1、20192020 学年第二学期 5 月调研测试 高三数学试题 2020.05 2020.05 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案 直 接填在答题卡相应位置上 1. 设集合0|2,0,1,2 ,ABx xl ,则AB . 2.设32zi ,i为虚数单位，则 2 z= . 3.为了做好防疫工作,要对复工员工进行体温检测,从 4 名（含甲、乙两人）随机选 2 名, 则甲、 乙两人中，至少有一人被选中的概率是 . 4.运行如图所示的伪代码，其结果为 。 5.如图是一次摄影大赛上 7 位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个 最高分
2、 和一个最低分后，则该作品的平均分为 . 6. 函数( )2sin(0,) 2 f xx 的最小正周期为，且它的图象过点 ,2 12 ，则的值为 . 7. 若抛物线 2 20ypx p的焦点是双曲线 22 1 2 xy pp 的一个焦点，则p= . 8. 己知为锐角，若2sin2sin21 2 ，则 . 9. 等差数列的前n项和为 n S，若 21 2019,3 mm Sa ,其中mN，则m= . 10. 己知正实数, x y满足 242 y xyx ，则x + y的最小值为 . 11.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方 体或圆柱 体，但南北朝时期的官员
3、独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半 正多面体是由两种或 两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对 称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，其棱长为 1，它的所有顶点都在同一个正 方体的表面上，且此正方体的表面积为 . 12.由圆C： x 2 + y2 - 2x - 4y +1 = 0 外一点P (4, 6)引直线l交圆C于A、B两点， 则线 段AB中点M到x轴的距离的最小值为 . 13.AABC中，BC=2，点O, G分别为 AABC的外心、重心，若AO AGAB AC ， 则ABC面积的最大值为 . 14. 设f (x)是定义在 R 上的偶函数，当0x 时，
4、 2 1,01 ln1 ,1 2 xx f x x x x ，若关于x的 方程 22 1 20 9 fxaf xa有 4 个不同的实数根，则实数a的取值范围是 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说 明、证明过程或演算步骤 13.(本小题满分 14 分) 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，己知向量cos ,cosmBC， n n = (4a-b，c) ，且m n. ( 1)求cosC的值； (2)若3c ，ABC的面积 15 4 S ，求a，b的值. 16.（本小题满分 14 分） 在直三棱柱 11 ABCABC中，CA
5、= CB， 1 2AAAB，D是AB的中点. （1）求证： 1 BC 平面 ACD ； （2）若点P在线段 1 BB上，且 1 1 4 BPBB,求证：AP 平面 1 ACD. 17 (本小题满分 1 4 分) 苏州园博园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30m 的围墙.现有两种 方案： 方案:如图 1 所示,多边形为直角三角形AEB 90AEB ，其中AE + EB = 30m ； 方案：如图 2 所示，多边形为等腰梯形AEFB ( AB EF )，其中AE =EF = BF =10m 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案 18(本小题满分 16
6、分) 己知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，点 6 1, 2 在椭圆C上. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过坐标原点的直线交C于P, Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E, 连结QE并延长交C于点G. 求证：PQG 是直角三角形； 求PQG 面积的最大值. 19(本小题满分 16 分) 设函数. (1) 求函数 f (x) 的单调区间； (2) 己知函数f (x)有两个极值点 比较的大小； 若函数 1 g xf xf x在区间0,2上有且只有一个零点，求实数a的取 值范围. 20(本小题满分 16 分) 数列 n a的数列 n a的首项 1 1a
