1、第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理 质点质点Q的的动量动量对于点对于点O的矩，定义为的矩，定义为质点对于点质点对于点O的动量矩的动量矩。11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1.质点的动量矩质点的动量矩 质点对于点质点对于点O的动量矩是的动量矩是矢量矢量，垂直于，垂直于矢径矢径 r 与与 mv 所形成的平面，矢量指向按所形成的平面，矢量指向按照照右手法则右手法则确定。确定。大小为：大小为：质点动量在质点动量在Oxy平面内的投影：平面内的投影：是代数量：是代数量：对点对点O的矩，定义为质点动量对于的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对轴的矩，简称对 z轴的动轴的动量矩量矩。vm
2、rvmM)(0sin)(0rmvvmMOQA 2AQOvmMZ 2)(xyvm)(质点对点质点对点O的动量矩在的动量矩在z z轴上的轴上的投影投影，等于对，等于对z轴的动量矩。轴的动量矩。动量矩的量纲：动量矩的量纲：12TML动量矩的单位：动量矩的单位：smkg/2)()(0vmMvmMZZ)(vmMZ例：质量为例：质量为m质点在质点在 xoy 平面内运动，运动方程为平面内运动，运动方程为 x=acos t、y=bsin2 t，a、b、为常量。为常量。求该质点对求该质点对O点动量矩点动量矩。解：解：由定义，可得：由定义，可得：或用代数量或用代数量tabm3cos2方向垂直方向垂直xoy平面平面
3、xyOyPxPLxyymvxmv vmrLo2.质点系的动量矩质点系的动量矩 质点系对某点质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢的动量矩的矢量和，量和，或称为质点系动量对或称为质点系动量对O点的主矩。点的主矩。质点系对某轴质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同的动量矩等于各质点对同一一z轴动量矩的代数和。轴动量矩的代数和。即：质点系对某即：质点系对某点点O的动量矩矢的动量矩矢在通过该在通过该点的点的z轴上的投影轴上的投影等等于质点系对于于质点系对于该轴的动量矩该轴的动量矩。niiivmML100)(niiiZZvmML1)(niZiiZvmML100)(
4、ZZLL0)(vmMZ可将全部质量集中于质心，作为一个可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。质点计算其动量矩。刚体绕定轴转动时：刚体绕定轴转动时：令令:-称对称对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量zzJL 则则:即：即：绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转刚体对转轴的转动惯量动惯量与与转动角速度转动角速度的乘积。的乘积。刚体平移时：刚体平移时：niiiZZvmML1)(niiiirvm1niiiirrm1niiirm12例：均质圆盘质量为例：均质圆盘质量为m，以，以 绕绕A转动，已知圆盘转动，已知圆盘对对A点的转动惯量点的转动惯量JA，求求圆盘
5、圆盘对点对点A的动量矩。的动量矩。解：定轴转动解：定轴转动AAJL例：半径为例：半径为R的均质圆盘质量为的均质圆盘质量为m，速度速度V，只滚不滑只滚不滑，已，已知圆盘对质心的转动惯量知圆盘对质心的转动惯量Jc，求求圆盘圆盘对点对点A的动量矩。的动量矩。解：平面运动解：平面运动cccALvmrLcAJmvRL例：物体质量为例：物体质量为m，求物体对点，求物体对点A的动量矩。的动量矩。解：物体平移解：物体平移2hmvLcA2mvhRvJmvRc例：半径为例：半径为R的均质圆盘的均质圆盘A、B质量质量为为m，A只滚不滑只滚不滑，圆盘对质心的转，圆盘对质心的转动惯量动惯量JO，C质量为质量为m1，以速
6、度，以速度V下下落。落。求求系统系统对点对点O的动量矩的动量矩。解：解：0000CBALLLLRvmLC10RvJ 0BBJL00AAJRmvL00RvJmvR0RvJvRmmL0102)(A平面运动平面运动，B定轴转动，定轴转动，C平移平移例：两个均质绕线轮，质量各为例：两个均质绕线轮，质量各为m，半径为，半径为R，对，对质心的转动惯量为质心的转动惯量为mR2/2，图示瞬时两轮角速度均，图示瞬时两轮角速度均为为。求系统对固定轴求系统对固定轴O的动量矩的动量矩。解：解：系统对轴系统对轴O的动量矩为的动量矩为A和和B对对O动量动量矩的代数和。矩的代数和。1JLOAA对对O的动量矩，有：的动量矩，
