1、第四章第四章 积分及其应用积分及其应用4.1 积分概述积分概述4.2 直接积分法直接积分法4.3 换元积分法换元积分法4.4 分部积分法分部积分法4.5 广义积分法广义积分法4.6 积分在几何上的应用积分在几何上的应用4.7 积分在物理上的应用积分在物理上的应用4.1 积分概述积分概述4.1.1 积分的定义积分的定义1.单曲边梯形的面积单曲边梯形的面积 所谓单曲边梯形是指将直角梯形的斜腰换成连续曲线段后的图形.如图4-1：图4-1如何计算上述图形的面积呢？适当选取直角坐标系，将曲边梯形的一直腰放在x轴上，两底边为,)(baxf在0)(xfx=a,x=b,设曲不妨设如图边的方程为y=f(x).，
2、且上连续。4-2：图4-2bxxxxxxxannii11210,ba,112110nniixxxxxxxxba),2,1(1nixxxiii.iA具体做法如下：（1）化整为微 任取一组分点将区间分成n个小区间：第i个小区间的长度为第i个小曲边梯形的面积为。，过各个分点作x轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n个小曲边梯形，,1iixx),2,1(nii（2）微量近似 在每一个小区间上任取一点，曲边梯形面积的近似值个小第为高的小矩形面积作为为底，以以ifxii)(),2,1()(nixfAiiininiiiixfAA11)(,max21nxxxx0 x（3）积微为整 将n个小矩形面积相加，作为原曲边梯
3、形面积的近似值 ，当时，（4）极限求精 设原曲边梯形的面积为niiixxfA10)(lim。.积分的定义积分的定义)(xS,xa)(bxa)()(aSbSA注意下面的讨论：以表示以为底边的曲边梯形的面积则所求面积，)0(,)()(xxxxxSxxSS的面积为底的曲边梯形小条表示以因为，和最大值小值上连续，所以，必有最在Mmxxxxf,)(因此MxSmxMSxm即,xxx.)(),(xfSfxS由连续函数的介值定理，存在，使 ,0 xx)(xf)()(xff)()(lim0 xfxSxSx当 因为连续，所以，所以 。虽然，以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型，但这种局部以直代曲（以小矩形
4、面积代替小曲边梯形面积），然后相加并求极限的思想，正是微积分的精华所在。)(xf,ba)()(xfxFbabaxFaFbFdxxf)()()()()(xf,ba)(xfdxxf)(x,ba为此，可以有如下定义：定义定义4.1 设函数在区间上连续，且，则 表示在牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式或微积分基本公式微积分基本公式.其中，称为被积函数，a和b分别称为积分下限和积分上限，称为积分表达式，为积分变量，称为积分区间.上的积分.这个式子就是有名的203dxx34)4(xx40424例例求.解解 因为，所以 .原式=dxx22cosxxcos)(sin211)2sin(2sin例例求解解 因为 .
5、，所以，原式=)(xf,ba)()()(aFbFdxxfba)(xfbxax,x图4-34.1.2 积分的几何意义积分的几何意义如果在上连续且非负，则恰好表示由曲线，直线以及轴所围图形的面积.如图4-3：)(xf,ba)()()(aFbFdxxfba)(xfbxax,x图4-4如果在上连续且非正，则恰好表示由曲线，直线以及轴所围图形面积的负值.如图4-4：)(xf,ba)()()(aFbFdxxfba)(xfbxax,x图4-5一般的情况下，如果在上连续，则表示由曲线，直线以及轴所围图形面积的代数值.如图4-5：baaaabdxdxxf,0)(baabdxxfdxxf)()(4.1.3 积分的
6、性质积分的性质由积分的定义，可以推出积分具有以下一些性质（假设被积函数在积分区间上连续）：性质性质（常数性质）.性质性质（反积分区间性质）.性质性质（线性性质）),()()()()(为常数bababadxxgdxxfdxxgxf性质性质（积分区间的可加性）babccacbadxxfdxxfdxxf).,()()()(为常数,ba),()(xgxfbabadxxgdxxf)()(性质性质（有序性）如果在区间上有则.,)(baxMxfm).()()(abMdxxfabmba性质性质（积分估值性质）设函数，则),(babaabfdxxf).)()(性质性质（积分中值定理）在内至少存在一个（中值），使
7、)(xf,ba),(baab)(f,ba)(xf图4-6这个性质的几何解释是明显的（如图4-6）：若在上连续且非负，在内至少存在一点，使得以为底，高为的矩形面积等于以为底边，曲线为曲边的曲边梯形的面积.返回返回4.2 直接积分法直接积分法4.2.1 原函数的定义原函数的定义)(xf,ba)(xF,),()(baxxfxF)(xF)(xf,baxxcos)(sinxsinxcosxCxcos)(sinxcos)(xF)(xf)(xfCxF)(CxFdxxf)()(如果在上连续，则必存在，使得.我们称为在上的一个原函数原函数.例如：，所以就是的一个原函数，又比如（C为常数），所以的原函数不止一个，
