1、2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 1 页 共 10页 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. A 8. A 9. D 10. B 11. B 12. A 二、填空题： 13. 1 4 14. 32 15. 14 27 16. 63 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 在ABC中，内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知 2 sinsinsinBAC= （1）求证： 0 3 B； （2）求
2、 2 2sinsin1 2 AC B + +的取值范围. 解：解：（1）由正弦定理可得 2 sinsinsin abc R ABC =， sin 2 a A R =，sin 2 b B R =，sin 2 c C R =， 2 分 2 sinsinsinBAC=， 2 bac=，4 分 222 cos 2 acb B ac + = 21 22 acac ac =， 而0B 0 3 B. 6 分 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 2 页 共 10页 （2） 2 2sinsin1 2 AC
3、 B + + cos()sinA CB=+ cossinBB=+ 2sin() 4 B=+， 8 分 由（1）知 0 3 B， 7 4412 B +， 10 分 12sin()2 4 B + 即 2 2sinsin1 2 AC B + +的取值范是2, 1 (. 12 分 18(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，/ /ADBC，1SAABBCCD=， 2AD = （1）在棱SD上是否存在一点P,使得/ /CP平面SAB?请证明你的结论； （2）求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值 证明证明：（1）当点P为棱SD的中点时, / /CP平面SAB.证明
4、如下: 取SA的中点F,连结FP、FB、PC，则 / /FPAD且 1 2 FPAD=，2 分 / /ADBC， 1 1 2 BCAD=， / /FPBC且FPBC=， 四边形FBCP为平行四边形，4 分 / /CPBF， CP 平面SAB，BF 平面SAB， / /CP平面SAB 6 分 （2）在平面ABCD内过点A作直线AD垂线Ax， SA平面ABCD， SAAD，SAAx， 直线AS、Ax和AD两两垂直， 以点A为原点，分别以直线Ax、AD和AS为x、y和z建立如图所示的直角坐标系， 过点B作BEAD交直线AD于E， A D B C S x z y E P F 2020 年深圳市普通高中
5、高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 3 页 共 10页 / /ADBC，1ABBCCD=，2AD =， 1 2 AE =， 3 2 BE =， 从而可得(0,0,0)A， 3 1 (,0) 22 B， 3 3 (,0) 22 C，(0,2,0)D，(0,0,1)S，则 (0,0,1)AS =， 3 1 (,0) 22 AB =，(0,2, 1)SD=， 31 (,0) 22 DC =，8 分 设平面SAB的法向量为 1111 ( ,)nx y z=，平面SCD的法向量为 2222 (,)nxy z=，则 1 1 0, 0, nAS nAB = = 2 2 0, 0, nSD n
6、DC = = 1 11 0, 31 0, 22 z xy = += 22 22 20, 31 0, 22 yz xy = = 取 1 3x =， 2 3x =，可得 1 ( 3, 3,0)n =， 2 ( 3,3,6)n =， 10 分 12 12 12 cos, | | n n n n nn = 22222 ( 3, 3,0) ( 3,3,6)1 4 ( 3)( 3)( 3)36 = + + , 平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值为 1 4 . 12 分 19（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 :1 124 xy C+=，A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，M为椭圆上的动点.