7、有：B对对O的动量矩，的动量矩，B作平面运动作平面运动CccOBLmvrL221mR2212mRmvRcOBOAOLLL22221421mRmRmRLO25mR系统对轴系统对轴O的动量矩，为：的动量矩，为：例：球例：球C和和D重均为重均为G，杆，杆中点中点固定在固定在AB上。上。杆绕杆绕AB以匀角速度以匀角速度 转动。求转动。求质点系质点系对对转轴转轴的的动量矩：动量矩：(1)不计杆重；不计杆重；(2)均质杆均质杆CD重重2G。解：解：质点的速度为质点的速度为DCvv sinlsinl(1)不计杆重，动量矩如下：不计杆重，动量矩如下：)(1vmMLABsinsin2llgG22sin2lgG转
8、向为逆时针转向为逆时针(2)均质杆均质杆CD重重2G，动量矩如下：，动量矩如下：取微元，质量和速度为：取微元，质量和速度为：dxlgGdm sinxv 微元对轴的动量矩：微元对轴的动量矩：dxxlgGdL222sin杆对轴的动量矩：杆对轴的动量矩：22sin32lgG质点系对轴的动量矩：质点系对轴的动量矩：22sin38lgGldxxlgGL0222sin221LLL动量对于点动量对于点O的矩，定义为质点对于点的矩，定义为质点对于点O的动量矩。的动量矩。vmrvmM)(0动量在动量在Oxy平面内的投影平面内的投影 对点对点O的矩称为动量对于的矩称为动量对于z轴的矩：轴的矩：xyvm)()(vm
9、MZ质点系的动量矩：质点系的动量矩：niiivmML100)(niiiZZvmML1)()()(0vmMvmMZZ小结一下：小结一下：刚体作一般运动时：刚体作一般运动时：cccALvmrL 质点系对任一点质点系对任一点A的动量矩等于集中于系统质心的动量矩等于集中于系统质心的动量的动量 mvc 对于点对于点A的动量矩和的动量矩和此系统对于质心此系统对于质心C的的动量矩的矢量和动量矩的矢量和。可将全部质量集中于质心，作为可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。一个质点计算其动量矩。刚体绕定轴转动：刚体绕定轴转动：刚体平移：刚体平移：niiiZZvmML1)(niiirm12zzJL 1.
10、1.质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点对定点质点对定点O的动量矩为的动量矩为 Mo(mv)作用力作用力F对同一点的矩为对同一点的矩为 Mo(F)将动量矩对时间取一次导数，将动量矩对时间取一次导数，根据质点动量定理：根据质点动量定理：且且)()(0vmrdtdvmMdtdFvmdtd)(vdtrdFrvmvvmMdtd)(00vmv)(0FMFr)()(00FMvmMdtd)(vmdtdrvmdtrd11-2 动量矩定理动量矩定理质点动量矩定理质点动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。等于作用力对同一点的矩。实际应用取在
11、直角坐标轴上的投影式，由对点的动量矩与实际应用取在直角坐标轴上的投影式，由对点的动量矩与对轴的动量矩的关系，得：对轴的动量矩的关系，得：即：即：质点对某定轴动量矩对时间一阶质点对某定轴动量矩对时间一阶导数等于作用力对于同一轴的矩。导数等于作用力对于同一轴的矩。2.2.质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律 如果作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点如果作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，的动量矩保持不变，=恒矢量恒矢量 如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，轴的动
12、量矩保持不变，=恒量恒量)()(00FMvmMdtd)(0vmM)(vmMZ3.质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点上作用外力和内力；质点上作用外力和内力；n个质点，有：个质点，有：质点系动量矩定理：质点系动量矩定理：质点系对于某质点系对于某定点定点O动量矩对时间导数，等于作动量矩对时间导数，等于作用于质点系的外力对于用于质点系的外力对于同一点矩同一点矩的矢量和（外力对点的矢量和（外力对点O的主矩）。的主矩）。内力成对出现：内力成对出现：)()()()(0)(00iieiiiFMFMvmMdtdniiinieiniiiFMFMvmMdtd1)(01)(010)()()(niiiniiivm
