a0，b0） ， OEa，OFb，A
13、E，BF， AEBF， AEOBFO， ， ， ， 6a22b2， ba， ， ， 故答案为：3 14. 3 解：过 D 点作 DFAB 于点 F AD2，AB4，A30， DFADsin301，EBABAE2， 阴影部分的面积： 41212 41 3 故答案为：3 15. 6 解：正方形 ABCD 中，ADCD，ACDA90， AEDF， ADEDCF（SAS） ， ADEDCF， ADE+CDE90， DCF+CDE90， CPD90， 点 P 在以 CD 为直径的半圆上运动， 取 CD 的中点 O，过 O 作 OMCD，且点 M 在 CD 的右侧，MO2， 连接 OP，KM， PKBC，
14、BCCD， PKCD， PKOM，PKOM2， 四边形 POMK 是平行四边形， CDAB4， OPCD2， OPOM， 四边形 POMK 是菱形， 点 K 在以 M 为圆心，半径2 的半圆上运动， 当 BK 与M 相切时，CBK 最大， BKM90， BM2， BK6， 故答案为：6 16. 解：由图象可知，当 x0 时，y0， c0， 不正确； 对称轴为 x1，0x11， 3x22， 正确； 当 x1 时，y0， a+b+c0， 不正确； 函数与 x 轴有两个交点， 0，即 b24ac0， 正确； 由点 A（4，y1） ，B（1，y2）可知，点 A、B 在对称轴的右侧， y 随 x 值的增
15、大而增大， y1y2， 故正确； 17.解：原式3+12+123+1+121 18.解： （1） 3 1 （2）列表法可知，共有 9 种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次抽取卡片上的 数字之积为奇数的有 4 种结果， P（积为奇数） 19.（1）证明：四边形 ABCD 是菱形， BCDC，ABCD， ABC+BCD180， BCD180ABC120 由旋转的性质得：PCQC，PCQ120， BCDPCQ， BCPDCQ， 在BCP 和DCQ 中， BCPDCQ（SAS） ； （2）解：由（1）得：BCPDCQ， BPDQ， QDCPBCPBM30 在 CD 上取点 E，使 QEQN，
16、如图 2 所示： 则QENQNE， QEDQNCPMB， 在PBM 和QDE 中， PBMQDE （AAS） ， PMQEQN 即MNPQPC， 当 PCBD 时，PC 最小，此时 MN 最小， 则 PC2，BC2PC4， 菱形 ABCD 的面积2SABC2428； 故答案为：8 20.解： （1）本次抽样调查学生有：1830%60（人） ， 即本次抽样调查共抽取 60 名学生； （2）及格的学生有：601824315（人） ， 补全的条形统计图如右图所示， （3）测试结果为“良好”等级所对应圆心角的度数是：360144， 测试结果为“良好”等级所对应圆心角的度数是 144； （4）该学校九年
17、级学生中测试结果为“不及格”等级的学生有：60030（人） ， 即该学校九年级学生中测试结果为“不及格”等级的学生约有 30 人； 21.（1）证明：CE 是O 的切线， OEC90， 连接 OD， 四边形 OABC 是平行四边形， AOBC，OCAB，OCAB， EOCA，CODODA， ODOA， AODA， EOCDOC， 在EOC 和DOC 中， ， EOCDOC（SAS） ， ODCOEC90， ODCD， CD 是O 的切线； （2）解：过 D 作 DFOC 于 F， 在 RtCDO 中，OC4，ODOA3，由勾股定理得：CD， 由三角形的面积公式得：CDODOCDF， DF， 平
18、行四边形 OABC 的面积是 OCDF43 22.解：（1）根据题意得出：400 10；(2)(10 + )(400 10) = 6000 整理得：2 30 + 200 = 0, 解得1= 20,2= 10(舍去), 每个定价 70 元； （3）设利润为y元,则 = 102+ 300 + 4000, 当 = 300 20 = 15时,最大= 4(10)40003002 4(10) = 6250, 所以每个定价为 65 元时,获得的最大利润为 6250 元 23.解： （1）直线 ykx+3（k0）与双曲线 y（m0）都经过点 B（1，4） ， k+34，m14 k1，m4 直线的表达式为 yx
19、+3，双曲线的表达式为 （2）由题意，得点 C 的坐标为 C（1，0） ， 直线 yx+3 与 x 轴交于点 A（3，0） AC4 ， yP2 点 P 在双曲线上， 点 P 的坐标为 P1（2，2）或 P2（2，2） 24.解： （1）由旋转知，AQAP， PAQBAC， PAQBAPBACBAP， BAQCAP， ABAC， BAQCAP（SAS） ， BQCP， 故答案为：BQPC； （2）结论：BQPC 仍然成立， 理由：由旋转知，AQAP， PAQBAC， PAQBAPBACBAP， BAQCAP， ABAC， BAQCAP（SAS） ， BQCP， （3）如图 3， 在 DF 上取一
20、点 H，使 DHDE8，连接 PH，过点 H 作 HMEF 于 M， 由旋转知，DQDP，PDQ60， EDF60， PDQEDF， EDQHDP， DEQDHP（SAS） ， EQHP， 要使 EQ 最小，则有 HP 最小，而点 H 是定点，点 P 是 EF 上的动点， 当 HMEF（点 P 和点 M 重合）时，HP 最小， 即：点 P 与点 M 重合，EQ 最小，最小值为 HM， 过点 E 作 EGDF 于 G， 在 RtDEG 中，DE8，EDF60， DEG30， DGDE4， EGDG4， 在 RtEGF 中，FEGDEFDEG753045， F90FEG45FEG，FGEG4， D
21、FDG+FG4+4， FHDFDH4+4844， 在 RtHMF 中，F45， HMFH（44）22， 即：EQ 的最小值为 22 25.解： （1）抛物线的表达式为：ya（x+1）2+4a（x2+2x+1）+4， 故 a+43，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x+3； 将点 A、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 AE 的表达式为：y2x+6； 同理可得：直线 AC 的表达式为：yx+3； （2）点 A、C、E 的坐标分别为： （3，0） 、 （0，3） 、 （1，4） ， 则 AC218，CE22，AE220， 故 AC2+CE2AE2，则ACE 为直角三角形； （3）设点 D、G、H 的坐标分别为： （x，x22x+3） 、 （x，2x+6） 、 （x，x+3） ， DGx22x+32x6x24x3；HKx+3；GH2x+6x3x+3； 当 DGHK 时，x24x3x+3，解得：x2 或3（舍去3） ，故 x2， 当 x2 时，DGHKGH1， 故 DG、GH、HK 这三条线段相等时，点 D 的坐标为： （2，3） ； CG；AE2， 故 AE2CG