7、（1）求AMB的最大值，并证明你的结论； （2）设直线AM的斜率为k，且 11 (,) 23 k ，求直线BM的斜率的取值范围. 解：解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 00 (,)M xy 00 ( 2 32 3,02)xy. 过点M作MHx轴，垂足为H，则 0 (,0)H x 0 (02)y， 1 分 于是，有 0 0 2 3| tan | xAH AMH MHy + =， 0 0 2 3| tan | xBH BMH MHy =， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 4 页 共 10页 tantan()AMBAMHBMH=+ tantan 1ta
8、ntan AMHBMH AMHBMH + = 0 22 00 4 3 12 y xy = + ，3 分 点 00 (,)M xy在椭圆C上， 22 00 1 124 xy +=， 22 00 123xy=， 0 2 3 tanAMB y = ， 5 分 而 0 02y， 0 2 3 tan3AMB y = ， 点0AMB， AMB的最大值为 2 3 ，此时 0 2y =，即点M为椭圆C的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M为椭圆C的短轴的顶点时，AMB取最大值，其最大值为 2 3 . 7 分 （2）设直线BM的斜率为 k ， 00 (,)M xy，则 0 0 2 3 y k x = + ， 0
9、0 2 3 y k x = ， 2 0 2 0 12 y k k x = ， 又 22 00 1 124 xy +=， 22 00 123xy=， 1 3 k k = ， 10 分 11 (,) 23 k ， 2 1 3 k ， 故直线BM的斜率的取值范围为 2 (,1) 3 . 12 分 20（本小题满分 10 分） 已知函数( )ln(1)f xx=+,( )exg x =（e为自然对数的底数） 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 5 页 共 10页 （1）讨论函数( )( ) xa xf x x + =在定义域内极值点的个数； （2）设直线l为函
10、数( )f x的图象上一点 00 (,)A xy处的切线，证明：在区间(0,)+上存在唯 一的 0 x，使得直线l与曲线( )yg x=相切 解：解：（1）( )( ) xa xf x x + =ln(1) xa x x + =+1x （且0)x ， 2 22 1 ( ) 1(1) axaxa x xxxx + =+ + =， 令 2 ( )h xxaxa=+， 2 4aa =， 1 分 当 2 40aa =时，即当04a时，( )0x，此时，( )x在( 1,0)和(0,)+单调 递增，无极值点； 2 分 当 2 40aa =时，即当0a 或4a 时， 函数 2 ( )h xxaxa=+有两
11、个零点, 2 1 4 2 aaa x =， 2 2 4 2 aaa x + =， （i）当0a 时， 因为 222 1 24444 10 22 aaaaaaa x + =，所以 21 01xx ， 3 分 所以函数( )x在 1 ( 1,)x单调递增， 在 1 (0)x，和 2 (0)x，上单调递减， 在 2 ()x，+上单调递增， 此时函数( )x有两个极值点； 4 分 （ii）当4a 时， 因为 222 2 24444 10 22 aaaaaaa x + =， 所以 12 1xx ，此时( )0x，( )x在( 1,0)和(0,)+单调递增，无极值点.5 分 综上所述，当0a 时，函数(
12、)x无极值点，当0a 时，函数( )x有两个极值点.6 分 （2）因为 1 ( ) 1 fx x = + ， 所以函数( )f x的图象上一点 00 (,)A xy处的切线l的方程可表示为 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 6 页 共 10页 00 0 1 () 1 yyxx x = + ， 9 分 设直线l与曲线( )yg x=相切于点 1 1 ( ,e ) x B x， 因为( )exg x=， 所以 1 1 0 00 010 0 1 e, 1 ln(1), 1 e(), 1 x x x yx yxx x = + =+ = + 消去 1 x并整理
13、，得 0 0 0 1 ln(1)0 x x x + +=, 11 分 由（1）可知，当1a =时，函数 1 ( )ln(1)1) x xxx x + =+ （在(0,)+单调递增， 又 1 (e 1)0 e 1 = ， 2 2 2 e2 (e1)0 e1 = ， 所以函数( )x在 2 (e 1,e1)上有唯一的零点，又因为( )x在(0,)+单调递增， 所以方程 0 0 0 1 ln(1)0 x x x + +=在(0,)+上存在唯一的根， 故在区间(0,)+上存在唯一的 0 x，使得直线l与曲线( )yg x=相切12 分 21（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国
14、，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省 份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年 龄数据，得下面的频数分布表： 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z服从正态分布 2 ( ,15.2 )N，其中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新 冠肺炎患者年龄在70岁以上（70）的患者比例； 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 7 页 共 10页
15、（2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以 这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独 立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n （120n且n是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n个人抽取的另一半血液逐一化验，记n个人中患者的人 数为 n X，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的n的值 参考数据参考数据：若Z),( 2 N，则()0