13、MdtdvmMdtd1010)()(0)(1)(0niiiFM0LdtdnieiFMLdtd1)(00)(应用时，取投影式：应用时，取投影式：nieizznieiyynieixxFMLdtdFMLdtdFMLdtd111即：即：质点系对于某定轴的动量矩对时质点系对于某定轴的动量矩对时间的导数，间的导数，等于作用于质点系的外力等于作用于质点系的外力对同一定轴的矩的代数和。对同一定轴的矩的代数和。nieiFMLdtd1)(00)(注意：注意：上述动量矩定理的表达形式只适用于对上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴固定点或固定轴4.4.质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律由质点系动量矩
14、定理：由质点系动量矩定理：内力不能改变质点系的动量内力不能改变质点系的动量矩，外力才能使质点系的动量矩，外力才能使质点系的动量矩发生变化。矩发生变化。质点系动量矩守恒定律：质点系动量矩守恒定律：当外力对于某定点（或某定轴）的主矩（或力矩的代数和）当外力对于某定点（或某定轴）的主矩（或力矩的代数和）等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。nieizznieiyynieixxFMLdtdFMLdtdFMLdtd111nieiFMLdtd1)(00)(例例11-1：高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮的半径为：高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓
15、轮的半径为R，质量为，质量为m1，轮绕轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶为。作用在鼓轮上的力偶为M，鼓，鼓轮对转轴的转动惯量为轮对转轴的转动惯量为J，轨道的倾角为，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均不。设绳的质量和各处摩擦均不计。求计。求小车的加速度小车的加速度a。解：解：小车与鼓轮组成质点系，小车与鼓轮组成质点系，以顺时针为以顺时针为正，此质点系对正，此质点系对O轴的动量矩为：轴的动量矩为：vRmJLO2受力分析：受力分析：P1、Fx、Fy对对O轴的矩轴的矩为零。为零。PN、Pn对对O的矩相消。的矩相消。flash系统外力对系统外力对O轴的矩
16、为：轴的矩为：由质点系对由质点系对O轴的轴的动量矩定理动量矩定理RgmMvRmJdtdsin22解得解得2222sinRmJgRmMRa小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。例例11-3：小球小球A、B以细绳相连以细绳相连，质量皆为，质量皆为m，其余构件质量不计。，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为轴自由转动，初始时系统的角速度为 0。当细绳。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成拉断后，求各杆与铅垂线成角时系统的角时系统的角速度角速度。解：解：此系统所受的重力和轴承支反力对于转轴的矩都等于零，此系统所受的重力和轴承支反力对于转轴的矩都等于零
17、，因此系统对于转轴的动量矩守恒。因此系统对于转轴的动量矩守恒。flash0022sin2lamLz21zzLL022sinlaa11-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程1.刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 刚体上作用有刚体上作用有主动力主动力和和轴承约束反力轴承约束反力。根据质点系对于根据质点系对于 z 轴轴 的动量矩定理有：的动量矩定理有：inizzFMJdtd1或：或：inizzFMdtdJ1也可写成：也可写成：或：或：刚体绕定轴的微分方程刚体绕定轴的微分方程 即：即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的于作用于刚体的