8、而是为的一个原函数，则的全部原函数为（C为常数），我们可以记为日微分中值定理的推论知道，若无穷多个.由拉格朗)(xfCxF)(y)(xf图4-7上述表达式也可称为的不定积分，其几何意义是很明显的：表示一个曲线族.如图4-7：平行于轴的直线与族中每一条曲线的，因此，曲线族交点处的切线斜率都等于可以由一条曲线通过平移得到.由导数或微分的基本公式可直接得到如下原函数的计算公式：直接积分法的定义直接积分法的定义4.2.2;sincos)6(;ln)5(;)4(;ln1)3(;)1(1)2(;)1(1CxxdxCaadxaCedxeCxdxxCxdxxCxdxxxxx.arcsin11)13(;arct
9、an11)12(;csccotcsc)11(;sectansec)10(;cotcsc)9(;tansec)8(;cossin)7(2222CxdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCxxdxCxxdxCxxdx)(xf)(xg)(xF)(xG另外，若和都存在原函数和，因为)()()()(xgxfxGxF所以),(,)()()()()()(为非零常数CxGxFdxxgdxxfdxxgxf由上述13个基本公式结合4-1中的积分性质3或上面这个公式，同时对被积函数进行恒等变换而进行的积分运算称为直接积分法直接积分法.10)3(dxeexxCxedxdxedxedxeexxxxx33)13()3(
10、23)03()13()3(10eexex例例1计算.解解 因为 所以，原式=，例例2计算10241dxxx.解解 因为Cxxxdxxxdxxxdxxxarctan31)111(11)1(13222424所以，原式=324)arctan31(103xxx 例例3计算333222)1(12dxxxx 解解 原式=6332)arctan1()111()1()1(333333223332222xxdxxxdxxxxx 例例4计算 解解 原式=342tanxdx3434212)13()(tan)1(secxxdxx例例5 计算 4622cossin1dxxx解解 原式=464622462222332)c
11、ot(tan)sin1cos1(cossincossinxxdxxxdxxxxx例例6 计算 2022sindxx解解 原式=2020214)sin(212cos1xxdxx返回返回4.3 换元积分法换元积分法 4.3.1 第一换元积分法第一换元积分法);,(,)(,)(baxbaxbaxf上连续，在上连续；在)(,)(ba定理定理设.则baduufubxuaxxudxxxf)(,),()()(令例例计算下列积分：102dxxex1021dxxx202sincosxdxxedxxx1ln（）；（）（）；（）.；).1(21212111;00;)(21)1(101021021022eedueux
12、uxxuxdedxxeuuxx令解.2ln21ln2112121;10;1)1(11211)2(212121022102uduuuxuxuxxdxdxxx令.31302;10;coscoscossincos)3(013012202202uduuuxuxxuxxdxdxx令.2121;01;ln)(lnlnln)4(1021011uuduuexuxxuxxddxxxee令dxx)()(xd上述题目都有一个共同的特征：将写成我们也称此种方法为凑微分法凑微分法.凑微分法可以进行换元也进行换元，不换元则不必换积分上下限，而换元则必换限.可以不常用的微分式子有以下一些（c为常数）：)(csccotcsc
13、)14()(sectansec)13()(cotcsc)12()(tansec)11()(sincos)10()(cossin)9()()8()(arcsin11)7()(arctan11)6()1(1)5()(21)4()(ln1)3()(21)2()(1)1(222222cxdxdxxcxdxdxxcxdxdxcxdxdxcxdxdxcxdxdxceddxecxddxxcxddxxcxddxxcxddxxcxddxxcxdxdxcaxdadxxx在应用凑微分法熟练之后，可以省略ux)(直接写出结果 这一步，例例2计算 edxxx1ln21)(ln21)(lnlnln1211eeexxxdd
14、xxx解解 例例3计算102dxxex)1(2121)(211010210222eexdedxxexxx解解 例例4计算 10241dxx1010102210262arcsin)2()2(11)2(12141xxdxdxxdxx解解 例例5计算10241dxx3ln4122ln41)2(21)2(2141)2121(414110101010102xxxdxxdxdxxxdxx解解注意：注意：Cxaxaadxxaln21122 例例6计算40secxdx解解).223ln(21221221ln21sin1sin1ln21sin1sincoscossec4040240240 xxxxddxxxxd