16、.6826PZ+=， (22 )0.9544PZ+=，(33 )0.9973PY+=， 4 0.90.66，0.590.95，0.350.910. 解：解：(1) 2 156 25 12 35 18 4522 5522 65 12 754 852 95 54.8 100 + + + =， 2 分 所以(54.8 15.254.8 15.2)(39.670)0.6826PZPZ+=， 1(39.670)1 0.6826 (70)0.158715.87% 22 PY P Z =， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%.5 分 (2)解法一：解法一：根据题意，每名密切
17、接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 10 1 ，n的可能取值为 2，4， 5，10， 当2 4 510n， ， ，时， 1 10 ( ,) n XB n， 7 分 对于某组n个人，化验次数Y的可能取值为1，1+n， 9 1 10 n P Y =()()， 9 11 10 n P Yn=+= ()()， 999 1111 101010 nnn E Ynnn = +=+ ( )()()()()， 9 分 则20人的化验总次数为 20919 1=20 1+ 1010 nn f nnn nn =+ ( )()()， 经计算 2 =13.8f ( ) ， 411.8f( ) ， 512.2f( ) ， 10
18、15f() . 所以，当4=n时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少 12 分 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 8 页 共 10页 解法二：解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为 10 1 ，n的可能取值为 2，4，5，10， 当2 4 510n， ， ，时， 1 10 ( ,) n XB n， 7 分 设以n个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y，则Y的可能取值为 1 n ， n 1 1+， 19 10 ()()nP Y n = ， 19 11 10 ()()nP Y n = += ， 则 191919 111 10101
19、0 nnn E Y nnn =+= + ( )()()()()， 9 分 则 20 人所需的化验次数为 19 20 1+ 10 n f n n = ( )() ， 2 =13.8( )f，411.8f( )，512.2( )f，1015()f. 所以，符合题意的4=n，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少 12 分 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 直线 1 l： cos sin xt yt = = ， （t为参数， 0 2 ） ， 曲线 1 C： 2cos 4+2sin x y = = ， （为参数）， 1 l与 1 C相切于点A，以
20、坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求 1 C的极坐标方程及点A的极坐标； （2）已知直线 2 l： = 6 R()与圆 2 C： 2 4 3 cos20+=交于B，C两点，记AOB 的面积为 1 S， 2 COC的面积为 2 S，求 12 21 SS SS + 的值. 解：解：（1）（解解法一）法一）由题意可知， 1 C的直角坐标方程为 22 (4)4xy+=， 将 cos sin x y = = ， 代入得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120+=， 2 分 又 1 l的参数方程为 cos sin xt yt = = ， （t为参数， 0 2 ）， 得 1 l的
21、极坐标方程为= R（）， 3 分 将= 代入得 2 8 sin120+=，则 2 (8sin )4 120 = =，又 0 2 ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 9 页 共 10页 解得 = 3 ，此时=2 3，所以点A的极坐标为 2 3 3 （，）， 5 分 （解解法二）法二）由题意可知， 1 C的直角坐标方程为 22 (4)4xy+=， 将 cos sin x y = = ， 代入，得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120+=， 2 分 因为 1 l与 1 C相切于点A，所以在Rt 1 OC A中，有 22 11 |2 3OAOCC A
22、=， 1 1 1 |1 sin |2 C A AOC OC = ，所以 1 6 AOC=， 4 分 由极坐标的几何意义，可得A 2 3 3 （，）. 5 分 （2）由 2 C的极坐标方程为 2 4 3 cos20+=，可得 2 C的直角坐标方程为 22 (2 3)5xy+=，所以圆心 2(2 3,0) C ， 6 分 设 1 (, ) 3 B， 2 (,) 3 C将 = 6 代入 2 4 3 cos20+=， 得 2 620+=，所以 12 6+=， 12 2 =， 7 分 又因为 111 13 =.sin() 2362 A S =， 2222 13 =|.sin 262 SOC=， 8 分
23、所以 22 12121212 212112 ()2622 16 2 SS SS + +=+= . 10 分 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知( )2f xxa=. （1）当1a =时，解不等式( )21f xx+； （2）若存在实数(1,)a+，使得关于x的不等式 2 ( )+ + 1 f xxm a 有实数解，求实数m的 取值范围. 解：解：（1）当1a =时，即解不等式221xx+， （法一）当2x时，原不等式等价于2 21xx+，所以3x， 所以不等式 ( )21f xx + 的解集为空集， 2 分 当2x时，原不等式等价于221xx+，解得 1 3 x， 4 分
24、 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 10 页 共 10页 综上所述，不等式 ( )21f xx + 的解集为 1 (, ) 3 . 5 分 （法二）当 1 2 x时，不等式221xx+显然成立； 2 分 当 1 2 x时，原不等式等价于 22 (2)21xx+()， 即 2 3830xx+ ，解得 11 23 x， 4 分 综上所述，不等式 ( )21f xx + 的解集为 1 (, ) 3 . 5 分 （2）因为 222 ( )+ +2 + +2 111 f xxxaxa aaa =+ ，显然等号可取，6 分 又(1,)a+，故原问题等价于关于a的不等式 2 2 1 am a + 在(1,)+上有解，8 分 又因为 222 2=2(1)22 2(1)26 111 aaa aaa += ， 当且仅当2a =时取等号， 所以6m，即(6,)m+. 10 分