18、主动力主动力对该轴的矩的代数和。对该轴的矩的代数和。)(izzFMJ)(22izzFMdtdJ结论：结论：(1)作用于刚体的作用于刚体的主动力主动力对转轴的对转轴的矩矩使刚体的转动使刚体的转动状态发生变化；状态发生变化；(2)如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于于零零，则刚体作，则刚体作匀速匀速转动；转动；如果主动力对转轴的矩的代数和为如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量恒量，则刚体作，则刚体作匀变速匀变速转动转动(3)在一定时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量在一定时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量越大，转动状
19、态变化越小；转动惯量越小，转动状态变化越大。越大，转动状态变化越小；转动惯量越小，转动状态变化越大。刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。即：刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。即：转转动惯量是刚体转动时惯性的度量动惯量是刚体转动时惯性的度量。Fma)(izzFMJ例例11-4：滑轮半径为滑轮半径为R，转动惯量为，转动惯量为J，胶，胶带拉力为带拉力为F1和和F2。求滑轮的。求滑轮的角加速度角加速度。解解：根据刚体绕定轴的转动微分方程，有：根据刚体绕定轴的转动微分方程，有：RFFJ21JRFF21可得：可得：只有匀速转动时，或转动惯量可忽略即不计质量时：只有匀速转动
20、时，或转动惯量可忽略即不计质量时：拉力拉力F F1 1和和F F2 2时才相等时才相等例例11-6：飞轮重飞轮重P，半径，半径R，对转轴的转动，对转轴的转动惯量惯量JZ，以，以 0 转动。制动时闸块对轮缘的转动。制动时闸块对轮缘的法向压力为法向压力为Q，动摩擦系数，动摩擦系数 f 不变，不计轴不变，不计轴承摩擦。求制动所需时间。承摩擦。求制动所需时间。解：解：可通过可通过 求得求得)(FMJzz外力只有外力只有F对对Z轴有矩：轴有矩：dtJfQRdtz000刚体转动微分方程：刚体转动微分方程：飞轮从飞轮从 0 0，需知需知 和和t的关系的关系例例11-7：轴系：轴系和轴系和轴系的转动惯量为的转
21、动惯量为J1和和J2，传动比传动比i12=R2/R1，R1、R2为轮为轮1和轮和轮2的半径，的半径，轴轴上有上有主动力矩主动力矩M1，轴，轴上有上有阻力矩阻力矩M2。求求轴轴的角加速度的角加速度。解：解：可通过转动微分方程求可通过转动微分方程求。分别取两轴系研究，有：分别取两轴系研究，有：重力、轴承反力和重力、轴承反力和Fn无矩无矩轴系轴系：轴系轴系：又：又：可得：可得：211212212211RMRMRRJRJM1、M2是常数时，是常数时，为为常数。常数。如初始及末时的角速度已知，如初始及末时的角速度已知，11dtd由：由：可解得可解得 1进而可解得进而可解得M1、M2及及F 2刚体的转动惯
22、量是刚体的转动惯量是 刚体转动时惯性的度量刚体转动时惯性的度量 各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和niiizrmJ12转动惯量与质量大小有关，且与质量的分布情况有关。转动惯量与质量大小有关，且与质量的分布情况有关。转动惯量的单位：转动惯量的单位：2mkg 解决工程中刚体转动问题，必须理解转动惯量的概念，并会计解决工程中刚体转动问题，必须理解转动惯量的概念，并会计算或测定转动惯量。算或测定转动惯量。1.简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)均质细直杆对于均质细直杆对于 z轴轴 的转动惯量的转动惯量l单位长度的质量单位长