7、 ，前n项和为 n S，若数列 n a满足：对任意正整数n， k,当nk时，2 n kn knk SSSS 总成立，则称数列 n a是“ D k数列” (1) 若 n a是公比为 2 的等比数列，试判断 n a是否为“ D k”为数列？ (2) 若 n a是公差为 d 的等差数列，且是“ 3D数列”，求实数d的值； (3)若数列 n a既是“ 2D”，又是“ 3D”，求证：数列 n a为等差数列 20192020 学年第二学期 5 月调研测试 高三数学II II （附加题） 2121. .【选做题】本题包括 A A、B B、C C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答， 若多 做，
8、则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 4 - 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 己知矩阵 33 A cd ，若矩阵A属于特征值 6 的一个特征向量为 1 1 = 1 ，属于特征值 1 的一个特征向量为 2 3 = -2 ，求矩阵 A. B. 选修 4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系直线l 的极坐标方程为 3 sin 32 ，椭圆C的参数方程为 2cos 3sin xt yt （t为参数）.若直 线l与椭圆C交于A, B两点，求线段AB的长. C. 选修 45
9、：不等式选讲（本小题满分 10 分） 己知a + b + c = 1，证明： 22216 111 3 abc. 【必做题】第2222题、第2323题，每小题1010分，共计分，共计2020分请在答题卡指定区域内作 答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) 如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF中，2AB ，1CE ,CE 平面ABCD. (1) 求异面直线DF与BE所成角的余弦值； (2) 求二面角A-DF-B的大小. 23.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中，点 00 ,p xy在曲线 2 0yxx上已知 00 0, nn n AP xy，-
10、1，nN记直线 n AP的斜率为 n k. (1) 若k1=2,求P1的坐标； (2) 若k1为偶数，求证：kn为偶数. 第 1 页 共 8 页 20192020 学年第二学期 5 月调研测试 参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案 直接填在答题卡相应位置上 1 2， 0 2 5+12i 36 5 4 17 5.91 6 12 712 85 5 2 9337 1022 3+ 11. 21218+ 12. 2 3 13. 2 14. 6 51 ) 3 2 , 6 11 (+ ee U 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请
11、在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 15解： （1）mn，cos(4)coscBabC=， 2 分 由正弦定理，得sincos(4sinsin )cosCBABC=， 化简，得sin()4sincosBCAC+= 4 分 ABC+=，sinsin()ABC=+ 又()0,A，sin0A， 1 cos 4 C = 6 分 （2）()0,C， 1 cos 4 C =， 2 115 sin1cos1 164 CC= 115 sin 24 SabC=，2ab = 9 分 3c =，由余弦定理得 22 1 3 2 abab=+， 22 4ab+=， 12分 由，得 42
12、440aa+=，从而 2 2a =，2a = （舍负） ，所以2b =， 2ab= 14 分 16证明： （1）连结 1 AC，设交 1 AC于点O，连结OD 四边形 11 AACC是矩形，O是 1 AC的中点 2 分 在 1 ABC中， O，D分别是 1 AC，AB的中点， 1 ODBC 4 分 又OD 平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 ACD 6 分 （2）CACB=，D是AB的中点，CDAB 又在直三棱柱 111 ABCABC中，底面ABC侧面 11 AAB B，交线为AB， 第 2 页 共 8 页 CD 平面ABC，CD 平面 11 AAB B 8
13、分 AP 平面 11 AB BA，CDAP 9 分 1 2BBBA=， 11 BBAA= ， 1 1 4 BPBB=， 1 2 = 4 BPAD BAAA =， RtABPRt 1 A AD， 从而 1 AAD=BAP，所以 1 AAD+ 1 A AP=BAP+ 1 A AP=90， 1 APAD 12 分 又 1 CDADD=，CD 平面 1 ACD， 1 AD 平面 1 ACD AP 平面 1 ACD 14 分 16解：设方案，中多边形苗圃的面积分别为 12 ,S S 方案设AEx=，则() 1 1 30 2 Sx= 3 分 () 2 301 22 xx+ 225 2 =（当且仅当15x
