1、 三湘名校教育联盟 2019 届高三第三次大联考 文科数学 注意事项： （1）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时长 120 分钟. （2）作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. （3）考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. （4）考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上，并将考号二维码粘贴在答题卡上的指定位置. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知全集为实数集R，集合 2 |30Ax xx，|21 x Bx，则 R C
2、AB （ ） A. ,03, B. 0,1 C. 3, D. 1, 2. 已知i为虚数单位，若复数 2 2 ai zaR i 的实部与虚部相等，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 2 C. 2 3 D. -2 3. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一 斗， 店友经四处， 没了壶中酒， 借问此壶中， 当原多少酒？” 用程序框图表达如图所示， 即最终输出的0x， 则一开始输入的x值为（ ） A. 15 16 B. 3 4 C. 7 8 D. 31 32 4. 下图是民航部门统计的某年春节期间： 中国民航出入境航线方面 TOP 10 出入境国
3、家和地区的旅客量以及 相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ） A. 东南亚仍是人们出境旅游的首选 B. 台湾和澳门均有超过一成的同比增长 C. 越南和美国排在人们出境旅游选择的前两位 D. 中-韩航线虽依然位列出入境国家和地区第三甲，但旅客量却较去年出现负增长 5. 已知向量0,2OA，1,OBt，且OA OBOA，则OA与AB的夹角为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 12 6. 已知等差数列 n a满足 1 2a ，公差0d ，且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，则 100 S（ ） A. 10000 B. 10100 C. 20000 D
4、. 20400 7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A. 3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 8. 已知 1 2017 2017a ， 2018 log2019b， 2019 log2018c ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. bac D. cba 9. 点F是双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点，点A，B是圆 222 xya与双曲线C的渐近 线的两个交点，若ABF是直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 10. 函数 cos x f x x 的部分图
5、象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已 知 函 数 s i n0 ,0 , 2 fxAxA 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 cosg xAx图象的一个对称轴方程可能为（ ） A. 0x B. 2x C. 10x D. 14x 12. 小姜同学有两个盒子A和B，最初盒子A有 6 枚硬币，盒子B是空的.在每一回合中，她可以将一枚硬 币从A盒移到B盒，或者从A盒移走K枚硬币，其中K是B盒中当前的硬币数.当A盒空时她获胜.则小姜 可以获胜的最少回合是（ ） A. 三回合 B. 四合回 C. 五回合 D. 六回合 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部
6、分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上. 13. 若数列 n a的前n项和为 n S，且 2 n Snn，则 2019 a_ . 14. 设关于x，y的不等式组4 2 yx x ykx 表示的平面区域为，若1, 2A，3,0B，2, 3C中有且 仅有两个点在平面区域内，则实数k的取值范围为_. 15. 直线l与抛物线C： 2 4yx交于M，N两点，若OM，ON的斜率之积为 1 2 ，则MN的最小值 为_. 16. 定义“穿杨二元函数”如下
7、：( , )248 n C a naaaa 个 . 例如：3,43 6 122445C .若1,2,3,4,5i ， i aZ ，满足, i C a nn，则最小的正整 数n的值为_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.本大题共 6 小题，共 70 分. （一）必考题，共 60 分.每个试题考生都必须作答. 17. 如 图 四 边 形OACB中 ，a、b、c分 别 为ABC的 内 角A、B、C的 对 边 ， 且 满 足 sinsin2coscos sincos BCBC AA . （1）证明：2bca ； （2）若bc，设0AOB，22OAOB
8、，求四边形OACB面积的最大值. 18. 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的 大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100,120内，则 为合格品，否则为不合格品.表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方 图. 表 1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 95,100 100,105 105,110 110,115 115,120 120,125 频数 1 5 18 19 6 1 图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图 表 2 甲套设备 乙套设备 合计 合
9、格品 不合格品 合计 （1）将频率视为概率，若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件； （2）填写上面列联表（表 2） ，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指 标值与甲、乙两套设备的选择有关； （3）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19. 一幅标准的三角板如图 1 中，ABC为直角，60A ，DEF为直角，45D， 且B C D F，
10、把BC与DF拼齐使两块三角板不共面，连结AE如图 2. （1）若M是AC的中点，N是BC的中点，求证：BC 平面ENM； （2） 在 九章算术 中， 称四个面都是直角三角形的三棱锥为 “鳖臑” ， 若图 2 中4AC ， 三棱锥EABC 的体积为 2，则图 2 是否为鳖臑？说明理由. 20. 已知椭圆N： 22 22 10 xy ab ab 经过点0,1C，且离心率为 2 2 . （1）求椭圆N的标准方程与焦距； （2）直线l： 1 3 ykx与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在常数，使 AMCABC恒成立，并说明理由. 21. 已知函数 2 lnf xaxxax aR .