23、度的质量11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量lml(2)均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质薄圆环对于中心轴的转动惯量圆环质量为圆环质量为m，半径为，半径为R圆环沿圆周分成许多微段，每段质量为圆环沿圆周分成许多微段，每段质量为mi微段到中心轴的距离都等于半径微段到中心轴的距离都等于半径R圆环对于中心轴圆环对于中心轴z的转动惯量为：的转动惯量为：(3)均质圆板对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯量 圆板的半径为圆板的半径为R，质量为，质量为m，分为无数同心的，分为无数同心的薄圆环。薄圆环。任一圆环的半径为任一圆环的半径为ri，宽度为，宽度为dr，则圆环的，则圆环的质量为：质量为
24、：2Rms均质圆板单位面积的质量。均质圆板单位面积的质量。或或221mRJzsiidrrm 22.惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）对于均质物体，其对于均质物体，其转动惯量转动惯量与与质量的比值质量的比值仅与物体的几何仅与物体的几何形状和尺寸有关。形状和尺寸有关。细直杆细直杆 均质圆环均质圆环均质圆板均质圆板 形状相同而材料不同的物体，上列比值是相同的。形状相同而材料不同的物体，上列比值是相同的。令令惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）形状相同的均质物体，惯性半径是一样的形状相同的均质物体，惯性半径是一样的 若已知惯性半径，则物体的转动惯量：若已知惯性半径，则物体的转动惯量：
25、2zzmJ即：即：物体的转动惯量等于该物体的质量与惯性半径平方的乘积物体的转动惯量等于该物体的质量与惯性半径平方的乘积3.平行轴定理平行轴定理定理：定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离 d d 平方的乘积，平方的乘积，即即2mdJJzcz Z轴通过轴通过质心质心C，且，且C在在Y轴上，轴上，刚体对刚体对Z轴的转动惯量为轴的转动惯量为JZC，对，对Z轴轴的转动惯量为的转动惯量为JZ。由图：由图：在在CxyzCxyz坐标系中，
26、坐标系中，又又故：故：iiiiiimdymdyxm2121212)(当物体由几个几何形状简单的物体组成时当物体由几个几何形状简单的物体组成时，计算整体的转动惯量可先分，计算整体的转动惯量可先分别计算别计算每一部分每一部分的转动惯量，然后再合起来。的转动惯量，然后再合起来。如果物体有空心的部分，可把这部分质量视为负值处理。如果物体有空心的部分，可把这部分质量视为负值处理。例例11-9：冲击摆由均质杆冲击摆由均质杆OA 和和 圆盘圆盘 组成，已知杆长组成，已知杆长L，质量，质量M1。圆盘半径圆盘半径R，质量，质量M2。求摆对求摆对OZ轴（垂直版面）转动惯量。轴（垂直版面）转动惯量。解：解：由定义由
27、定义2iiZrmJZiZJJ杆对轴的转动惯量：杆对轴的转动惯量：21131LMJZ盘对轴的转动惯量：盘对轴的转动惯量：于是得：于是得：)243(213122221LRLRMLMJZ22221()2M RMLR 动量对于点动量对于点O的矩，定义为质点对于点的矩，定义为质点对于点O的动量矩。的动量矩。vmrvmM)(0动量在动量在Oxy平面内的投影平面内的投影 ，对点对点O的矩为的矩为动量对于动量对于z轴的矩。轴的矩。xyvm)()(vmMZ质点系的动量矩：质点系的动量矩：niiivmML100)(niiiZZvmML1)(可将全部质量集中于质心，作为一可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动
28、量矩。个质点计算其动量矩。刚体绕定轴转动：刚体绕定轴转动：刚体平移：刚体平移：niiiZZvmML1)(niiirm12zzJL)()(0vmMvmMZZ刚体作一般运动时：刚体作一般运动时：cccALvmrL 质点系对任一点质点系对任一点A的动量矩等于集中于系统质心的的动量矩等于集中于系统质心的动量动量 mvc 对于对于点点A的动量矩和此系统对于质心的动量矩和此系统对于质心C的动量矩的矢量和。的动量矩的矢量和。质点动量矩定理质点动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。等于作用力对同一点的矩。即：即：质点对某定轴的动量矩对时