14、=时，“=”成立） 5 分 方案设BAE=，则() 2 100sin1 cos,0, 2 S =+ 8 分 由 () 2 2 100 2coscos10S = +=得， 1 cos 2 =（cos1= 舍去） 10 分 因为0, 2 ，所以 3 =，列表： 0, 3 3 , 3 2 2 S + 0 - 2 S 极大值 所以当 3 =时，() 2 max 75 3S= 12 分 第 3 页 共 8 页 因为 225 75 3 2 ，所以建苗圃时用方案，且 3 BAE = 答：方案，苗圃的最大面积分别为 22 225 ,75 3 2 mm，建苗圃时用方案，且 3 BAE = 14 分 【注：不作答
15、，不写单位分别扣 1 分】 18解：（1）1 24 22 =+ yx 4 分 （i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为(0)ykx k= 由 22 1 42 ykx xy = += 得 2 2 1 2 x k = + 6 分 记 2 2 12 u k = + ，则( ,),(,), ( ,0)P u uk Quuk E u 于是直线QG的斜率为 2 k ，方程为() 2 k yxu= 由 22 (), 2 1 42 k yxu xy = += 得 22222 (2)280kxuk xk u+ = 设(,) GG G xy，则u和 G x是方程的解，故 2 2 (32) 2 G uk x k
16、 + = + ，由此得 3 2 2 G uk y k = + 8 分 从而直线PG的斜率为 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk u k + = + + 所以PQPG，即PQG是直角三角形 10 分 （ii）由（i）得 2 | 21PQuk=+， 2 2 21 | 2 uk k PG k + = + ，所以PQG 的面积 第 4 页 共 8 页 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(12)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k + + = + + 12 分 设 t=k+ 1 k ，则由 k0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号 因为
17、2 21 8 t t S + =在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值 为 9 16 因此，PQG 面积的最大值为 9 16 16 分 19. 解： （1）. 3) 1(363)( 22 +=+=axaxxxf 当3a时，0)( xf，所以)(xf的单调增区间为),(+,无减区间； 当3a时，令0)( xf，得 3 3 1 a x 或 3 3 1 a x + ,所以)(xf的单调增区间为 ) 3 3 1 ,( a 和), 3 3 1 (+ + a ，减区间为) 3 3 1 , 3 3 1 ( aa + . 综上：当3a时，)(xf的单调增区间为),(+,无减
18、区间 当3a时，)(xf的单调增区间为) 3 3 1 ,( a 和), 3 3 1 (+ + a ， 减区间为) 3 3 1 , 3 3 1 ( aa + . 4 分 (2)因为)(xf的两个极值点 1 x， 2 x， 由 （1） 知， 当3a时， 1 2 1 63xxa+=， 2 2 2 63xxa+=， 且 3 3 1 1 a x =， 3 3 1 2 a x +=， 则axxxx=+ 2121 2， 因此210 21 xx， 所以30a. 6 分 因为)(xf在, 0 1 x，2 , 2 x上单调递增，在, 21 xx上递减， 所以42)2()(, 0)0()( 21 =afxffxf.
19、 由于=+)()( 21 xfxf 1 2 1 3 1 3axxx+ 2 2 2 3 2 3axxx+ =)(2)(3)( 2121 2 21 2 221 2 121 xxaxxxxxxxxxx+ =)(2)(33)( 2121 2 2121 2 2121 xxaxxxxxxxxxx+ =aaa2)22( 3)32(2 22 +=42 a=)2(f 第 5 页 共 8 页 即=+)()( 21 xfxf)2(f. 10 分 因为函数| )(| )(|)( 1 xfxfxg=在区间0， 2上有且只有一个零点， 所以| )(|xfy =在区 间0，2上只有唯一的最大值= | )(| 1 xf)(
20、1 xf. 12 分 故由 )2()( 0)( 1 2 fxf xf （由知不成立，故舍去）或 )()( )2()( 0)( 21 1 2 xfxf fxf xf （即 042 0)( 2 a xf ） 由032)( 2 2 3 22 +=xxxf，解得2 2 3 2 x，代入 2 2 2 63xxa+=，得 4 9 0 a, 由042a，得2a，所以 4 9 2 a. 16 分 【注：中还可以用降次的方法处理】 20.解： （1）因为2, 1 1 =qa，所以12 = n n S， 1 分 假设an是否为 D(2)为数列， 则当 n2 时，则)(2 222 SSSS nnn +=+ + 成立
