1、1 江苏省如皋市 20192020 学年高三年级第二学期语数英学科模拟（二） 数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1设全集 UZ，集合 A0，2，3，B 2 2xZ xx，A( UB ) 2若复数 z 满足 2i i i z ，其中 i 为虚数单位，则z 3某工厂为了了解一批产品的净重（单位： 克）情况，从中随机抽测了 100 件产品的净重， 所得数据均在区间96， 106中， 其频率分布直方图如图所示， 则在抽测的 100 件产品中， 净重在区间100，104)上的产品件数是
2、4某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁 4 名医生中选择 2 人去支援武汉抗击“新型冠状 病毒” ， 若毎名医生被选择的机会均等， 则甲、 乙2人中至少有1人被选择的概率为 5执行右边的伪代码后，输出的结果是 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左，右焦点分别 为 F1，F2，设过右焦点 F2且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点，若F1AB 是正三角形，则双曲线 C 的离心率为 7已知函数( )sin()f xx(0)，将函数( )yf x的图象向右平移 4 个单位长度 后，所得图象与原函数图象重
3、合，则的最小值等于 8已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 12 12 2 3 a a aa ，且 3 4S， 4 3S， 5 2S成等差数列， 则满足不等式 4039 2020 n n S a 的 n 的最小值为 2 9在三棱锥 PABC 中，AB平面 PAC，PCAB2AC2，PA5，则该三棱锥的外 接球 O 的表面积为 10已知实数 x，y 满足条件 0 50 40 xy xy y ，若不等式 233 1 2 8 mx yxy恒成立，则实数 m 的最大值是 11如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O已知 ACBC，ACBC， ADBD， 且 O 是
4、 AC 的中点， 若AD AB CD CB2， 则A CB D 的值为 12 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 MN 在圆 C： 22 (2)4xy上运动， 且 MN2 3 若 直线 l：30kxy上的任意一点 P 都满足 22 PMPN14，则实数 k 的取值范围 是 13已知函数 2 2 20 ( ) 1 0 3 x xaxax f x eex ax x ， ， ，若存在实数 k，使得函数( )yf xk有 6 个零点，则实数 a 的取值范围为 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 CD 是边 AB 上的中线，且 CD CA，则 cosA cosB b a
5、的最小值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 bsinAacos(B 6 ) （1）求角 B 的大小； （2）若 a2，c3，求 cos(AB)的值 16 （本小题满分 14 分） 3 在三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，ABBB1，且ABB160 ，D 为 AC 的中点 （1）求证：B1C平面 A1BD； （2）求证：ABB1C 17 （本小题满分 14 分） 现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因
6、生锈无法使用，其形状如图所示，已 知该钢板的圆心为 O，线段 AOB 为其下沿，且 OA2m，OB2m现欲从中截取一个 四边形 AMPQ，其要求如下：点 P，Q 均在圆弧上，AP 平分QAB，且 PMOB，垂足 M 在边 OB 上设QAB，四边形 AMPQ 的面积为 S()m2 （1）求 S()关于的函数解析式，并写出其定义域； （2）当 cos为何值时，四边形 AMPQ 的面积最大? 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的焦距为 2，且 经过点(1， 2 2 )，过左焦点 F 且不与 x 轴重合的直线 l
7、与椭圆 C 交于点 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 OA，OB，AB 的斜率之和为 0，求直线 l 的方程； （3）设弦 AB 的垂直平分线分别与直线 l，椭圆 C 的右准线 m 交于点 M，N，求 MN AB 的最小值 4 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 1 ( )ln1f xax x ，其中 aR，e 为自然对数的底数 （1）若 al，求函数( )f x在 x1 处的切线方程； （2）若函数( )f x在定义域上恰有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围； （3） 设函数 1 ( )( ) x g xef x x 在区间(0， a e)上存在极值， 求证：
8、 1 1 a aea 20 （本小题满分 16 分） 5 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，设 2 n n n a b （1）若 41 21 n n S n a ，记数列 n b的前 n 项和为 n T求证：数列 n a为等差数 列；若不等式 n n T a 3 对任意的 nN都成立，求实数的最小值； （2） 若 n a0， 且 11 2 nn Sa ， 是否存在正整数 k， 使得无穷数列 1k b ， 2k b ， 3k b ， 成公差不为 0 的等差数列？若存在，给出数列 n a的一个通项公式；若不存在，请说明理 由 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括
9、A，B 两小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 2 1 1 3 ，B 1 1 0 1 ，求矩阵 C，使得 ACB B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，求直线 6 (R)被曲线4sin() 6 所截得的弦长 6 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x22py(p0)上一点 M(2，m)到准线的 距离与到原点 O 的距离相等 （1）求抛物线的方程； （2）过不在 y 轴上的点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，若 OP AB，求证：直线 AB 过定点 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a的首项 1 1a ，且 2 1 1 n n n a a a ，nN （1）求 2 a的最小值； （2）求证： 2 1 15 2 22 n k k ann 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