29、间的一阶质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对于同一轴的矩。导数等于作用力对于同一轴的矩。质点动量矩守恒定律：质点动量矩守恒定律：如果作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该如果作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变点的动量矩保持不变 ；=恒量恒量 如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变轴的动量矩保持不变 。=恒量恒量)()(00FMvmMdtd)(0vmM)(vmMZ刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：niiizrmJ12令令惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径
30、）2zzmJ平行轴定理：平行轴定理：2mdJJzcz具体运用时质心运动定理使用投影式：具体运用时质心运动定理使用投影式：)()(ecccycxFMJYmaXma)()(222222eccccFMdtdJYdtydmXdtxdm或或质点系动量矩定理：质点系动量矩定理：质点系对于某定点质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于的外力对于同一点的矩的同一点的矩的矢量和（外力对点矢量和（外力对点O的主矩）。的主矩）。应用时，取投影式应用时，取投影式 nieizznieiyynieixxFMLdtdFMLdtdFMLdtd111 即：质点系对
31、于某定轴的动量矩对即：质点系对于某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一定轴的矩的代数和。力对同一定轴的矩的代数和。nieiFMLdtd1)(00)(注意：注意：上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴。上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴。质点动量矩定理质点动量矩定理：)()(00FMvmMdtd质点系的动量矩定理：质点系的动量矩定理：nieiFMLdtd1)(00)(质点系动量矩守恒定律：质点系动量矩守恒定律：当外力对于某定点（或某定轴）的主矩（或力矩的代数和）等于当外力对于某定点（或某定轴）的主矩（或力矩的代数和）等于零
32、时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。nieizznieiyynieixxFMLdtdFMLdtdFMLdtd111根据质点系对于根据质点系对于z轴的动量矩定理有：轴的动量矩定理有：inizzFMJdtd1 inizzFMdtdJ1或或即：即：刚体对定轴的刚体对定轴的转动惯量与角加速度转动惯量与角加速度的乘积，的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。)(izzFMJ)(22izzFMdtdJ刚体绕定轴的微分方程：刚体绕定轴的微分方程：刚体对于刚体对于z轴的转动惯量轴的转动惯量Jz，是刚体
33、转动惯性的度量，定量式为：，是刚体转动惯性的度量，定量式为：刚体对于两平行轴的转动惯量的关系为：刚体对于两平行轴的转动惯量的关系为：2mdJJzCz式中，式中，J Jzczc是刚体对于通过质心的轴的转动惯量。是刚体对于通过质心的轴的转动惯量。2iizrmJ刚体的运动分解为刚体的运动分解为随质心的平移随质心的平移 绕质心的转动绕质心的转动两部分。两部分。取质心为基点取质心为基点 Cxy为固连于质心为固连于质心C的平移参考系，的平移参考系，刚体相对于此动系的运动就是绕质心刚体相对于此动系的运动就是绕质心C的转动。的转动。刚体对质心的动量矩为：刚体对质心的动量矩为：ccJL 刚体的位置可由刚体的位置
34、可由xC、yC和和 确定。确定。设刚体上的外力可向质心所在平面简化为一平面力系。设刚体上的外力可向质心所在平面简化为一平面力系。应用应用质心运动定理质心运动定理和和相对质心相对质心的的动量矩定理动量矩定理，得：，得：ecccecFMJJdtdFma eccecFMdtdJFdtrdm2222即即刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程11-5 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程具体运用时具体运用时质心运动定理质心运动定理使用投影式：使用投影式：)()(ecccycxFMJYmaXma)()(222222eccccFMdtdJYdtydmXdtxdm或或质点系对于质心的动量矩定理质
