1、第2章 四边形 2.6.1 2.6.1 菱形的性质菱形的性质学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）情景引入欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？平行四边形矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角菱形的性质一思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?平行四边形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.菱形一组邻边
2、相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.归纳总结 活动 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?猜想1 菱形的四条边都相等.猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB=BC=CD=AD；(2)ACBD；DAC=BAC，DCA=BCA，ADB=CDB，ABD=CBD.
3、证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.又AB=AD,AB=BC=CD=AD.ABCOD证一证（2）AB=AD,ABD是等腰三角形.又四边形ABCD是菱形,OB=OD（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中,OB=OD，AOBD，AO平分BAD，即ACBD，DAC=BAC.同理可证DCA=BCA，ADB=CDB，ABD=CBD.ABCOD 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相
4、互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD12cm，AC6cm，求菱形的周长解：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，AO AC，BO BD.因为AC6cm，BD12cm，所以AO3cm，BO6cm.在RtABO中，由勾股定理得所以菱形的周长4AB43 12 (cm)12122222363 5 cm.ABAOBO55典例精析例2 如图，在菱形ABCD中，CEAB于点E，CFAD于点F，求证：AEAF.证明：连接AC.四边形ABCD是菱形，AC平分BAD，即BACDAC.CEAB，CFAD，AECAFC90.又ACAC，ACEA
5、CF.AEAF.菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角归纳例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB，DAEAEB，AB=AE,ABCAEB，ABC=DAE，DAE2BAE，BAEADB.又ADBA，AODBEA，AOBE.1.如图，在菱形ABCD中，已知A60，AB 5，则ABD的周长是 ()A.10 B.12 C.15 D.20C练一练2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点
6、，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_.第1题图第2题图6cm思考：菱形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于菱形是平行四边形，因此O做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折，点A的像是_，点C的像是_，点D的像是_，点B的像是_，边AD的像是_，边CD的像是_，边AB的像是_，边CB的像是_.点C点A边CD点D点B边AD边CB边AB想一想：你能得到什么结论？菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.菱形的面积二问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?ABCD思考 前
7、面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AEBC于点E,则S菱形ABCD=底高 =BCAE.E问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：四边形ABCD是菱形，ACBD,S菱形ABCD=SABC+SADC=ACBO+ACDO=AC(BO+DO)=ACBD.12121212你有什么发现？菱形的面积=底高=对角线乘积的一半例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在RtAOB中，OA5，OB1
8、2，所以SAOB OAOB 51230，所以S菱形ABCD4SAOB430120.因为又因为菱形两组对边的距离相等，所以S菱形ABCDABh13h，所以13h120，得h .222251213,ABAOBO121212013 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半归纳例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.ABCDO解：花坛ABCD是菱形，1
9、30.2ACBDABOABC，1Rt10m2OABAOAB在中，2222201010 3 mBOABAO，220m220334.64 m.ACAOBDBO，21200 3346.4 m.2ABCDSAC BD菱形【变式题】如图，在菱形ABCD中，ABC与BAD的度数比为1：2，周长是8cm求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=BC，ACBD，ADBC，ABC+BAD=180.ABC与BAD的度数比为1：2，ABC=180=60，ABO=ABC=30，ABC是等边三角形.菱形ABCD的周长是8cmAB=2cm，1213OA=AB=1cm，AC=AB=2
10、cm，BD=2OB=cm；（2）S菱形ABCD=ACBD =2 =（cm2）12223,OBABOA2 312122 32 3 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60时，菱形被分为以60为顶角的两个等边三角形.归纳练一练如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm B1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等C2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则ABD的周长等于 （）A.18 B.16 C.15
11、D.14 B3.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 _.（2）在菱形ABCD中，ABC120，则BAC _.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_.3cm30ABCOD5cm(4)菱形的一个内角为120,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为_.44cm(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比为1 2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_.8厘米ABCOD4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对 角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.解:(1)四边形ABCD是
12、菱形,AED=90,(2)菱形ABCD的面积AC=2AE=212=24(cm).DBCAE5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD，CA平分BCDBCE=DCE又 CE=CE，BCECDE（SAS）CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD，AFD=FDC.AFD=CBEADCBFE6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD5cm，OD3cm；过点C作CEDB，过点B作BEAC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积解：(1)四边形ABCD是菱形，ACBD.在直角OCD中，由勾股定理得OC4cm；(2)CEDB，BEAC，四边形OBEC为平行四边形.又ACBD，即COB90，平行四边形OBEC为矩形.OBOD3cm，S矩形OBECOBOC3412(cm2)菱形的性质菱形的性质有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角