15、x4.3.2 第二换元积分法第二换元积分法定理定理 上连续，在上单值且，在上连续；在设,)()(,)(ttxbaxfba)(,)(.则 badtttfbxtaxttxdxxf)()(,),()(令例例7计算 411dxxx解解 令24,11,2,2txtxtdtdxtxxt，即212121241.23ln2)1ln(21221ttdttttdtdxxx所以 例例8计算adxxa022解解 令2,00,cos,sintaxtxtdtadxtax所以20202220022)2sin21(2)2cos1(2coscosttadttatdtatadxxaa.412a思考一下思考一下，例8中t的积分区间
16、可以取成2222,2，吗？取成怎么样？例例9计算adxax0221 解解 令4,00,sec,tan2taxtxtdtadxtax4040402022)tanln(secsecsecsec1tttdtdttatadxaxa所以).12ln(例例10计算aadxax22221解解 令32,42,tansec,sectaxtaxtdttadxtax所以3434342222)tanln(secsectantansec1tttdtdttattadxaxaa).12ln()32ln(返回返回4.4 分部积分法分部积分法)(),(xvvxuu,baudvvduuvd)(vduuvdudv)(bababab
17、abavduuvvduuvdudv.)(设函数在上均具有连续导数，则由或两边积分得：称这个公式为分部积分公式分部积分公式.例例1 求0sin xdxx.解解 令,)(cossin,duxdxdxxu则00000.sincoscos)(cossinxxdxxxxxdxdxx),21(,sin2xdxdxxu000220220.cos21sinsin21)(sin21sinxdxxxdxxxxxdxdxx注意：如果令则 vu,vu,此时，右式反而比左式更复杂，这真是弄巧成拙了.因此，这样选取是不合适的.由此可见，应用分部积分法是否有效，是十分关键的.一般可根据以下两个原则选取 选择,)(dvdxx
18、vbabaudvvdu.)2(更容易计算比（1）由求 比较容易；例例2 求02cosxdxx.解解 令则的次数的结果能降低,sincos),(,2dvxdxdxxduxu00202202.2sin2)(sinsinsincosxdxxxxdxxxdxxdxx（例1中，0sin xdxx.）例例3 求10dxxex.解解 令dvdedxexuxx,，则10101010.1)1(eeeedxexedxxexxxx例例4 求exdxx1ln.解解 则后能化为有理式,)21(),(,ln2dvxdxdxduxueeeeedxxxexdxxxxxdxdxx11122212211212)(lnln21)(
19、ln21ln).1(41)414(242222122eeexee例例5求10arctanxdx.解解 令,arctandvdxxu则1010222101010)1(1121414)(arctanarctanarctanxdxdxxxxxdxxxdx.2ln214)1ln(214102x例例6求210arcsinxdx 解解 令,arcsindvdxxu则2102102102222102101)1(2112112)(arcsinarcsinarcsinxxddxxxxxdxxxdx.123121122102x例例7求0cosxdxex 解解 令,)(sincos,dvxdxdxeux则0000s
20、in)(sinsincosxdxeexdxexdxexxxx对于等式右端仍令,)cos(sin,dvxdxdxeux得00000cos)1()(coscos)(cossinxdxeeexdxexdexdxexxxxx即 0)1(cos2exdxex所以 21cos0exdxex 一般地一般地 Cxxexdxexx)cos(sin21cos返回返回4.5 广义积分法广义积分法4.5.1 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分21xy AAAxdxxAS112.1111)(图4-8例例1 如图4-8，若求以为曲顶、1，A为底的单曲边梯形的面积S（A），则为xxyx和21,1),1 A现在若要求出
21、由轴所“界定”的“区域”的面积S，它已经不是通常意义的积分了来获取面积，即则因为区域是（累积范围是无限的）.不过，我们可以这样处理：通过S（A），令AAAAdxxS12.1)11(lim1lim)(xf),a上可积在,)(),AaxfaAAadxxf)(AaAaxfdxxf上的在为函数),)()(limadxxf)(定义定义1 设函数在内有定义，对任意（即存在），称无穷区间广义积分无穷区间广义积分，即（简称无穷积分无穷积分），记做AaAadxxfdxxf)(lim)(若等式右边的极限存在，则称无穷积分 adxxf)(收敛，否则就称为发散.同样可以定义bbBBdxxfdxxf)(lim)(（极限