35、点系对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的质点系相对于质心的动量矩对时间动量矩对时间的导数等于作用于质点系的的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。外力对质心的主矩。nieiccFrdtLd1)()(1)(nieicFM ecccecFMJJdtdFma eccecFMdtdJFdtrdm2222即即刚体的平面运动微分方程：刚体的平面运动微分方程：具体运用时质心运动定理使用投影式：具体运用时质心运动定理使用投影式：)()(ecccycxFMJYmaXma)()(222222eccccFMdtdJYdtydmXdtxdm或或例：均质杆长例：均质杆长L，重重 P，悬挂在，悬挂在O轴上，处在铅垂
36、轴上，处在铅垂位置。给位置。给B端一与杆垂直的速度端一与杆垂直的速度V0时，杆与时，杆与O轴轴脱离。求脱离脱离。求脱离O轴后的轴后的运动方程运动方程。解：解：杆作平面运动，杆作平面运动，要求要求xc、yc和和。平面运动微分方程：平面运动微分方程：022dtdJcPdtxdgPc22022dtydgPc022dtdgdtxdc22022dtydc65CtC21221CtCgtxc43CtCyc初始条件，初始条件，t=0时时：位移：位移：xc=L/2，yc=0，=0速度：速度：xc=0，yc =V0/2，=V0/L得：得：C1=0，C2=L/2，C3=V0/2，C4=0，C5=V0/L，C6=0。
37、有运动方程：有运动方程：2212LgtxctVyc20tLV0例：例：半径为半径为R，重量为，重量为G的均质轮，对质心轴的均质轮，对质心轴c的惯性的惯性半径为半径为 c，其上其上半径为半径为r的鼓轮绕以绳索，的鼓轮绕以绳索，水平力水平力T作作用于绳索。求轮所受的用于绳索。求轮所受的摩擦力和质心的加速度摩擦力和质心的加速度，不计，不计滚动摩擦。滚动摩擦。解：轮平面运动，解：轮平面运动，设设 方向。方向。0cyaccxaa FTmacxGNmacy 0rTRFmc2Rac有：有：由运动学知，只滚动不滑动：由运动学知，只滚动不滑动：解得：解得：)()(22ccRmrRTRa222ccRRrTF轮纯滚
38、动条件：轮纯滚动条件：RrRfGTcc222GfNfFssGfRRrTscc222即即例：置于墙角的均值圆柱半径为例：置于墙角的均值圆柱半径为r，重力为，重力为FQ。圆柱。圆柱初始角速度为初始角速度为 0，动摩擦系数为动摩擦系数为 f。求使圆柱。求使圆柱停止转停止转动所需的时间。动所需的时间。解：解：质心不动，质心不动，刚体绕刚体绕C转动，平面运动微分方程解。转动，平面运动微分方程解。受力分析：受力分析：xCxFmayCyFma)(FMJCCBNAFF0QNBAFFF0rFrFdtdrgFBAQ221另有另有:NAAfFF NBBfFF(1)(2)(3)(4)(5)得：得：)1()1(22fr
39、fgfdtddtfrfgfdt020)1()1(20)1(2)1(20fgffrt得：得：将将(4)、(5)代入代入(1)、(2)得：得：12ffFFQNA122fFfFQA12fFFQNB12ffFFQB将将FA、FB代入代入(3)例：例：已知轨道倾角已知轨道倾角=20，直径为，直径为50mm的的轴轴无初速无初速纯滚动纯滚动，质心，质心5秒钟下移的距离秒钟下移的距离s=3m。求轮子对轮。求轮子对轮心的回转半径。心的回转半径。解解:轮子受力及运动分析，轮子受力及运动分析，运动微分方程为：运动微分方程为：FmgmasinFrm2ra 得：得：可知轮心作可知轮心作等加速运动等加速运动：221ats
40、 22tsa 2256smmm90得：得：222sinrgra2sm代入代入 的表达式，得：的表达式，得：a2mJ 例：例：均质滚子，质量均质滚子，质量m，半径，半径R，对中心轴，对中心轴(过质心过质心)的转动惯量的转动惯量 ，且回，且回转半径转半径 已知。滚轴半径已知。滚轴半径r，受常力，受常力F 作用由静止开始沿水平面纯滚动。求作用由静止开始沿水平面纯滚动。求：(1)滚子质心加速度；滚子质心加速度；(2)滚子受到滑动摩擦力滚子受到滑动摩擦力；(3)滚子保持纯滚动条件。滚子保持纯滚动条件。解：受力分析、运动分析解：受力分析、运动分析(1)由平面运动微分方程由平面运动微分方程sCFFmacos
