1、一般函数一般函数y=f(x)y=f(x)在在a,b,d,e,f,g,h,ia,b,d,e,f,g,h,i等点的等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？函数值与这些点附近的函数值有什么关系？a ab bc cd de ef fo o g gh hi ij jx xy yy=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)一一、函数极值的定义：、函数极值的定义：设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，及其附近有定义，(1)(1)如果在如果在x=xx=x0 0处的函数值比它附近所有各点的函数值处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即都大，即f(x)f(x0),则称
2、则称 f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个极小值的一个极小值.记作记作:y极小值极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值,x,x0 0叫做函数的极值点叫做函数的极值点.说说 明明1、极大值与极小值统称为极值、极大值与极小值统称为极值.2、极值点是自变量，极值是函数值、极值点是自变量，极值是函数值3、极值点是区间内部的点而不会是端点、极值点是区间内部的点而不会是端点.4、某区间上的单调的函数没有极值、某区间上的单调的函数没有极值.有极值就不单调有极值就不单调5、极大值与极小值没有必然的大小关系、极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比
3、极小值大即极大值不一定比极小值大,极小值不极小值不 一定比极大值小一定比极大值小.7、函数、函数f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的分布是它的极值点的分布是 有规律的有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地一般地,当函数当函数f(x)在某区间上可导且有有限极值在某区间上可导且有有限极值 点时点时,函数函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的是交替出现的.6 6、函数的极大值、极小值未必是函数的最大值
4、、函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值最小值.t th ha ao o单调递增单调递增h(t)0h(t)0单调递减单调递减h(t)0h(t)0 右侧右侧f/(x0)0,那么那么f(x0)是极大值是极大值(2)(2)如果如果f/(x0)=0,并且并且在在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f/(x0)0,那么那么f(x0)是极小值是极小值o oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xf口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。练习：书练习：书P29练习练习1，P32 习题习题4 类似：类似：智力报智力报P6 1.3.2及时练及
5、时练 3 智力报智力报P37考题回放考题回放1左右导左右导数异号数异号 三、用导数法求解函数极值的步骤：三、用导数法求解函数极值的步骤：xf(x)f(x)xf(x)f(x)表格法表格法 (3)检查检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根的左右的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值的符号，并根据符号确定极大值与极小值.（4）结论）结论(1)求导函数求导函数f(x)及定义域；及定义域；(2)求解方程求解方程f(x)=0；注意：表格要体现定义域注意：表格要体现定义域.4431)(3的的极极值值求求函函数数 xxxf例例1：书：书P28例题例题4解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得
6、解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-4/3.(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)+00+极大值极大值极小值极小值-22)(xf 练习：书练习：书P29 2Rx.)(2的极值求函数xexxf作业：（1）书 P 32 5（4）（3 3）求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf（2）求证求证:函数函数 在在 处有极小值处有极小值.)(2xfy 已知函数已知函数 f(x)满足条件：满足
7、条件：2 x（4）:0)(xf当当x2时时,0)2(0)(fxf当当 x0,列表如下列表如下:由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,2、已知极值求参数、已知极值求参数).1(5)(22 xaxxf解得解得a=3,b=5,c=2.(2)若若a0,列表如下列表如下:由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.2、已知极值求参数、已知极值求参数练习练习:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值（答案见下页）（答案见下页）.
8、).1(5)(22 xaxxf解解:=3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.33114 baba当当a=-3,b=3时时,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.0)1(3)(2 xxf当当a=4,b=-11时时,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1时时,此时此时x=1是极是极值点值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.2、已知极值求参数、已知极值求参数例题例题7：12)(23axxxf函数函数在区间在区间
9、,20,和递增，在区间（递增，在区间（0，2）递减，则实数）递减，则实数a的值为的值为 .1)2(33)(823的取值范围求值，又有极小值既有极大：若例题axaaxxxf.371)(.223的值、极小值及个时，取得极小值，求这，当得极大值时，取当已知cbaxxcbxaxxxf作业：作业：1、智力报、智力报P 37 B 7课后思考课后思考:已知已知:(1)证明证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当当f(x)的极大值为的极大值为1、极小值为、极小值为-1时时,求求a、b的值的值.).0(1)(2 axbaxxf答案见下页答案见下页例例3:已知已知:(1
10、)证明证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当当f(x)的极大值为的极大值为1、极小值为、极小值为-1时时,求求a、b的值的值.).0(1)(2 axbaxxf解解:(1).)1(2)1()(2)1()(222222 xabxaxxbaxxxaxf令令 ,得得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,0)(xf故故 有不相等的两实根有不相等的两实根、,设设.0)(xf又设又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于由于-a0,g(x)的图象开口的图象开口向下向下,g(x)的值在的值在的右正左负的右正左负,在在的左正右负的左正右负.注意到注意到 与与g
11、(x)的符号相同的符号相同,可知可知为极小值点为极小值点,为极大值点为极大值点.)(xf(2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:.1122 baba两式相加两式相加,并注意到并注意到+=-2b/a,于是有于是有:.0,02,0,02)2(22 babbaba 从而方程从而方程 可化为可化为x2=1,它的两根为它的两根为+1和和-1,即即=-1,=1.0)(xf由由.2121)(2 aabaf 故所求的值为故所求的值为a=2,b=0.xf(x)f(x)xf(x)f(x)表格法也可用于求单调区间表格法也可用于求单调区间（4）结论）结论 (3)检查检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根的左右
12、的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值的符号，并根据符号确定极大值与极小值.(1)求导函数求导函数f(x)及定义域；及定义域；(2)求解方程求解方程f(x)=0；小小 结结一、求极值一、求极值小小 结结二、已知极值二、已知极值 求参数求参数),(00yx0)()(000 xfyxf 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，
13、我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科
14、斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。
15、JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的
16、速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：
17、自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类
18、做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过
19、程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。
20、约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