22、号下的积分存在）；AaAaBBdxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)(（两个极限号下的积分都存在),(a）.它们也称为无穷积分.如果等式右边的极限都存在，则称无穷积分收敛，否则就是发散.xy1)0(1,图4-94.5.2 无界函数的广义积分无界函数的广义积分若求以为曲顶、为底的单），则为例例4如图4-9，曲边梯形的面积S（11).1(221)(xdxxS现在若要求出由 xxyx和1,1轴和y轴所“界定”的“区域”的面积S，则因为函数 xy1在0 x处没有意义，且在（0，2无界，与例1类似，它已经不是通常意义的积分了（函数是无界的）.不过，我们 可以这样处理：通过S（），令 0来获取面积
23、，即10100.2)1(2lim2lim1limxdxxS定义定义2 设函数)(xf在,(ba上有定义，)(limxfax对任意),0(ba)(xf，在,ba上可积，即 badxxf)(存在，则称 badxxf)(lim0为无界函数)(xf在,(ba上的广义积分，记作babadxxfdxxf)(lim)(0若等式右边的极限存在，则称无界函数广义积分无界函数广义积分 badxxf)(收敛，否则就称为发散.无界函数广义积分无界函数广义积分也称为暇积分暇积分，其中a称为暇点.暇点也可以是区间的右端点b或区间中的内部点，类似地，可以有如下定义：babadxxfdxxf)(lim)(0（b为暇点）),(
24、)(lim)(lim)(221100bacdxxfdxxfdxxfbccaba为暇点）若等式右端的极限都存在，则暇积分收敛，否则就是发散.返回返回4.6 积分在几何上的应用积分在几何上的应用4.6.2平面图形的面积平面图形的面积 1直角坐标系下平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积1()yf x2()yfx1()xg y2()xgyx图4-11(a)yOy=f2(x)bay=f1(x)x图4-11(b)yOx=g1(y)x=g2(y)dc通常把由上下两条曲线与及左右两条直线xa与xb与及上下两条直线yc与yd所围成的平面图形称为X-型图形；而由左右两条曲线所围成的平面图形称为 Y-型图形.注
25、意构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点4.6.1 积分的微分法积分的微分法X-型图形的面积.21A()()bafxf x dxY-型图形的面积.21A()()dcgyg y dy 例例1 计算曲线,yx yx所围成的图形的面积A.解解 解方程组 yxyx得交点为（0，0）、（1，1）.由公式，所求图形的面积为3121200211A()|326xx dxxx例例2 计算抛物线y22x与直线yx-4所围成的图形的面积A.解解 解方程组 224yxyx得交点为（2，-2）、（8，4）.由公式，所求图形的面积为4221A(4)2yydy2342114|1826yyysin,cosyx yx2x例例3
26、 求由曲线和直线 及y轴所围成图形的面积A.解解 在02xx和之间，两条曲线有两个交点：252B(,),C(,)4242 由图易知，所求面积为52445044A(cossin)(sincos)(cossin)4 2.xx dxxx dxxx dxx图4-14yO y=sinx21y=cosx1 CB2曲边以参数方程给出的平面图形的面积曲边以参数方程给出的平面图形的面积 例例4 求摆线一拱(sin),(0,0,2)(1 cos),xa ttatyat与x轴所围图形的面积A.解解 所围图形为X-图形，曲边方程为(),0,2yf x xa由公式得 20A()af x dx换元(sin),(1cos)
27、xa tt dxat dt0202xat从从而 (sin)(1cos)yf a ttat所以 222222002220A(1 cos)(1 2coscos)1 1 2cos(1 cos2)3.2at dtatt dtatt dta 3.极坐标情形极坐标情形,()x图4-16r=r()Od对极坐标系中的图形,将从极角 的变化特点来考虑求面积问题 所围成的图形称为曲边扇形.下面利用微元法求它的面积公式.在极坐标系中，称由曲线rr()及射线.,d 21A()2drd()rd在上任取一微段面积微元dA表示这个角内的小曲边扇形的面积，（等式右边表示以）为半径、中心角为的，21A()2rd扇形面积），所以
28、曲边扇形的面积为.0.50.50.50.5例例5 计算双纽线22sin2ra(a0)所围成的图形的面积.解解 双纽线即32,0,22ra 因为图形关于极点对称，所以所求面积A是0,2部分面积的两倍.2201A2sin22ad 2220cos2|2aaxya 4.6.3 空间立体的体积空间立体的体积这里我们主要介绍旋转体的体积.把X-型单曲边梯形绕x轴旋转一周得到旋转体，其体积为 2V()bxaf xdxx图4-18(a)OyxA(x)f(x)bay=f(x)类似可得把Y-型单曲边梯形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy的计算公式，2V()dycg ydyxOyx=g(y)dc图4-18(b)例例