21、， 但3=n时，32 15 =+SS,20)(2 23 =+SS，+ 15 SS)(2 23 SS +，所以假设不成立， an不是为 D(2)为数列. 3 分 (2) 设an的公差为 d，则dnan) 1(1+=， 因为an是“D(3)数列”，则 333 3,2() nnn nSSSS + +=+ 即 312321 2)(Saaaaaa nnnnnn =+ + ， 所以 9d=2(3+3d)，即 d=2. 7 分 (3) 数列an既是“D(2)数列”，又是“D(3)数列”， 所以 +=+ +=+ + + )(2, 3 )(2, 2 333 222 SSSSn SSSSn nnn nnn -得：
22、 323 2, 3aaan nn = + ， +=+ +=+ + + )(2, 4 )(2, 3 3124 2113 SSSSn SSSSn nnn nnn -得： 414 2, 4aaan nn = + ， 9 分 又-得： 113 2, 3 + =+ nnn aaan， -得： 124 2, 4 + =+ nnn aaan， 11 分 第 6 页 共 8 页 所以 311 , +nnn aaa成等差数列，设公差为 d1， 412 , +nnn aaa成等差数列，设公差为 d2 因此 113 daa nn += + ， 214 daa nn += + 所以 211234+ = nnnn aa
23、ddaa对 n3 恒成立， 即)2(nan成等差数列，设公差为 d， 在（1） （2）中分别取 n=3,n=4 得： = = 274 242 2 2 da da ，解得2, 3 2 =da，所以12 = nan. 16 分 附加题答案 21解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 1 1 可得， 33 cd 1 1 6 1 1 ， 即6cd+=， 3 分 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 2 3 2 ， 可得 33 cd 3 2 3 2 ，即322cd=， 6 分 解得 2 4 c d = = ，即 A 33 24 ， 10 分 B.解： （1）由 sin( 3)= 3
24、 2 ，得 ( 3 2 cos1 2sin)= 3 2 ，即 3 2 x1 2y= 3 2 ， 化简得 y= 3x 3，所以直线 l 的直角坐标方程是 y= 3x 32 分 由(x 2) 2+( y 3) 2=cos2t+sin2t=1，得椭圆 C 的普通方程为x 2 4+ y2 3=1 4 分 联立直线方程与椭圆方程，得 y= 3x 3， x 2 4+ y2 3=1， 消去 y，得x 2 4+(x1) 2=1， 化简得 5x28x=0，解得 x1=0，x2=8 5， 8 分 所以 A(0， 3)，B(8 5， 3 5 3)， 第 7 页 共 8 页 则 AB=(08 5) 2+( 33 5
25、3)2=16 5 10 分 C.证明：因为1abc+ +=， 所以()()() 222 111abc+ 222 abc=+()23abc+ + 222 5abc=+ 所以要证明()() 22 11ab+() 216 1 3 c+， 即证明 222 1 3 abc+ 5 分 因为 222 abc+=() 2 abc+()2 abbcca+() 2 abc+ () 222 2 abc+， 所以( ) 222 3 abc+() 2 abc+ 因为 1abc+ += ，所以 222 1 3 abc+ 所以()() 22 11ab+() 216 1 3 c+ 10 分 23解解：以CD ，CB，CE为正
26、交基底，建立如图空间直角坐标系 Cxyz， 则 D( 2，0，0)，F( 2， 2，1)，E(0，0，1)，B(0， 2，0)，C(0，0，0)， 所以DF (0， 2，1)，BE(0， 2，1)，2 分 从而 cos 1 3 3 1 3 4 分 所以直线 DF 与 BE 所成角的余弦值为1 35 分 (2)平面 ADF 的法向量为 mCD ( 2，0，0).6 分 设面 BDF 的法向量为 n = (x，y，z)又BF ( 2，0，1) 由 nDF 0，nBF0， 得 2yz0， 2xz0， 取 x1，则 y1，z 2，所以 n = (1，1， 2)，8 分 所以 cos 2 4 2 1 2
27、 又因为0， 2 ，所以 3 所以二面角 A DF B 的大小为 3 10 分 23解： （1）因为 k12，所以y 01 x0 x 2 01 x0 2， 解得 x01，y01，所以 P1的坐标为(1，1) 2 分 （2）设 k12p(pN*)，即y 01 x0 x 2 01 x0 2p， A B C D E F y x z 第 8 页 共 8 页 所以 x202px010，所以 x0p p21 4 分 因为 y0x02，所以 kny n 01 xn0 x 2n 01 xn0 xn0 1 xn0 ， 所以当 x0p p21时， kn(p p21)n( 1 p p21) n(p p21)n(p p21)n 6 分 同理，当 x0p p21时，kn(p p21)n(p p21)n 当 n2m(mN*)时， kn2 k=0 m C2k npn 2k (p21)k，所以 kn为偶数 当 n2m1(mN)时，kn2 k=0 m C2k npn 2k (p21)k，所以 kn为偶数 综上， kn为偶数 10 分