11、 （1）若 f x在其定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）证明：当0a时， f x在区间0,1恰有一个零点. （二）选考题，共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，按 所做的第一题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xoy中，直线l的方程是2 2x ，曲线C的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） ，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）射线OM：（其中 5 0 12 ）与曲线C交于O
12、、P两点，与直线l交于点M，求 OP OM 的 取值范围. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知0a，0b，0c .若函数 f xxaxbc的最小值为 2. （1）求a b c 的值； （2）证明： 1119 4abbcca . 文科数学（全国卷）参考答案文科数学（全国卷）参考答案 第卷 选择题 1-5：CCACB 6-10：CAAAD 11-12：DB 第卷 非选择题 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分. 13. 4036 14. 1 ,0 2 15. 8 2 16. 9765 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（1）证明：由 sinsin2cosc
13、os sincos BCBC AA ， sincossincos2sinsincossincosBACAAABAC， cossinsincoscossinsincos2sinABABACACA， sin()sin()2sinABACA， sinsin2sinCBA，正弦定理得2bca . （2）解：2bca ，bc，ABC为等边三角形， 2 13 sin 24 OACBAOBABC SSSOA OBAB 22 3 sin2cos 4 OBOBOAOA 5 35 3 sin3cos2sin 434 ， 5 6 时 OACB S取最大值 5 3 2 4 . 18.（1）由图 1 知，乙套设备生产的
14、不合格品率约为 7 50 ， 乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 7 5000700 50 （件）. （2）由表 1 和图 1 得到列联表 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计 50 50 100 将列联表中的数据代入公式计算得 2 2 n adbc K abcdacbd 2 100 (48 72 43) 3.05 50 50 91 9 . 3.052.706， 有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （3）由表 1 和图 1 知，甲套设备生产的合格品的概率约为 48 50 ，乙套设备生产的合格品的概率约为 43 5
15、0 ，甲 套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105,115之间， 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备 相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优 于乙套设备. 19.（1）证明：设BC中点为N，连结MN，EN. M是AC的中点，N是BC的中点，/MNAB， ABBC，MNBC， BEEC，BEEC，BNCN， ENBC， MNENN， BC 平面EMN. （2）解：此时三棱锥EABC是鳖臑， 42 3ACBC，63 BEC BECES ， 又三棱锥的体积 1 2 3 BEC VhS 高2h，又2AB ， 所以AB 平面BEC， 那么
16、，在三棱锥EABC中，ABC，ABE，BEC显然是直角， CEBE，CEAB，ABEBBCE平面ABE CEAEAEC也是直角. 20.（1）因为椭圆N： 22 22 10 xy ab ab 经过点0,1C，且离心率为 2 2 ， 所以1b， 2 2 c a ，又因为 222 acb， 可解得1c，2a ，焦距为22c . 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （2）存在常数2，使2AMCABC 恒成立， 证明如下： 由 2 2 1 3 1 2 ykx x y ， 得 22 9 1812160kxkx，0 ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 则 12 2 12 9 18
17、k xx k ， 12 2 16 9 18 x x k . 又因为 11 ,1CAx y， 22 ,1CBxy， 所以 1212 11CA CBx xyy 1212 44 33 x xkxkx 2 1212 416 1 39 kx xk xx 2 22 1641216 10 9 1839 189 k kk kk ， 所以CACB， 因为线段AB的中点为M，所以MCMB，所以2AMCABC . 存在常数2，使2AMCABC 恒成立。 21. 解答：（1） 由于 f x的定义域为0,， 且 2 21 f a x x x ， 所以如果 f x单调递减， 则当0x 时， 2 210axx 恒成立，解得
18、0a，即a的取值范围为,0. （2）当0a时，由于 2 21 f a x x x ，且方程 2 210axx 在区间0,有唯一的实根 0 x，从 而 f x在区间 0 0,x单调递减，在区间 0, x 单调递增，注意到 110f ，所以 f x区间0,1 的零点个数不超过 1 个. 当01a时，由于 2422 111 220 a faa eeee ，所以 f x区间0,1恰有一个零点； 当1a 时，由于 2422 111 20 aaaa a faaa eeee ，所以 f x区间0,1恰有一个零点. 综上，当0a时， f x在区间0,1恰有一个零点. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 详
19、解： （1） cos sin x y ，直线l的极坐标方程是cos2 2， 由 2cos 22sin x y 消参数得 2 2 24xy， 曲线C的极坐标方程是4sin. （2）将分别代入4sin，cos2 2，得4sinOP， 2 2 cos OM ， 2 sin2 2 OP OM ， 5 0 12 ， 5 02 6 ， 22 0sin2 22 ， OP OM 的取值范围是 2 0, 2 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 （1） f xxaxbcxaxbcabcabc ， 当且仅当axb 时，等号成立. f x的最小值为a b c ，2a b c . （2）由（1）可知2a b c ，且a，b，c都是正数， 1111111 ()()() 4 abbcca abbccaabbcca 1 3 4 bcabbccaabac abbccabccaab 19 (3222) 44 ， 当且仅当1abc时取等号， 所以 1119 4abbcca 得证.