29、6 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.解解 直角三角形斜边的直线方程为 xhry 所求圆锥体的体积为dxxhrVh20)(23021|3hrxh231hr 例例7 计算椭圆 12222byax绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的体积.解解（1）绕x轴旋转所得的椭球体，可以看作是由上半个椭圆 22xaaby及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，由公式得2222V()axabaxdxa22321|3aaba xxa234abxyababO图4-20(a)（2）绕y轴旋转所得的椭球体，可以看作是
30、由右半个椭圆 22bxbya及y轴围成的图形绕y轴旋转而成的立体，由公式得 2222V()bxbbbydya22321|3bbbb yya243a bxOyabab图4-20（b)4.6.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1直角坐标情形直角坐标情形 设光滑曲线由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,曲线长度微元ds的计算公式22()()dsdxdyxOyabxx+dxABPdyy=f(x)图4-22据微元法，得所求的弧长为21()basfxdx例例9 计算曲线 2332xy(axb)的弧长.解解 因为 21xy,所以由公式得所求弧长为 3221(1)|3bbaasxdxx)1()1(322323
31、ab2 参数方程情形参数方程情形 设曲线由参数方程(),(),xttyt 给出,其中(),()tt在,上连续且不同时为0，代入弧微分公式得对应于参数微段 t,t+dt的弧长微元为 22()()dsttdt由微元法得，所求弧长为 22()()sttdt例例10 计算星形线 33cos,(0,0,2)sin,xatatyat 的长度.解解 由对称性，星形线的长度是第一象限部分长度的4倍.弧长微元为3232(cos)(sin)dsatatdt223sincosattdt所求弧长为2043|sin cos|satt dt22200sin12sin cos12|2tattdta6a.3极坐标情形极坐标情
32、形设曲线由极坐标方程 rr()()给出,其中()r在,上具有连续导数.由直角坐标与极坐标的关系，曲线相当于以参数式 x=()=r()cos,y=()=r()sin,给出.于是得对应于参数微段,d 弧长微元为22()()dsd 22()()rrd由微元法，得所求弧长为22()()srrd返回返回4.7 积分在物理上的应用积分在物理上的应用 4.7.1 变力做功变力做功取物体运动路径为x轴，位移量为x，则，力为F=F(x).现物体从点 x=a移动到点x=b，求力F对物体所做功W的做法如下：在区间a,b上任取一微段x,x+dx，力F在此微段上做功微元为dW.假设在微段x,x+dx上F(x)看成不变，
33、则，功的微元为dW=F(x)dx.由微元法得到 babadxxFdWW.)(例例1 半径为1米的半球形水池（如图），池中充满 了水，把池内水全部抽完需做多少功？解解 把水看作是一层一层地抽出来的.任取一个与池面距离为x的小薄层，厚度为dx，功的微元（把这层水抽到地面）为 xdxxdW)1(108.923所以，抽干水所做的功为10333)(1045.2)(108.9JdxxxW图4-26 例例2、弹簧在弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧需要克服弹力做功.已知弹簧每拉长0.1m需用9.8N的力，求把弹簧拉长0.5m时，外力所做的功W.解解 据虎克定律，kxxF)(其中k为弹性系数，由题设知9.8=0
34、.1k,即k=98，所以 xxF98)(功的微元为xdxdW98，所以，外力克服弹力做的功为5.005.002)(25.124998JxxdxW4.7.2 液体的压力液体的压力平行于液体表面，深度为h，上表面的面积为S的物体，其上表面所承受的压力为ShgP，g其中为液体的密度，为重力加速度.我们只就承压面与液体表面垂直的情况，但在实际问题中，往往会遇到物体表面 不是平行 而是呈现一定的角度的现象，讨论液体对承压面的压力.承压面沿深度为x的水平线上压强相同，为xg，现在在深x 处取一高为dx的微条，设其面积为 dS,微条上受液体的压力微元为dP，近似认为在微条上压强相同，则 dxxfxgdP)(若承压面的深度从a到b(ab),则承压面上受液体的总压力为 babadxxxfgdxxfxgP.)()(例例3 设有一竖直的水闸门，形状是等腰梯形，上底与水 长为8m，下底长4m，高为10m.求闸门所受水 的压力。面平齐，解解 如图：容易推出，水深为xm处水闸面的宽度为 xxf528)(水的密度为)/(1033mkg，闸门入水深度从0m到10m，所以闸门受水的总压力为1001003)528(108.9)(dxxxdxxxfgP).(1062.232400108.9)1524(108.963100323Nxx