41、mgFFNsin0rFRFms2RaCRFRFRmasCcos)cos(2rRFRamRmaCC)()cos(222RmRrRFaC(2)代入代入得：得：222)cos(RRrFFsCaNssFfF)sin)()cos(222FmgRRrFfssinFmgFNR+，有：，有：得得:得得(3)滚子纯滚动条件滚子纯滚动条件：由由mgsFNF基本要求：基本要求：(1)要求理解和熟练计算质点系对固定点的动量矩。要求理解和熟练计算质点系对固定点的动量矩。(2)掌握刚体转动惯量的计算公式及方法，会用平行移轴定理计算简掌握刚体转动惯量的计算公式及方法，会用平行移轴定理计算简单组合形体的转动惯量。单组合形体的
42、转动惯量。(3)能熟练地应用能熟练地应用动量矩定理动量矩定理、定轴转动微分方程定轴转动微分方程、平面运动微分方平面运动微分方程程求解动力学问题。求解动力学问题。(4)了解相对于质心的动量矩定理。了解相对于质心的动量矩定理。重重 点：点：难难 点：点：(1)质点、质点系对某固定点的质点、质点系对某固定点的动量矩动量矩的概念与计算的概念与计算(2)转动惯量转动惯量(3)质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒定理）质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒定理）(1)质点系对某固定点的动量矩的计算质点系对某固定点的动量矩的计算(2)用动量矩定理计算流体的动压力用动量矩定理计算流体的动压力(4)定轴转动定轴转动微
43、分方程及其应用微分方程及其应用(5)平面运动平面运动微分方程及其应用微分方程及其应用(3)相对于质心的动量矩定理及其应用相对于质心的动量矩定理及其应用(4)平面运动微分方程及其应用平面运动微分方程及其应用小小 结结(1)质点的动量对于某点（或某轴）的矩称为质点对于该点（该轴）的质点的动量对于某点（或某轴）的矩称为质点对于该点（该轴）的动量矩。对点的动量矩可以矢量积表示。动量矩。对点的动量矩可以矢量积表示。质点系对某定点质点系对某定点O的动量矩等于各质点的动量对点的动量矩等于各质点的动量对点O的矩的矢量和，的矩的矢量和，即即 质点系对于某轴质点系对于某轴z的动量矩等于各质点动量对的动量矩等于各质
44、点动量对z轴的矩的代数和，即轴的矩的代数和，即 若若z轴通过点轴通过点O，则质点系对点，则质点系对点O的动量矩在的动量矩在z轴上的投影等于质轴上的投影等于质点系对于点系对于z轴的动量矩，即：轴的动量矩，即：若若C为质点系的质心，为质点系的质心，LC为质点系相对于质心的动量矩，为质点系相对于质心的动量矩，m为为总质量，则质点系对任一点总质量，则质点系对任一点O的动量矩为：的动量矩为：vmrvmMO)(niiiOOvmML1)(niiizzvmML1)(zOLLcccOvmrLL(2)质点动量矩定理质点动量矩定理 FMmvMdtdzz质点系动量矩定理：质点系动量矩定理：(3)刚体绕刚体绕z轴转动的
45、动量矩为轴转动的动量矩为zzJL 刚体绕定轴或通过质心的轴刚体绕定轴或通过质心的轴z的转动微分方程在形式上相同，即：的转动微分方程在形式上相同，即：)()(FMvmMdtdOO)(eOOMdtLd)(ezzMdtdL)()(eizzFMJ)()(eizFM)()(eiOFM(4)刚体对于刚体对于z轴的转动惯量轴的转动惯量Jz是刚体转动惯性的度量，定量式为：是刚体转动惯性的度量，定量式为：刚体对于两平行轴的转动惯量的关系为：刚体对于两平行轴的转动惯量的关系为：2mdJJzCz式中式中Jzc是刚体对于通过质心的轴的转动惯量是刚体对于通过质心的轴的转动惯量(5)刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微
46、分方程)(eicFam)()(eiccFMJ2iizrmJ刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：niiizrmJ12令：令：惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）2zzmJ平行轴定理：平行轴定理：2mdJJzcz质点系对于质心的动量矩定理质点系对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。外力对质心的主矩。nieiccFrdtLd1)()(1)(nieicFM ecccecFMJJdtdFma eccecFMdtdJFdtrdm2222即即刚体的平面运动微分方程：刚体的平面运动微分方程：11-4、11-6、11-9习题习题 11-12、11-14、11-26
